熊 敏 丁曉紅 季懿棟 孟凡振

上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海，200093

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)及科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，電子元器件日益向高集成度、高性能和小型化發(fā)展，導(dǎo)致其熱流密度大幅增加，例如，大型計(jì)算機(jī)CPU芯片在運(yùn)行過程中產(chǎn)生的熱流密度已達(dá)到200 W/cm2以上[1]。隨著熱流密度和溫度的上升，電子元器件使用可靠性和使用壽命都會(huì)急劇下降。電子元器件的正常工作溫度一般低于70℃，據(jù)統(tǒng)計(jì)，芯片溫度每升高2℃，其性能可靠性會(huì)降低10%[2-3]；高達(dá)55%的電子元器件失效是溫度超過規(guī)定值引起的[4]。目前常用的散熱技術(shù)種類繁多，傳統(tǒng)的空氣冷卻方式的極限為50 W/cm2，顯然已經(jīng)不能滿足高熱流密度電子元件的散熱需求，同時(shí)也受制于設(shè)計(jì)空間的約束；而液冷流道和相變熱管等散熱技術(shù)需要較大的空間才能實(shí)現(xiàn)。為了將小空間高熱流密度電子元器件內(nèi)部的高發(fā)熱量快速有效地導(dǎo)出，需要通過嵌入高導(dǎo)熱材料形成高效的散熱通道進(jìn)行導(dǎo)熱散熱，即通過將高導(dǎo)熱材料形成的散熱通道敷設(shè)于電子元器件表面或直接嵌入元器件內(nèi)部，將熱量快速導(dǎo)出至外界環(huán)境。

為了得到高效的散熱通道，設(shè)計(jì)出最優(yōu)的散熱通道分布/拓?fù)湫螒B(tài)，近年來眾多的國內(nèi)外學(xué)者和學(xué)術(shù)團(tuán)體開展了廣泛的研究。1997年BEJAN[5]提出構(gòu)形理論(constructal theory)，可以用來設(shè)計(jì)散熱通道。構(gòu)形理論以最小熱阻為目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，但是設(shè)計(jì)中須假設(shè)高導(dǎo)熱材料的熱導(dǎo)率遠(yuǎn)大于低導(dǎo)熱材料的熱導(dǎo)率，因此在低熱導(dǎo)率比和填充率較高的情況下不適用[6]；同時(shí)構(gòu)形理論存在最小熱阻極限即裝配極限，導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果無法取得最優(yōu)的傳熱效果[7]。此后隨著拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的發(fā)展，許多學(xué)者采用結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)散熱通道，主要有SIMP(solid isotropic material with penalization)方法[8-10]、ESO(evolutionary structural optimization)方法[11-12]和水平集(level set)方法[13]。上述方法可突破構(gòu)形理論的局限，但是仍存在灰度單元、棋盤格現(xiàn)象等問題，且最終的散熱通道拓?fù)湫螒B(tài)中會(huì)存在無效的細(xì)小分支，從而導(dǎo)致制造加工困難。另一方面，自然界中的動(dòng)植物經(jīng)過億萬年的進(jìn)化發(fā)展，形成了各種優(yōu)異高效的分支結(jié)構(gòu)以滿足自身生存需求。由此，DING等[6]基于自然界植物根系形態(tài)生成機(jī)理，提出了一種自適應(yīng)成長法，構(gòu)建了高效散熱通道，然而，該方法是單純從生物分支網(wǎng)形態(tài)構(gòu)筑機(jī)理出發(fā)，沒有考慮散熱系統(tǒng)熱設(shè)計(jì)的要求。

本文基于植物葉片有效的水(養(yǎng))分輸送、能量交換和散熱冷卻機(jī)制與高熱流密度條件下樹狀分支散熱通道的熱傳輸功能具有本質(zhì)的相似性這一特性，研究植物網(wǎng)狀葉脈多層次結(jié)構(gòu)特征，形成多層次樹狀分支散熱通道生成方法，并通過不同熱設(shè)計(jì)條件下二維和三維傳熱結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)結(jié)果，驗(yàn)證此設(shè)計(jì)技術(shù)的有效性。

1 樹狀分支散熱通道層次生長策略

1.1 植物葉脈分層結(jié)構(gòu)特征

葉脈分支拓?fù)錁?gòu)型是水分運(yùn)輸?shù)闹匾ǖ溃~脈宏觀的分支形態(tài)和微觀的葉片組織使得植物葉片進(jìn)化出了十分有效的散熱冷卻機(jī)制來應(yīng)付高溫[14]，避免自身被過度光照曬傷。植物葉脈的分支拓?fù)錁?gòu)型有多種，如分叉狀脈、網(wǎng)狀脈和平行脈等，其形成機(jī)理和脈序等級(jí)有關(guān)系，而高級(jí)脈序與低級(jí)脈序的形成影響因素及生物功能各不相同。細(xì)觀網(wǎng)狀葉脈(圖1)，其葉脈系統(tǒng)主要由主脈和次脈組成，主脈是低級(jí)脈序，負(fù)責(zé)葉片內(nèi)外部的能量和養(yǎng)分輸送與交換；次脈為高級(jí)脈序，有序地和主脈連通，為主脈收集能量和養(yǎng)分。低級(jí)脈序和高級(jí)脈序由于其功能不同，具有分層次生長的特點(diǎn)，從而形成了不同的分布形態(tài)。

圖1 網(wǎng)狀葉脈脈序Fig.1 Reticulate leaf venation

1.2 散熱通道分層次生長方法

在小空間內(nèi)，高熱流密度條件下，通過布置一定體積的高導(dǎo)熱材料形成散熱通道將熱量有效導(dǎo)出，使得設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的散熱性能最優(yōu)。如圖2所示，設(shè)計(jì)域Ωd內(nèi)存在均勻或非均勻生熱熱源，熱量通過散熱邊界散出，其余邊界絕熱。設(shè)計(jì)問題中散熱通道的生成控制策略將決定散熱通道的分布形式，以及散熱結(jié)構(gòu)的散熱性能。

圖2 設(shè)計(jì)問題Fig.2 Design problem

散熱結(jié)構(gòu)中熱的傳輸本質(zhì)上講是一種“流”，與自然界植物葉脈中水分輸送一樣都屬于“物質(zhì)流”的輸送過程，因此散熱通道的生長可依據(jù)葉脈脈序的功能不同導(dǎo)致形態(tài)不同的原理，采用類似的生成方式，主次通道依次分層生長。

如圖3所示，定義散熱通道由不同尺寸的矩形組成，采用起點(diǎn)、終點(diǎn)和通道寬度3個(gè)參數(shù)即可確定任一通道的位置和尺寸。

圖3 散熱通道幾何表達(dá)Fig.3 Geometry simplification

1.2.1主通道的生長

主通道是傳導(dǎo)熱量的主要結(jié)構(gòu)，其主要作用是負(fù)責(zé)將熱量由結(jié)構(gòu)內(nèi)部直接有效地導(dǎo)出至熱沉點(diǎn)，基于這一思想，主通道以熱沉作為起點(diǎn)，采用考慮溫度場的空間殖民算法計(jì)算通道終點(diǎn)?？臻g殖民算法是一種分割空間的算法，RUNIONS等[15-16]基于空間競爭的思想提出空間殖民算法，并將其用于樹形結(jié)構(gòu)的可視化建模以及葉脈的可視化建模。LOHAN等[17]利用空間殖民算法對(duì)熱傳導(dǎo)問題中傳熱結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。本文在此基礎(chǔ)上，考慮結(jié)構(gòu)溫度場，結(jié)合高溫點(diǎn)的溫度和位置信息，采用考慮溫度信息的空間殖民算法(space colonization algorithm with temperature information，SCATI)搜尋主通道終點(diǎn)。

如圖4a所示，首先找出結(jié)構(gòu)內(nèi)最高溫度點(diǎn)s1，并找出與該點(diǎn)距離小于或等于d的點(diǎn)s2，s3，…，sn，得到集合S(v)；以熱沉點(diǎn)位置p為起點(diǎn)，集合S(v)內(nèi)點(diǎn)的位置和溫度值形成各點(diǎn)矢量，如圖4b虛線箭頭所示；由下式可得矢量和n(如圖4c實(shí)線箭頭所示)：

(1)

按照下式確定主通道終點(diǎn)(即圖4d所示p′位置點(diǎn))：

p′=p+n

(2)

(a) 高溫點(diǎn)集合

(b) 溫度和位置矢量

(c) 矢量和

(d) 主通道終點(diǎn)圖4 SCATI控制主通道生長Fig.4 Growth of principal channel by SCATI

根據(jù)葉脈層序特征的研究，葉脈不同層序體積分?jǐn)?shù)與葉脈面積之間具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律[18]，在此，主通道體積分?jǐn)?shù)按照葉脈中主脈體積分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律確定。

1.2.2次通道的生長

次通道的功能是收集熱量，將設(shè)計(jì)域內(nèi)的熱量快速有效地傳導(dǎo)至主通道，因此選擇溫度最高點(diǎn)作為次通道的終點(diǎn)，而起點(diǎn)的選擇必須能使得熱傳導(dǎo)效率盡可能高。從能量學(xué)角度出發(fā)考慮，遵循類似于自然分支系統(tǒng)中普遍存在的最小能耗原則，故采用最小熱阻原理來進(jìn)行次通道的生長。

一根分支通道的熱阻r可以定義為

(3)

其中，L，h和D分別為分支通道的長度、高度和寬度；κ為材料的熱導(dǎo)率。從熱沉點(diǎn)到通道末端，包含n根分支通道的總熱阻R可定義為

(4)

其中，ri為第i個(gè)分支通道的熱阻；n為導(dǎo)熱通道中分支通道的個(gè)數(shù)。如圖5所示，新生長的通道為子通道，與其相連已存在的通道為其母通道。沿母通道建立局部坐標(biāo)系X′Y′如圖5所示，從而總熱阻R采用局部坐標(biāo)系可表示為

(5)

圖5 子通道的局部坐標(biāo)系及生長Fig.5 Growth of daughter channel in local coordinate system

其中，xs為子通道起點(diǎn)在X′軸上的坐標(biāo)值；xe和ye分別為子通道終點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的X′和Y′坐標(biāo)值；Dn和Dn-1分別為子通道和與其相連的母通道的寬度；R′為傳熱路徑中除新子通道之外的通道熱阻。為求最小熱阻，對(duì)熱阻R表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)，獲得極值點(diǎn)：

(6)

得到

(7)

由此可確定次通道的起點(diǎn)和終點(diǎn)。給定子通道初始枝寬D0，完成一根次通道的生長。由圖5可知，原母通道被子通道起點(diǎn)分割成兩段：

(8)

式中,λ為分歧指數(shù)，根據(jù)能量損耗最小原理，λ取值為3[19]。

1.2.3分層次生長流程圖

圖6為傳熱結(jié)構(gòu)分層次生長流程圖。首先設(shè)定設(shè)計(jì)域以及熱設(shè)計(jì)條件和參數(shù)，包括設(shè)計(jì)域尺寸、熱沉條件、熱源條件、高導(dǎo)熱材料和低導(dǎo)熱材料的熱導(dǎo)率、主通道體積分?jǐn)?shù)上限、通道初始寬度、所有通道體積分?jǐn)?shù)上限等。然后利用有限元熱分析，得到設(shè)計(jì)域溫度場，采用SCATI算法實(shí)現(xiàn)主通道生長，直至滿足主通道體積分?jǐn)?shù)要求，主通道生長完成。主通道生長完成后，開始次通道的生長。次通道的生長依據(jù)最小熱阻原理確定生長分歧點(diǎn)，按照Murray法則更新枝寬。最后，當(dāng)高導(dǎo)熱材料的體積分?jǐn)?shù)達(dá)到設(shè)計(jì)要求時(shí)生長迭代停止，即傳熱通道生長完成。

圖6 傳熱結(jié)構(gòu)分層次生長流程圖Fig.6 Flow chart of hierarchy growth of heat transfer structure

2 典型數(shù)值算例

以熱通道分層生長的方法，對(duì)典型的二維均勻生熱及非均勻生熱和三維熱傳導(dǎo)算例進(jìn)行散熱通道優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.1 單點(diǎn)熱沉均勻生熱算例

圖7所示為典型均勻生熱單點(diǎn)熱沉問題。設(shè)計(jì)域?yàn)?.1 m×0.1 m的正方形，其內(nèi)部存在均勻生熱，生熱率Q=3 000 W/m2。在設(shè)計(jì)域的底邊中部有熱沉作為散熱邊界，其長度b=0.01 m，熱沉溫度t0=0 ℃，其余邊界絕熱。高導(dǎo)熱材料與低導(dǎo)熱材料的熱導(dǎo)率比K=400。根據(jù)相應(yīng)生物學(xué)葉脈中主脈體積的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，主通道體積分?jǐn)?shù)上限為16.93%[18]，高導(dǎo)熱材料體積分?jǐn)?shù)上限為20%。

圖7 單點(diǎn)熱沉均勻熱源設(shè)計(jì)模型Fig.7 Design model for singie heat sink and uniform heat source

設(shè)計(jì)域內(nèi)黑色部分表示由高導(dǎo)熱材料敷設(shè)的散熱通道，白色部分表示低導(dǎo)熱材料。如圖8a所示，主通道較為均勻地分布在整個(gè)設(shè)計(jì)域內(nèi)，將設(shè)計(jì)域分成多個(gè)區(qū)域；主通道的長度較長，從熱沉出發(fā)延展至設(shè)計(jì)域的邊界處。次通道主要出現(xiàn)在設(shè)計(jì)域內(nèi)主通道分布稀疏處，如圖8b所示，可以發(fā)現(xiàn)，隨著次通道的生長，大部分主通道及個(gè)別次通道的寬度會(huì)隨之更新、增寬，其中有分支的通道寬度與無分支的通道寬度相比更寬。比較次通道與主通道的長度可以發(fā)現(xiàn)，次通道的長度要遠(yuǎn)小于主通道?？梢园l(fā)現(xiàn)，分支現(xiàn)象主要發(fā)生在主通道上。當(dāng)高導(dǎo)熱材料的體積分?jǐn)?shù)到達(dá)設(shè)計(jì)上限時(shí)生長過程停止，獲得最終拓?fù)湫螒B(tài)。計(jì)算最終結(jié)果，主通道體積分?jǐn)?shù)為16.98%，與計(jì)算要求的主通道體積分?jǐn)?shù)16.93%十分接近。設(shè)計(jì)域溫度場如圖8c所示。

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)散熱結(jié)構(gòu)的傳熱性能，同條件下采用SIMP方法設(shè)計(jì)散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螒B(tài)進(jìn)行對(duì)比，如圖8d所示。兩種方法所設(shè)計(jì)傳熱通道形態(tài)類似，其中SIMP方法設(shè)計(jì)結(jié)果與天然樹形結(jié)果更相似，但其熱通道細(xì)小、不規(guī)則，存在灰度單元，不利于傳統(tǒng)加工方式制造。分層生長方式設(shè)計(jì)的熱通道邊界清晰、無灰度單元，可采用線切割等低成本加工方式進(jìn)行制造。兩種設(shè)計(jì)結(jié)果的熱性能對(duì)比見表1，與SIMP方法所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)相比，分層生長方法所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的最高溫度、平均溫度和溫度方差分別下降了28.9%、6.8%和55.4%。

(a) 主通道生長完成

(b) 次通道生長完成

(c) 設(shè)計(jì)域溫度場

(d) SIMP方法設(shè)計(jì)結(jié)果圖8 單點(diǎn)熱沉均勻熱源設(shè)計(jì)Fig.8 Design results for single heat sink and uniform heat source

表1 優(yōu)化結(jié)果熱性能對(duì)比(單點(diǎn)熱沉均勻熱源)Tab.1 Comparison of thermal performances for optimal design results(single heat sink and uniform heat source)

2.2 兩點(diǎn)熱沉非均勻生熱算例

圖9所示為兩點(diǎn)熱沉非均勻生熱模型，熱沉的溫度和尺寸保持不變，數(shù)量增加1，相應(yīng)的設(shè)置方式如圖8所示；非均勻生熱率Q1=6 000 W/m2，Q2=600 W/m2，布置方式如圖9所示，其余參數(shù)與邊界條件均保持不變。

圖9 兩點(diǎn)熱沉非均勻熱源設(shè)計(jì)問題Fig.9 Design model for double heat sink and non-uniform heat source

圖10a所示為主通道生長結(jié)束后散熱通道拓?fù)湫螒B(tài)，主通道主要分布在高熱流密度區(qū)，與熱沉點(diǎn)連接。圖10b所示次通道主要分布在高熱流密度且主通道分布較為稀疏的區(qū)域。散熱通道最終的拓?fù)湫螒B(tài)及其溫度場分布圖見圖10c。

同條件下采用SIMP方法設(shè)計(jì)散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螒B(tài)，如圖10d所示，其熱性能對(duì)比見表2。在非均勻熱源兩點(diǎn)熱沉條件下，與SIMP方法所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)相比，分層生長方法所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的最高溫度、平均溫度和溫度方差分別下降了42.1%、8.2%和73.9%。分層生長方法所設(shè)計(jì)的散熱結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單且拓?fù)溥吔缜逦?，不?huì)出現(xiàn)SIMP方法中存在的灰度單元或邊界模糊的現(xiàn)象。

(a) 主通道生長完成

(b) 次通道生長完成

(c) 設(shè)計(jì)域溫度場

(d) SIMP方法設(shè)計(jì)結(jié)果圖10 兩點(diǎn)熱沉非均勻熱源設(shè)計(jì)Fig.10 Design results for double heat sink and non-uniform heat source

表2 優(yōu)化結(jié)果熱性能對(duì)比(兩點(diǎn)熱沉非均勻熱源)Tab.2 Comparison of thermal performances for optimal design results(double heat sink and non-uniform heat source)

2.3 四點(diǎn)熱沉非均勻生熱算例

圖11所示為四點(diǎn)熱沉非均勻生熱模型，熱沉的溫度和尺寸保持不變，數(shù)量增加為4，分別位于設(shè)計(jì)域的4個(gè)角點(diǎn)；非均勻生熱率Q1=6 000 W/m2，Q2=600 W/m2，布置方式如圖11所示，其余參數(shù)與邊界條件均保持不變。

圖11 四點(diǎn)熱沉非均勻熱源設(shè)計(jì)模型Fig.11 Design model for tetrad heat sink and non-uniform heat source

圖12a所示為主通道生長結(jié)束后散熱通道拓?fù)湫螒B(tài)，主通道主要分布在高熱流密度區(qū)，與熱沉點(diǎn)連接。次通道主要分布在高熱流密度區(qū)且主通道分布較為稀疏的區(qū)域。圖12b所示為散熱通道最終的拓?fù)湫螒B(tài)，高熱流密度區(qū)出現(xiàn)較多細(xì)小次通道分支。散熱結(jié)構(gòu)溫度場分布如圖12c所示。

同條件下采用SIMP方法設(shè)計(jì)散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螒B(tài)，如圖12d所示，其熱性能對(duì)比見表3。在非均勻熱源四點(diǎn)熱沉條件下，與SIMP方法所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)相比，分層生長方法所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的最高溫度、平均溫度和溫度方差分別下降了49.0%、19.7%和64.7%。同樣地，分層生長方法所設(shè)計(jì)的散熱結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單且拓?fù)溥吔缜逦?，不?huì)出現(xiàn)SIMP方法中存在的灰度單元或邊界模糊的現(xiàn)象。

(a) 主通道生長完成

(b) 次通道生長完成

(c) 設(shè)計(jì)域溫度場

(d) SIMP方法設(shè)計(jì)結(jié)果圖12 四點(diǎn)熱沉非均勻熱源設(shè)計(jì)Fig.12 Design results for tetrad heat sink and non-uniform heat source

表3 優(yōu)化結(jié)果熱性能對(duì)比(四點(diǎn)熱沉非均勻熱源)Tab.3 Comparison of thermal performances for optimal design results(tetrad heat sink and non-uniform heat source)

2.4 三維傳熱結(jié)構(gòu)算例

圖13所示為三維傳熱結(jié)構(gòu)算例。設(shè)計(jì)域?yàn)榘雸A柱曲面，圓柱半徑r=0.1 m，圓柱長度為0.2 m，曲面均勻生熱，生熱率Q=3×103W/m2。如圖13所示，在設(shè)計(jì)域的底邊中部有一個(gè)熱沉作為散熱邊界，其長度b=0.01 m，熱沉溫度t0=0 ℃，其余邊界絕熱。

圖13 三維傳熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型Fig.13 Design model for 3D heat transfer structure

圖14a和圖14b所示為分層生長方法所設(shè)計(jì)三維半圓柱設(shè)計(jì)域內(nèi)散熱通道拓?fù)湫螒B(tài)，其分布與單點(diǎn)熱沉平面結(jié)構(gòu)類似。主通道較為均勻地分布在整個(gè)設(shè)計(jì)域內(nèi),次通道主要分布在主通道分布較為稀疏的區(qū)域；散熱結(jié)構(gòu)溫度場分布如圖14c所示。設(shè)計(jì)域內(nèi)最高溫度、平均溫度和溫度方差分別為1.026 ℃、0.790 ℃和0.050 0。

(a) 散熱通道分布俯視圖

(b) 散熱通道分布

(c) 設(shè)計(jì)域溫度場圖14 三維傳熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.14 Design result for 3D heat transfer structure

3 結(jié)論

本文針對(duì)高熱流密度電子元件所需小空間散熱方式，提出了一種分層生長散熱通道拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。與SIMP的算例比較，所提出的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)結(jié)果輪廓清晰、無灰度單元，易于采用線切割等傳統(tǒng)低成本加工方法進(jìn)行加工，并且具有較好傳熱性能。通過單點(diǎn)熱沉、兩點(diǎn)熱沉、四角熱沉、均勻生熱、非均勻生熱以及三維設(shè)計(jì)域等多種設(shè)計(jì)算例，驗(yàn)證了所提方法的適用性。