周培紅

（福建省泉州第一中學，福建泉州 362200）

引 言

本節(jié)課是選修4-7 的內容。主要是引導學生探究斐波那契數(shù)列的部分性質，讓學生感受數(shù)學的奧妙，以激發(fā)學生學習的積極性。因為教材內容較少，筆者在課前精心準備，并收集相關材料。如何讓這節(jié)課上得更加生動有趣，關鍵在于引入環(huán)節(jié)。首先，筆者用猜數(shù)字的游戲調動學生的求知欲；其次，用斐波那契數(shù)列最經典的例子——兔子問題；最后，結合PPT 中生動的圖案引入。課堂中，筆者選取的例子極具代表性，與生活緊密結合。

一、教材內容解析

教學內容：這是人教A 版選修4-7 中的一篇拓展學習材料，以兔子繁殖問題創(chuàng)設情境，分析其中的數(shù)量關系，得出它的數(shù)學模型——斐波那契數(shù)列，并由具體到抽象，研究了這一數(shù)列中的遞推公式，最后引出這個數(shù)列可以產生黃金分割的近似分數(shù)列[1]。本節(jié)教材安排的目的是拓展學生知識面，幫助學生了解斐波那契數(shù)列。

教學重點：斐波那契數(shù)列的特點。

教學難點：斐波那契數(shù)列的性質及其研究。

二、學生學情分析

學生在高中數(shù)學必修五中學習了等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關知識，對數(shù)列有一定的認識，已經掌握了數(shù)列的幾種常用分析方法，如遞推方法、迭加法、迭乘法、倒序相加法、錯位相減、分組求和與裂項相消法等。

要達成本節(jié)課的教學目標，要求學生敏銳地發(fā)現(xiàn)一串數(shù)字中隱含的關系，而且是深層次關系。同時，本節(jié)課對學生使用信息技術輔助數(shù)學探究性學習的能力有適當要求，特別是運用“互聯(lián)網+平板電腦”的操作，可能會受到網絡傳輸不流暢、反應較慢、操作不熟練等因素的影響。

學生數(shù)學基礎相對扎實、思維較活躍，能夠熟練運用平板電腦信息技術輔助學習，具有豐富的探究活動經驗，但在抽象概括能力和提煉總結意識上還有待進一步提升。

三、教學目標設置

（1）通過具體案例，讓學生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學，發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，探尋生活中隱含的數(shù)學美，從而對數(shù)學美有更新的認識。

（2）通過為學生布置課后研究性學習課題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，特殊與一般、必然與偶然的數(shù)學思想和邏輯推理的核心素養(yǎng)。

四、教學策略分析

（1）從三個小游戲開始，設置懸念，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲，培養(yǎng)學生的文化素養(yǎng)，通過數(shù)學文化立德樹人。（2）游戲之后提出兔子問題，介紹兔子問題的由來，正式提出斐波那契數(shù)列，開展問題探究，層層遞進。（3）學生的自主學習能力較強，可在課前進行充分的材料收集。將學生分為三個小組，由淺到深，逐步展示他們收集的生活中的斐波那契數(shù)列。三個小組的PPT 選材很有代表性。（4）突破難點的策略是：在教學時，先從介紹斐波那契數(shù)列開始，逐步找尋數(shù)列中的性質，引導學生發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)列是一種極具數(shù)學美的數(shù)列。

斐波那契數(shù)列有很多讓人驚訝的性質結論，由于時間所限，只能介紹部分性質。

五、教學流程設計

（一）游戲導入

師：這節(jié)課開始前，我們先來做個游戲。(學生利用平板電腦，當場答題)

（1）觀察下列兩行數(shù)，并填空。

①1，1，2，3，5，8，13，（ ），（ ）

②2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）

（2）請在紙上任意寫出12 個正整數(shù)，從第三個數(shù)開始每個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。

師：剛剛我們尋找規(guī)律，現(xiàn)在請同學們按規(guī)律來寫數(shù)字。你們的手中已有一張紙，上面已經畫好十二個格，拿起你的彩筆按要求寫數(shù)字。（學生開始寫，教師巡視）

師：同學們只要告訴老師你的第十一個數(shù)字是什么，老師就可以猜出你的第十二個數(shù)。

（邀請兩位學生上臺展示，注意只展示給同學，老師當場驗證）

（設計意圖：以游戲導入可以使學生快速進入學習狀態(tài)，以激發(fā)學生的探究欲望，為下面的學習奠定基礎。）

（二）新課

1.兔子問題與斐波那契數(shù)列

師：剛才的游戲是不是很有趣呢？這是為什么呢？請回想剛才的幾個游戲中，填空時我們寫的12 個數(shù)字，這幾個數(shù)列有什么特點？（提問學生）

師：很好！從第三項開始，每項等于前兩項之和，這樣的數(shù)列跟斐波那契數(shù)列有關。什么是斐波那契數(shù)列呢？這就要從兔子問題談起了。

（1）介紹兔子問題與斐波那契。兔子問題是由幾個世紀前的一位叫作斐波那契的意大利數(shù)學家提出的，他在他寫的算盤書中提到這個問題。

兔子問題：假設一對初生的小兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟的兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生兔子開始，12 個月后會有多少對兔子呢？

（2）斐波那契數(shù)列。

②1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……

這就是斐波那契數(shù)列，其中的任何一個數(shù)都叫斐波那契數(shù)。

師：上課前同學們已經提前收集了斐波那契數(shù)，下面我們就請三個小組分別派代表來分享他們的成果，展示PPT。

（設計意圖：通過學生動手展示斐波那契數(shù)列與生活方面的聯(lián)系，讓學生懂得互助合作，擴展學生的視野，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。時間約5 分鐘。）

師：第一小組收集的是花，生活中的花，花瓣的數(shù)目是斐波那契數(shù)，而且圖片很漂亮。第二小組收集了斐波那契螺旋線，圖片很有趣，最后來了一張美國總統(tǒng)特朗普的照片。第三小組收集得更深入，他們找到了斐波那契數(shù)列中數(shù)與數(shù)之間更深層次的關系，符合他們組平時的風格，很有深度。很感謝剛才三位同學的分享，說明他們很用心地準備了。（教師可以適當補充同學沒找到的有趣內容，如樹杈的數(shù)目、蘋果手機的標識等）

師：斐波那契數(shù)列被發(fā)現(xiàn)已經有幾個世紀之久，為什么至今人們還在研究它，它究竟有多神奇呢？一起來看視頻。

(設計意圖：通過視頻，可以讓學生了解更多斐波那契數(shù)列的性質，拓展知識，視頻約5 分鐘。)

2.神奇的斐波那契數(shù)列

（2）其余部分性質：第3，6，9 項的數(shù)字可以被2 整除；第4，8，12 項的數(shù)字可以被3 整除；第5，10 項的數(shù)字可以被5 整除……

師：通過視頻，老師列舉了幾個比較性質出來。這確實是個美麗的數(shù)列，數(shù)學家們已經發(fā)現(xiàn)了這個數(shù)列的不少性質，也許它還有更多性質在等待著在座的同學去發(fā)現(xiàn)，到時你們也會成為數(shù)學家。講了這么多性質，下面就來看看與斐波那契數(shù)列有關的題目。

3.試題中的斐波那契數(shù)列

例1：有一列數(shù)1，2，3，5，8，13，21，34，……，從第三個數(shù)開始每個數(shù)是前兩項的和，那么前1000 個數(shù)中有多少個奇數(shù)？

4.相關問題

（1）跳格游戲。

（2）連分數(shù)。

師：把連分數(shù)一直寫下去，它的結果會是什么？

（3）斐波那契數(shù)列與黃金比。

師：我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)一直繞著0.618 擺動，越來越趨近于0.618，即黃金分割常數(shù)

（設計意圖：通過逐層深入的問題，引導學生探索斐波那契數(shù)列的特性，進一步加深學生對斐波那契數(shù)列的了解，慢慢引出黃金分割比。）

5.黃金分割

師：為什么叫它黃金分割，黃金十分珍貴，黃金分割能夠體現(xiàn)和諧美。

（2）黃金分割的美：人體各部分的美、黃金矩形的寬長比、美麗的葉子、美麗的正五角形中的比。

師：畢達哥拉斯學派崇尚美，他們在對數(shù)學的研究中不斷發(fā)現(xiàn)美，他們認為美表現(xiàn)在數(shù)量比例的對稱與和諧中。

師：這節(jié)課我們了解了部分斐波那契數(shù)列的性質與它隱藏的美，下面我們來解密一開始的小游戲，如何知道前一個數(shù)推出后一個數(shù)。前一個數(shù)比后一個數(shù)，越來越趨近于黃金分割。

（三）小結

（1）學習斐波那契數(shù)列，并懂得利用部分性質解題。

（2）學會發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學美。

（四）作業(yè)

（1）借助于網絡資源，探索斐波那契數(shù)列的其他特性。

（2）調查周圍的生物、藝術作品和建筑，能否找出其與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系。

結 語

整節(jié)課的設計流程始終以學生為主體，將智慧課堂的技術融入課堂教學，采取學生自主學習、小組交流討論、上臺交流展示等形式，師生配合默契，學習氛圍和諧融洽，實現(xiàn)了良好的教學預期。