田 勇，王洪光，潘新安，胡明偉

(1. 中國(guó)科學(xué)院 沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所，沈陽(yáng) 110016；2. 中國(guó)科學(xué)院 機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院，沈陽(yáng) 110016；3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引言

隨著機(jī)器人的廣泛應(yīng)用，對(duì)機(jī)器人的需求由大型、負(fù)載自重比小的傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人向輕型、負(fù)載自重比大的協(xié)作機(jī)器人方向發(fā)展。協(xié)作機(jī)器人是指能夠在指定的協(xié)作區(qū)域內(nèi)與人進(jìn)行直接交互的機(jī)器人[1-2]。協(xié)作機(jī)器人具有輕型、負(fù)載自重比大的特點(diǎn)，需要協(xié)作機(jī)器人采用一體化關(guān)節(jié)和輕質(zhì)連桿。但是關(guān)節(jié)和連桿的柔性導(dǎo)致了機(jī)器人的剛度降低，導(dǎo)致機(jī)器人在運(yùn)行過(guò)程中容易出現(xiàn)低頻諧振，且到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)出現(xiàn)殘余振動(dòng)，降低機(jī)器人的精度。為了保證機(jī)器人能夠高速平穩(wěn)運(yùn)行，就需要對(duì)柔性機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析研究[3-4]。

目前，針對(duì)機(jī)器人柔性的研究，主要分為對(duì)柔性連桿和柔性關(guān)節(jié)的研究。對(duì)于柔性關(guān)節(jié)的研究中，黎田[5]考慮了關(guān)節(jié)柔性建立了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，并且通過(guò)主動(dòng)抑振的方法對(duì)機(jī)器人進(jìn)行了振動(dòng)抑制； Korayem等[6]通過(guò)分析關(guān)節(jié)柔性對(duì)承載能力的影響，指出關(guān)節(jié)柔性的增加會(huì)降低機(jī)械臂系統(tǒng)的最大承載能力；Korayem等[7]考慮關(guān)節(jié)和連桿的柔性，對(duì)移動(dòng)操作臂進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了分析，并研究軌跡對(duì)柔性操作臂的影響，證明提出方法的有效性。針對(duì)于連桿柔性，Lee[8]通過(guò)假設(shè)模態(tài)法建立了柔性桿的柔性變形，研究了帶有末端質(zhì)量的柔性桿的振動(dòng)特性；Low[9]利用有限元法建立了柔性桿的有限元模型，并研究了末端負(fù)載對(duì)柔性桿動(dòng)態(tài)特性的影響；高勝等[10]通過(guò)有限元方法建立了柔性機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，研究了連桿參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響；Farid[11]通過(guò)拉格朗日法和有限元法對(duì)含有關(guān)節(jié)和連桿柔性的冗余機(jī)器人進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，并通過(guò)數(shù)值法預(yù)測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。文獻(xiàn)[12-15]研究了關(guān)節(jié)及連桿的柔性對(duì)機(jī)器人動(dòng)態(tài)特性的影響，大多針對(duì)單連桿或平面機(jī)器人進(jìn)行分析。

協(xié)作機(jī)器人SHIR5是7DOF冗余機(jī)器人，本文利用有限元法和拉格朗日法建立了機(jī)器人SHIR5的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，并考慮機(jī)器人的關(guān)節(jié)和連桿的柔性，提高了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確度。然后研究了機(jī)器人各參數(shù)對(duì)其固有頻率的影響，為后續(xù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了有力的支撐。最后利用遺傳算法對(duì)機(jī)器人參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，提升了機(jī)器人的固有頻率。

1 機(jī)器人模型及簡(jiǎn)化

圖1 機(jī)器人三維模型及等效模型

圖1所示為SHIR5機(jī)器人的三維模型及等效模型?？梢钥闯?，機(jī)器人的連桿為不規(guī)則形狀。首先對(duì)連桿進(jìn)行簡(jiǎn)化，將連桿分為兩部分：圓形薄壁部分和非圓形薄壁部分。定義圓形截面的直徑為D，橢圓形截面的長(zhǎng)短軸分別為D、B，連桿的厚度為d。

由表1可以看出，關(guān)節(jié)的傾覆剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)剛度。因此，通過(guò)線性扭簧對(duì)關(guān)節(jié)進(jìn)行簡(jiǎn)化。如圖1所示，θ為電機(jī)轉(zhuǎn)角，關(guān)節(jié)的剛度為k，關(guān)節(jié)的彈性變形為φ。

表1 對(duì)關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化后的參數(shù)設(shè)置

通過(guò)連桿和關(guān)節(jié)的簡(jiǎn)化，得到機(jī)器人的整體簡(jiǎn)化模型，如圖2所示。將連桿簡(jiǎn)化為圓形截面和橢圓截面的兩個(gè)單元，設(shè)連桿Li上的單元j的序號(hào)為ij，單元的長(zhǎng)度及單位長(zhǎng)度質(zhì)量分別為lij、mij。關(guān)節(jié)Ji質(zhì)量為mpi，扭轉(zhuǎn)剛度為ki。連桿L7及關(guān)節(jié)J7對(duì)系統(tǒng)的影響較小，為簡(jiǎn)化模型，將L7等效為剛性連桿，將關(guān)節(jié)J7等效為集中質(zhì)量，P為負(fù)載。

圖2 機(jī)器人的等效模型

根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)，可以得到連桿的參數(shù)與連桿的D、B、d有關(guān)，如連桿的抗拉剛度、抗彎剛度、抗扭剛度以及單元長(zhǎng)度質(zhì)量參數(shù)。

2 有限元模型的建立及動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)

2.1 機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)關(guān)系描述

對(duì)于柔性連桿的建模，主要有有限元法和假設(shè)模態(tài)法[16]。本文中的連桿截面較為復(fù)雜，因此采用有限元法對(duì)柔性連桿進(jìn)行建模[17]。本文采用空間梁?jiǎn)卧獙?duì)機(jī)器人進(jìn)行建模，得到機(jī)器人的柔性運(yùn)動(dòng)關(guān)系，如圖3所示。

圖3 機(jī)器人柔性運(yùn)動(dòng)關(guān)系

首先建立系統(tǒng)坐標(biāo)系O-x0y0z0，以及隨連桿運(yùn)動(dòng)的局部坐標(biāo)系O-xiyizi，局部坐標(biāo)系的zi軸始終與連桿i重合。其中關(guān)節(jié)的理論轉(zhuǎn)角為θi，關(guān)節(jié)的彈性變形為φi；在局部坐標(biāo)系中，連桿i含有兩個(gè)單元，單元的變形位移和變形轉(zhuǎn)角分別為uij(z,t)、vij(z,t)，其中i代表連桿序號(hào)，i=1, 2,…, 6；j代表單元序號(hào)，j=1, 2。

連桿i上任意一點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的位置為ri′， 當(dāng)位于連桿的單元j=1時(shí)，ri′=[z+ui1(1,1);ui1(2,1);ui1(3,1); 1]；當(dāng)位于連桿的單元j=2時(shí)，ri′=[li1+z+ui2(1,1);ui2(2,1);ui2(3,1); 1]，則ri′的表達(dá)式為：

(1)

其中，li1為單元1的長(zhǎng)度，i=1, 2,…, 6；j=1, 2。

柔性桿在系統(tǒng)坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換矩陣通過(guò)前一連桿和前一關(guān)節(jié)的變換矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換，其中關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)變換矩陣為T1，關(guān)節(jié)的柔性變形的變換矩陣為T2，連桿的變換矩陣為T3。則柔性桿i上任意一點(diǎn)在系統(tǒng)坐標(biāo)系中的位置表示為：

ri=T13·T11·T12·…·Ti3·Ti1·Ti2·ri′

(2)

2.2 動(dòng)力學(xué)模型的推導(dǎo)

機(jī)器人的動(dòng)能包括連桿的動(dòng)能，集中質(zhì)量的動(dòng)能以及關(guān)節(jié)的動(dòng)能。勢(shì)能包括連桿的彈性勢(shì)能、連桿及集中質(zhì)量的重力勢(shì)能以及關(guān)節(jié)的彈性勢(shì)能。

(3)

(4)

(5)

通過(guò)公式可以得到系統(tǒng)的總動(dòng)能及勢(shì)能，并利用拉格朗日方程，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程及固有頻率方程：

(6)

(7)

其中,M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，H為系統(tǒng)的科氏力、離心力，K為系統(tǒng)的剛度矩陣，G為系統(tǒng)的重力。

3 連桿參數(shù)對(duì)固有頻率的影響

固有頻率與連桿的長(zhǎng)度Li、連桿圓形截面長(zhǎng)度li1、連桿厚度di、連桿直徑Di、短軸Bi、關(guān)節(jié)質(zhì)量及剛度有關(guān)。上述參數(shù)對(duì)固有頻率的影響如圖4所示。

(1)d1、d4和d5對(duì)固有頻率影響很小，且隨d1、d4的增加，固有頻率略有提高，而隨d5的增加，固有頻率略有降低。隨d2、d3的增加，固有頻率隨之增加，但d2比d3的影響大；隨d6的增加，固有頻率隨之降低。

(2)隨著L2、L3、L4的增加，機(jī)器人的固有頻率隨之增加，L2的影響比L3、L4大；隨著L5、L6的增加，機(jī)器人的固有頻率隨之降低，因此，在連桿長(zhǎng)度設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)該增加L2、L3、L4的長(zhǎng)度，并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

(3)各連桿的比例系數(shù)ll對(duì)固有頻率的影響中，ll4、ll5、ll6越大，機(jī)器人的固有頻率就越低，且ll6的影響最大；ll2、ll3對(duì)固有頻率影響較小，隨著ll2、ll3的增大，固有頻率略有升高，因此在連桿的設(shè)計(jì)過(guò)程中，適當(dāng)減小ll4、ll5、ll6，增大ll2、ll3。

(4)B3對(duì)固有頻率的影響最大，相比于其他連桿截面來(lái)說(shuō)，對(duì)固有頻率的靈敏度最高；隨著B2、B3、B4、B5的增加，機(jī)器人的固有頻率隨之增加，且最終會(huì)穩(wěn)定在一定的范圍內(nèi);隨著B6的增加，機(jī)器人固有頻率先增大后減小，因此設(shè)計(jì)過(guò)程中該參數(shù)有最優(yōu)值。

(5)隨著D2、D3、D4的增加，機(jī)器人的固有頻率隨之增加，且D3對(duì)固有頻率的影響最大；隨著D5的增加，機(jī)器人的固有頻率先增加后減小，對(duì)固有頻率的影響較小，再設(shè)計(jì)過(guò)程中有最優(yōu)值的選擇；隨著D6的增加，機(jī)器人的固有頻率減小，因此在設(shè)計(jì)過(guò)程中盡量減小該值。

(6)在其他參數(shù)不變的情況下，隨著機(jī)器人末端負(fù)載的增加，機(jī)器人的固有頻率隨之降低。

(a) 連桿厚度對(duì)固有頻率的影響

(b) 連桿長(zhǎng)度對(duì)固有頻率的影響

(c) 截面比例對(duì)固有頻率的影響

(d) 短軸對(duì)固有頻率的影響

(e) 長(zhǎng)軸對(duì)固有頻率的影響

(f) 負(fù)載對(duì)固有頻率的影響 圖4 各參數(shù)對(duì)固有頻率的影響

4 設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

通過(guò)上節(jié)可以看出，機(jī)器人各連桿和關(guān)節(jié)參數(shù)對(duì)機(jī)器人的固有頻率影響較大。其中，關(guān)節(jié)的質(zhì)量和剛度很難提升和改變，因此在設(shè)計(jì)過(guò)程中保持關(guān)節(jié)的質(zhì)量和剛度不變，對(duì)機(jī)器人的連桿參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

針對(duì)機(jī)器人連桿參數(shù)的優(yōu)化，分析發(fā)現(xiàn)部分連桿參數(shù)對(duì)固有頻率的影響較大，如d2、d3，L3、L4、L5、L6，ll2、ll3，B3以及D2、D3、D4。通過(guò)對(duì)上述參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)如表2所示。首先，建立優(yōu)化參數(shù)與固有頻率的數(shù)學(xué)模型：

ω=f(L3、L4、L5、L6、ll2、ll3、ll4、D1、D2、B3、d2、d3)

f表示固有頻率與機(jī)器人連桿參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，本文通過(guò)Kriging方法進(jìn)行擬合。

各變量的取值范圍為：

L3∈[0.2, 0.35]；L4∈[0.2, 0.35]

L5∈[0.14, 0.25]；L6∈[0.14, 0.25]

ll2∈[0.3, 0.7]；ll3∈[0.3, 0.7]；ll4∈[0.3, 0.7]

D1∈[100, 200]；D2∈[100, 200]

B3∈[40, 80]；d2∈[3.5, 5]；d3∈[3.5, 5]

優(yōu)化過(guò)程中保證機(jī)器人的總質(zhì)量m和總長(zhǎng)度L保持不變，約束條件為：L=0.9m；m=5kg，且

L3+L4+L5+L6=1

其中，機(jī)器人的總質(zhì)量的計(jì)算公式為：

(8)

m=m1+m2

m1，m2分別為圓形截面、橢圓形截面的質(zhì)量。

利用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，得到的優(yōu)化結(jié)果如表3所示。通過(guò)對(duì)比可以看出，通過(guò)對(duì)連桿參數(shù)的優(yōu)化，在保證機(jī)器人質(zhì)量和總長(zhǎng)度不變的情況下，機(jī)器人的固有頻率由原來(lái)的9.687Hz提升到10.562Hz，提升了9%，說(shuō)明了優(yōu)化的有效性。

表2 優(yōu)化參數(shù)設(shè)置

表3 優(yōu)化前后固有頻率對(duì)比

5 結(jié)論

柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿的引入導(dǎo)致了協(xié)作機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性降低。本文通過(guò)有限元法對(duì)機(jī)器人SHIR5的柔性連桿進(jìn)行了建模，并利用拉格朗日法建立了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型；通過(guò)動(dòng)力學(xué)模型求解機(jī)器人固有頻率以及機(jī)器人參數(shù)對(duì)固有頻率的影響，為機(jī)器人的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)；利用分析得到對(duì)固有頻率影響較大的參數(shù)，通過(guò)遺傳算法對(duì)該參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，在保證機(jī)器人質(zhì)量不變的前提下，使得機(jī)器人的固有頻率提高了9%，說(shuō)明了優(yōu)化的有效性。