■江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué) 丁紅星

選修《不等式》在高考中主要圍繞絕對(duì)值不等式的解法及簡(jiǎn)單不等式的證明展開(kāi)，凸顯不等式的工具性和應(yīng)用性，因此，“絕對(duì)值不等式”中的交匯創(chuàng)新就成為一道亮麗的風(fēng)景。

風(fēng)景1——絕對(duì)值不等式與不等式恒成立

例1 已知函數(shù)f(x)=|x—2|—|2x—a|，a∈R。

(1)當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f(x)＞0；

(2)當(dāng)x∈(—∞，2)時(shí)，f(x)＜0恒成立，求a的取值范圍。

解析：(1)利用零點(diǎn)分段法分類構(gòu)建分段函數(shù)，將不等式化為三段求解，然后求其并集。將函數(shù)f(x)化為分段函數(shù)得f(x)=當(dāng)x＞2時(shí)，1—x＞0，即x＜1，解得x∈?；當(dāng)≤x≤2時(shí)，5—3x＞0，即x＜，所以≤；當(dāng)時(shí)，x—1＞0，即x＞1，所以，故不等式解集為

(2)由題意，當(dāng)x∈(—∞，2)時(shí)，不等式f(x)＜0恒成立，即2—x—|2x—a|＜0恒成立，即2—x＜|2x—a|，解得x＜a—2或恒成立，則由條件x∈(—∞，2)，得a—2≥2，即a≥4，故a的取值范圍為a≥4。

感悟：以絕對(duì)值函數(shù)為背景，將絕對(duì)值不等式的解法、不等式恒成立問(wèn)題網(wǎng)絡(luò)交匯，考查“分類討論法和公式法解絕對(duì)值不等式，以及分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)求值域解決恒成立”的思維方法，凸顯“邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)模型”等核心素養(yǎng)的具體應(yīng)用。

風(fēng)景2——絕對(duì)值不等式證明中的“三角不等式和函數(shù)的單調(diào)性”

例2 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=|x—3|，g(x)=|x—2|，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，若f(x)≤1，g(x)≤1，證明：|x—2y+1|≤3。

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+a|+當(dāng)a＞0時(shí)，證明：f(x)≥。

解析：(1)依據(jù)題設(shè)配湊使用條件，借助“絕對(duì)值三角不等式”放縮法求證。因?yàn)閒(x)=|x—3|≤1，g(x)=|x—2|≤1，所以|x—2y+1|=|(x—3)—2(y—2)|≤|x—3|+2|y—2|≤1+2=3。

(2)利用零點(diǎn)分段法將函數(shù)f(x)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，然后分，求得函數(shù)f(x)的最小值。函數(shù)分零點(diǎn)取絕對(duì)值，f(x)=|2x+a|+

當(dāng)x＞時(shí)，f(x)＞+a；當(dāng)x＜—時(shí)，f(x)＞；當(dāng)—時(shí)，。所以f(x)min=

綜上可知，當(dāng)a＞0時(shí)，不等式f(x)≥成立。

感悟：以絕對(duì)值函數(shù)為背景，將絕對(duì)值不等式的證明，與絕對(duì)值三角不等式和分段函數(shù)有機(jī)交匯，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值函數(shù)最值的求解方法，凸顯“函數(shù)的主導(dǎo)作用和均值不等式的工具性”。

風(fēng)景3——絕對(duì)值不等式性質(zhì)與“1”的整體代入求最值

例3 已知函數(shù)f(x)=|x|—|x—m|的最大值為3。

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若0＜x＜m，求g(x)=的最小值。

解析：(1)由絕對(duì)值不等式性質(zhì)知，f(x)=|x|—|x—m|≤|x—(x—m)|=|m|，當(dāng)且僅當(dāng)x(x—m)≥0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)f(x)的最大值為|m|，故m=±3。

(2)由(1)及0＜x＜m知，m=3，則0＜x＜3，于是g(x)=，當(dāng)且僅當(dāng)即x=時(shí)取等號(hào)，故x=時(shí)，g(x)=的最小值為

感悟：以絕對(duì)值函數(shù)為背景，利用“絕對(duì)值三角不等式”可以求出一元變量的絕對(duì)值和的最小值或絕對(duì)值差的最大值，關(guān)鍵在于湊出和或差為定值；用均值不等式求最值，常常應(yīng)用“1”的整體代入展開(kāi)湊積為定值一次用不等式。

風(fēng)景4——絕對(duì)值不等式與不等式證明的多種思維方法

例4 已知關(guān)于x的不等式m—|x—2|≥1，其解集為x∈[0，4]。

(1)求m的值；

(2)若a，b均為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b=m，求a2+b2的最小值。

解析：(1)不等式合理轉(zhuǎn)化，利用公式法求解不等式，對(duì)照解集求待定參數(shù)值，不等式m—|x—2|＞1可化為|x—2|≤m—1，所以1—m≤x—2≤m—1，即3—m≤x≤m+1。因?yàn)槠浣饧癁閇0，4]，所以解得m=3。

(2)由(1)和題設(shè)知a+b=3，由兩正數(shù)的和求其平方和，可產(chǎn)生多種思維方法。

方法1：利用基本不等式解出其最小值。

因?yàn)?a+b)2=a2+b2+2a b≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2)，所以a2+b2≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，a2+b2取最小值為

方法2：利用柯西不等式解出其最小值。

因?yàn)?a2+b2)·(12+12)≥(a×1+b×1)2=(a+b)2=9，所以a2+b2≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，a2+b2取最小值為

方法3：降元化歸求二次函數(shù)的最值。

因?yàn)閍+b=3，所以b=3—a，所以a2+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，a2+b2取最小值為

感悟：以絕對(duì)值不等式的解集為背景求待定參數(shù)值，得到兩正數(shù)和為定值，求兩正數(shù)的平方和可產(chǎn)生3種思維方法。其中構(gòu)建不等式解最值是重要不等式的一個(gè)應(yīng)用。借助柯西不等式解最值簡(jiǎn)單且具有操作性，實(shí)質(zhì)是|m·n|2≤|m|2|n|2的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵在于依據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)特征合理構(gòu)造兩個(gè)向量的坐標(biāo)表示。降元化歸二次函數(shù)區(qū)間上的值域是最基本和最重要的思維方法，應(yīng)借鑒。