刁海濤

南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京,210023

在傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)據(jù)處理中，觀測(cè)值表示為一組參數(shù)的線性函數(shù)，而線性回歸模型只是觀測(cè)值與參數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)，不能很好地反映實(shí)際問題，且模型參數(shù)的精度受到測(cè)量方法的影響[1]。Engle等引入的半?yún)?shù)回歸模型，包含參數(shù)部分和非參數(shù)部分[2]，與Hastie等提出的廣義可加模型結(jié)合[3]，產(chǎn)生了半?yún)?shù)廣義可加模型，解決了傳統(tǒng)線性模型的問題。該模型的參數(shù)部分把握因變量的走向趨勢(shì)，可以外延、適于預(yù)測(cè)；非參數(shù)部分可對(duì)因變量進(jìn)行局部調(diào)整，使模型更加精確地?cái)M合樣本數(shù)據(jù)，誤判風(fēng)險(xiǎn)降低，避免“維數(shù)災(zāi)難”[4]。這種模型既含參數(shù)分量，又含非參數(shù)分量，可以更加靈活地概括和描述更多實(shí)際問題，應(yīng)用更加廣泛。本文通過半?yún)?shù)可加模型，分析居民個(gè)人收入的影響因素。

1 模型理論基礎(chǔ)

1.1 廣義可加模型

經(jīng)典的線性回歸模型假定被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,Xp是線性形式，如：

E(Y|X1,X2,…,Xp)=β0+β1X1+β2X2+…+βpXp

(1)

其中，β1,β2,…,βp通過最小二乘法獲得。

可加模型擴(kuò)展了線性回歸模型：

E(Y|X1,X2,…,Xp)=s0+s1(X1)+s2(X2)+…+sp(Xp)

(2)

其中，si(·),i=1,2,…,p是光滑函數(shù)，Esi(Xi)=0，si(·)通過backfitting算法獲得。

廣義可加模型是線性可加模型的擴(kuò)展：

g(μ)=s0+s1(X1)+s2(X2)+…+sp(Xp)

(3)

其中，μ=E(Y|X1,X2,…,Xp)，si(·)是非參數(shù)光滑函數(shù)，它可以是光滑樣條函數(shù)、核函數(shù)或者局部回歸光滑函數(shù)，它的非參數(shù)部分提高了模型的靈活性，揭示出解釋變量對(duì)被解釋變量的非線性影響。

1.2 半?yún)?shù)廣義可加模型

若對(duì)所有解釋變量都進(jìn)行非參數(shù)擬合，則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量加大和過度擬合等問題。有時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況，將被解釋變量與部分解釋變量的關(guān)系簡(jiǎn)化成參數(shù)形式，會(huì)更便于解釋，即半?yún)?shù)廣義可加模型(Semi-parametric Generalized Additive Models)：

(4)

2 數(shù)據(jù)說明及描述性統(tǒng)計(jì)

為研究家庭和受教育環(huán)境對(duì)居民個(gè)人收入的影響，本文選取伍德里奇《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論—現(xiàn)代觀點(diǎn)》HTV.RAW數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)包含1991年1 230個(gè)個(gè)人的家庭背景、收入及其他情況，包括wage(每小時(shí)收入)、abil(能力，不可觀測(cè))、educ(受教育年限)、exper(潛在經(jīng)驗(yàn))、urban(是否居住在城市)和lwage(收入的自然對(duì)數(shù))等變量，相對(duì)全面地呈現(xiàn)了個(gè)人成長(zhǎng)環(huán)境。為方便分析，選擇abil、educ、exper、urban、fatheduc(父親受教育年限)和motheduc(母親受教育年限)6個(gè)變量作為自變量，取lwage為因變量，研究收入的影響因素。分別做abil、educ、exper、fatheduc和motheduc與lwage的散點(diǎn)圖(圖1和圖2)。

圖1 abil、educ和exper與因變量lwage的散點(diǎn)圖

圖2 fatheduc和motheduc與因變量lwage的散點(diǎn)圖

由圖1、圖2可得：abil與lwage可能存在線性關(guān)系，可作為模型的參數(shù)部分，exper、educ、fatheduc和motheduc可作為模型的非參數(shù)部分的變量。

urban是0～1變量，也作為模型的參數(shù)部分。1 230人中有1 005人居住在城市。

3 模型求解

3.1 參數(shù)模型

首先，對(duì)lwage及其影響因素建立模型Ⅰ—多元線性參數(shù)模型，表達(dá)式如下：

lwage～exper+urban+educ+abil+fatheduc+motheduc

(5)

根據(jù)最小二乘估計(jì)思想，利用R軟件[5]對(duì)模型Ⅰ(式5)進(jìn)行求解(結(jié)果見表1)。

在顯著性水平α=0.05下，父母受教育年限的回歸系數(shù)不顯著，說明其對(duì)個(gè)人收入對(duì)數(shù)的影響可能是非線性的，其他變量的回歸系數(shù)均顯著，且與收入對(duì)數(shù)成正相關(guān)。

表1 參數(shù)模型回歸系數(shù)估計(jì)及檢驗(yàn)

注：**表示極為顯著，*表示顯著。

3.2 半?yún)?shù)廣義可加模型

由模型Ⅰ的結(jié)果可得，abil、educ、exper和urban對(duì)lwage的影響是線性的，作為線性項(xiàng)。而fatheduc和motheduc對(duì)lwage的線性影響不顯著，作為非參數(shù)項(xiàng)，建立模型Ⅱ—半?yún)?shù)廣義可加模型，表達(dá)式如下：

lwage～abil+exper+educ+s(fatheduc)+s(motheduc)+urban

(6)

用R軟件對(duì)模型Ⅱ式(6)參數(shù)項(xiàng)和非參數(shù)項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)[6]，結(jié)果分別見表2和表3。

表2 模型Ⅱ參數(shù)部分估計(jì)結(jié)果

注：**表示極為顯著，*表示顯著。

由表3可得，在顯著性水平α=0.05下，截距項(xiàng)和參數(shù)項(xiàng)都是顯著的，說明模型參數(shù)部分?jǐn)M合效果較好。截距和四個(gè)參數(shù)的系數(shù)都是正值，其中，educ與urban對(duì)lwage的影響相對(duì)較大，而abil和exper的影響相對(duì)較弱。

表3 模型Ⅱ非參數(shù)部分估計(jì)結(jié)果

注：**表示極為顯著。

對(duì)比表3和表1，父母的受教育年限對(duì)個(gè)人收入對(duì)數(shù)的非參數(shù)效應(yīng)大于參數(shù)效應(yīng)，對(duì)應(yīng)的p值表示平滑函數(shù)是否顯著地減少了模型誤差。fatheduc的影響強(qiáng)于motheduc的影響，motheduc的非參數(shù)效應(yīng)不是很顯著。fatheduc對(duì)lwage的非線性影響具體見圖3。

圖3 半?yún)?shù)廣義可加模型中父母受教育年限因素的非參數(shù)效應(yīng)

圖3表明，在該半?yún)?shù)廣義可加模型中，fatheduc對(duì)lwage的影響不是單增或單減。當(dāng)fatheduc較低時(shí)，lwage隨著fatheduc的增大而減??；當(dāng)fatheduc大于5且小于18時(shí)，lwage隨著fatheduc的增大緩慢增長(zhǎng)，當(dāng)fatheduc大于18時(shí)，lwage有減小趨勢(shì)。而motheduc對(duì)lwage的影響相對(duì)較單一，影響整體呈負(fù)向。當(dāng)motheduc低于8時(shí)，lwage隨著motheduc的增大而快速減??；當(dāng)motheduc在8到15之間時(shí)，lwage有很緩慢的增長(zhǎng)趨勢(shì)；當(dāng)motheduc大于15后，lwage又出現(xiàn)下降趨勢(shì)。

4 結(jié) 語

本文將半?yún)?shù)回歸與廣義可加模型結(jié)合，并應(yīng)用到居民個(gè)人收入的研究中。結(jié)果表明，在影響個(gè)人收入的諸因素中，個(gè)人能力、受教育年限、潛在經(jīng)驗(yàn)、居住在城市對(duì)居民個(gè)人收入的影響是參數(shù)效應(yīng)，且均為正向效應(yīng)。其中受教育年限和城鄉(xiāng)因素對(duì)收入的影響相對(duì)較大，而個(gè)人能力和潛在經(jīng)驗(yàn)影響相對(duì)較小。而父母受教育年限對(duì)收入影響是非參數(shù)效應(yīng)，不同教育年限對(duì)收入影響趨勢(shì)不同。父母受教育年限小于5年，對(duì)收入影響均呈現(xiàn)不同程度的負(fù)效應(yīng)；當(dāng)受教育年限為10～15年時(shí)，父親受教育年限對(duì)收入的正向影響大于母親。