楊 娟

（江蘇省海門市海南中學(xué)，江蘇海門 226100）

引 言

HPM 是“History and Pedagogy of Mathematics”的簡稱，意指數(shù)學(xué)歷史和教育的關(guān)系。HPM 的研究領(lǐng)域非常廣泛，包括數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)文化中的作用，數(shù)學(xué)史與歷史發(fā)生教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙的關(guān)系，數(shù)學(xué)史對(duì)教師專業(yè)成長的影響等?；贖PM 視野，從數(shù)學(xué)史的視角設(shè)計(jì)、研發(fā)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體績效。

一、HPM的理論基礎(chǔ)

基于HPM 視角設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，不但有心理學(xué)基礎(chǔ)，而且有教育學(xué)、歷史學(xué)、發(fā)生學(xué)的基礎(chǔ)。探析初中數(shù)學(xué)教學(xué)的HPM 基礎(chǔ)，主要基于以下兩個(gè)原理。

（一）歷史相似性原理

匈牙利著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞深刻地談道：“只有理解了人類如何獲得某些事實(shí)或概念知識(shí)，我們才能對(duì)人類孩子應(yīng)該如何獲得這種知識(shí)作出更好判斷”。也正如荷蘭弗賴登塔爾所說：“歷史正是通過避免走盲目的道路，通過縮短大量彎曲小道，通過歷史自己重新組織的道路系統(tǒng)來修正自己。[1]”這些論斷得到了包括后來克萊因、龐加萊、卡托斯等世界級(jí)數(shù)學(xué)大師的鼎力支持。他們都一致認(rèn)同，學(xué)生的認(rèn)知過程與人類對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索歷程有著嚴(yán)格的相似性，數(shù)學(xué)史可以讓數(shù)學(xué)教學(xué)獲得啟迪。

（二）建構(gòu)主義理論

建構(gòu)主義理論是學(xué)習(xí)的基本理論，該理論認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不是被動(dòng)地吸納、接受知識(shí)的過程，而是主動(dòng)建構(gòu)甚至創(chuàng)造知識(shí)的過程。在這個(gè)過程中，教師要重視學(xué)生個(gè)體與個(gè)體、個(gè)體與環(huán)境之間的積極互動(dòng)。將歷史發(fā)生原理和建構(gòu)主義理論結(jié)合起來進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，為HPM 理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用提供有益支撐。作為教師，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)把握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、原理、公式、定理等知識(shí)演變、發(fā)展的過程，讓學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，使其深刻把握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、定理公式等的知識(shí)演變、發(fā)展歷程。同時(shí)把握學(xué)生的具體學(xué)情，將數(shù)學(xué)史的啟迪和學(xué)生的能動(dòng)建構(gòu)結(jié)合起來。

二、基于HPM理論的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

中國科學(xué)院的李文林教授說：“數(shù)學(xué)史除了為歷史、為數(shù)學(xué)而歷史之外，還應(yīng)該為教育而歷史，也就是要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育功能?！比A東師范大學(xué)張奠宙教授說：“數(shù)學(xué)史應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教育的有機(jī)組成部分”。法國數(shù)學(xué)家龐加萊說：“數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)按照數(shù)學(xué)史內(nèi)容的發(fā)展順序展現(xiàn)給讀者”。以數(shù)學(xué)史為觸媒、為載體，不僅能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的“廬山面目”，而且能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，敞亮學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)品格與精神[2]。

（一）鏈接式教學(xué)，讓“史”蕩漾眼前

所謂“鏈接式教學(xué)”，就是在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，添加一些對(duì)該知識(shí)進(jìn)行歷史探索、發(fā)展的鏈接。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多看似規(guī)定性的知識(shí)，如果追問歷史本源，都有著“規(guī)定的意義”。比如，在教學(xué)《角和角的度量》時(shí)，教師可以讓學(xué)生了解，為什么一個(gè)周角等于360°這個(gè)數(shù)值，了解角度制源于巴比倫人的天文歷法。古代巴比倫人迷信天象，因此他們將數(shù)學(xué)與天文學(xué)聯(lián)通起來進(jìn)行思考，他們用數(shù)學(xué)方法研究天文，將圓周分為360 度，每度60 分，每分60 秒，這就是今天度、分、秒的來歷。同時(shí)，又因?yàn)楣糯捅葌惾嗽谘芯恐邪l(fā)現(xiàn)，360 這個(gè)數(shù)有22 個(gè)真因子，包括了除7 以外從2 到10 的所有數(shù)字，因而讓很多特殊角的度數(shù)都是整數(shù)。這樣的數(shù)學(xué)史鏈接，有助于學(xué)生感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)規(guī)定的合理性、必然性、科學(xué)性。

鏈接式教學(xué)有助于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)史知識(shí)，主要包括數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景、趣聞逸事等。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以運(yùn)用鏈接數(shù)學(xué)史的知識(shí)點(diǎn)很多，如負(fù)數(shù)的概念、勾股定理、函數(shù)的知識(shí)，等等。通過鏈接式教學(xué)，可以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)感知，讓“史”蕩漾于學(xué)生的眼前。

（二）再現(xiàn)式教學(xué)，讓“史”始終在場(chǎng)

如果說“鏈接式教學(xué)”主要是對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的簡單介紹，那么，“再現(xiàn)式教學(xué)”則是選取數(shù)學(xué)知識(shí)展示過程中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)、片段。因此，再現(xiàn)式教學(xué)實(shí)質(zhì)上是教學(xué)中的一種“切片展示”，選取的是能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法、能解決數(shù)學(xué)重難點(diǎn)知識(shí)的一些歷史。再現(xiàn)式教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。在數(shù)學(xué)與歷史之間架設(shè)一座橋梁，用以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

比如，“無理數(shù)”這個(gè)概念，顧名思義，許多學(xué)生認(rèn)為無理數(shù)就是沒有道理的數(shù)，事實(shí)并非如此。在教學(xué)中，筆者借助課件再現(xiàn)了希帕斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的歷史，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到了無理數(shù)是“不可通約量”，它既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)。古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相信“萬物皆數(shù)”，這里的“數(shù)”是指兩個(gè)量的比。因此，根據(jù)拉丁文，有理數(shù)又被翻譯成“比數(shù)”，而“無理數(shù)”又被翻譯成“非比數(shù)”。在這里，“理”就兼具了“比率”“合理”的意思。有了數(shù)學(xué)歷史的再現(xiàn)，學(xué)生就能深刻地理解數(shù)學(xué)概念了。當(dāng)然，再現(xiàn)式教學(xué)并不是數(shù)學(xué)歷史的簡單復(fù)制，而是一種能反映數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)條件、意義和認(rèn)識(shí)過程的片段展示。通過數(shù)學(xué)史的再現(xiàn)，學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的動(dòng)人歷程，更能感受到數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)真理而奮斗甚至獻(xiàn)身的崇高精神。

（三）融入式教學(xué)，讓“史”游弋其中

在HPM 視野下，將數(shù)學(xué)歷史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界，就是在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)歷史，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)歷史的某種感悟。教師不提任何數(shù)學(xué)歷史的知識(shí)，但學(xué)生卻在真實(shí)地經(jīng)歷著對(duì)歷史相似性的數(shù)學(xué)探究。為此，教師可以創(chuàng)設(shè)情境，引領(lǐng)學(xué)生重蹈人類探究的步伐。

比如，“負(fù)數(shù)”對(duì)初一新生而言是一個(gè)全新的概念。如何引入負(fù)數(shù)，讓學(xué)生體驗(yàn)負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性呢？筆者在教學(xué)中首先創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：4 個(gè)蘋果平均分給4 個(gè)孩子，每個(gè)孩子分得幾個(gè)蘋果？3 個(gè)蘋果平均分給4 個(gè)孩子，每個(gè)孩子分得多少蘋果？讓學(xué)生體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的誕生，為其學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)奠定基礎(chǔ)。其次，筆者變換情境，用這樣的問題激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考：小張今天掙了100 元錢，各項(xiàng)支出總和為80 元，小張今天的凈收入是多少元？小張今天掙了100 元錢，各項(xiàng)支出為230 元，小張今天的凈收入是多少元？從而使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受到原來的數(shù)已經(jīng)不夠用了。這時(shí)，筆者啟發(fā)學(xué)生按照分?jǐn)?shù)的數(shù)系擴(kuò)大，猜想一種新的數(shù)，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的心理需求。教師不露痕跡地融入了數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生體驗(yàn)到負(fù)數(shù)的誕生歷程以及負(fù)數(shù)的意義：引入負(fù)數(shù)后，任意兩個(gè)數(shù)都可以相加或者相減。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中采用“融入式”教學(xué)，更能凸顯學(xué)生的創(chuàng)造意義。

結(jié) 語

基于HPM 的教學(xué)視野，鏈接數(shù)學(xué)歷史，再現(xiàn)數(shù)學(xué)歷史，重構(gòu)數(shù)學(xué)歷史，能讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)煥發(fā)出生命的活力。在這個(gè)過程中，學(xué)生自然能觸摸到數(shù)學(xué)知識(shí)豐贍的思想、文化和精神意蘊(yùn)，形成豐碩、曼妙的學(xué)研旅程。如此，數(shù)學(xué)史方能照亮學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。