楊佳潔 周海龍

摘? 要：文章從結(jié)構(gòu)力學教材中的一個例題，引出對三層平面剛架自振頻率計算的思考，分析了目前一元三次方程的解法，給出了“卡爾丹公式”簡明的推導過程，巧妙地將其應用于求解結(jié)構(gòu)力學中三層平面剛架的自振頻率問題，為研究剛架的主振型提供了方便。

關鍵詞：一元三次方程;剛架;自振頻率;卡爾丹公式

中圖分類號：TU311.3 文獻標識碼：A 文章編號：2095-2945（2019）32-0005-03

Abstract： This paper draws on an example of structural mechanics teaching material， and leads to a reflection on the calculation of the self-vibration frequency of the three-layer plane rigid frame， and analyzes the solution of the current unary cubic equation， and gives a concise derivation process of the Cardan Formula. In addition， the author ingeniously applied Cardan Formulas into solving natural frequency for three-layer plane frame in structural mechanics， which provided convenience for main vibration mode research of frame.

Keywords： unary cubic equation; frame;natural frequency; Cardan Formula

《結(jié)構(gòu)力學》[1]教材中動力學部分涉及多層剛架自振頻率的計算與主振型的確定問題，對于三層的平面剛架，就會出現(xiàn)一般形式的一元三次方程求解的問題，作者針對此問題，查閱了許多文獻資料，發(fā)現(xiàn)利用“卡爾丹公式”進行求解，不僅形式簡單，而且便于記憶，筆者將其用于計算三層平面剛架的自振頻率，并給出了簡明的推導過程，為此類問題的解決提供了參考。

1 問題的提出

式（1）為一個一元三次方程，由此可以看出，體系自振頻率？棕的計算問題轉(zhuǎn)化為上述一元三次方程根？濁的求解問題。

2 一元三次方程的求解

對于形如式（2）的一元三次方程解法有數(shù)值解法[2]（包括弦截法、牛頓迭代法（或稱為切線法）和二分法）、解析法（包括試算法、因式分解法、卡爾丹公式法[3]、盛金公式法[4]和換元法[5-6]）、圖解法（包括笛卡爾方法[7]）。

數(shù)值解法需要經(jīng)過多次迭代，才可以求得近似解，一般用自編的程序進行計算;解析法中的試算法與因式分解法適用于特殊形式的一元三次方程，使用具有一定的局限性;盛金公式雖然比較完美地詮釋一元三次方程的根及個數(shù)的確定，但應用上不方便;換元法，通過引入三角函數(shù)或者引入新的變量，多次替換，顯得很繁瑣，而且很費解;笛卡爾方法，它是利用平面解析幾何的理論，通過圓與拋物線y=x2的交點來求解一元三次方程或一元四次方程，但計算工作量大，而且容易出錯;卡爾丹公式，不僅形式簡單，而且與大家先前熟悉的一元二次方程根的形式特別相似，判別式也非常簡單，從工程應用的角度講，它具有其他方法無可比擬的優(yōu)越性。

以下給出“卡爾丹公式”求解一元三次方程解的通俗易懂的推導過程。

（1）當？駐>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根;

（2）當？駐=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根;

（3）當？駐<0時，方程有三個不相等的實根。

以上的推導過程是以p，q為實數(shù)的情況，當p，q為復數(shù)時，卡爾丹公式也成立。

于是，可以用卡爾丹公式（15）計算頻率方程（1）的根為

然后按照《結(jié)構(gòu)力學》中的方法計算主振型。

3 結(jié)論

一元三次方程的解法很多，但從工程應用的角度看，作者認為卡爾丹公式不僅形式簡單，而且很有規(guī)律性，容易被使用者記住，在三層剛架自振頻率與主振型的計算中是值得推崇的方法。此外，作者也給出卡爾丹公式的清楚易懂的證明過程，為了更好地理解與記憶該公式起到了很好的幫助作用。

參考文獻：

[1]周競歐，朱伯欽，許哲明.結(jié)構(gòu)力學（下冊）（第三版）[M].上海：同濟大學出版社，2014.

[2]朱小琨.用計算機方法求一元三次方程的根[J].高等函授學報（自然科學版），2003，16（5）：15-18.

[3]邢富沖.一元三次方程求解新探[J].中央民族大學學報（自然科學版），2003，12（3）：207-218.

[4]范盛金.一元三次方程的新求根公式與新判別法[J].海南師范學院學報（自然科學版），1989，2（2）：91-98.

[5]段堰工.一元三次方程的一種解法[J].南都學壇（自然科學版），1992（1）：113-115.

[6]魏映雪，袁仲賢.一元三次方程的一個新解法[J].天津師大學報（自然科學版），2000，20（3）：46-50.

[7]A.D.亞歷山大洛夫.數(shù)學它的內(nèi)容、方法和意義[M].北京：科學出版社，2001.

基金項目：內(nèi)蒙古自治區(qū)教育科學“十三五”規(guī)劃課題（編號：NGJGH2018063）;內(nèi)蒙古自治區(qū)研究生教育教學改革研究與實踐項目（編號：YJG20181012902）

作者簡介：楊佳潔（1984-），女，碩士，高級講師，研究方向：力學與工程測量。

*通訊作者：周海龍（1981-），男，博士，副教授，碩士生導師，研究方向：力學與土木工程。