李偉健

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

布利安香點(diǎn)，是著名數(shù)學(xué)家布利安香在1806年發(fā)現(xiàn)的一條重要結(jié)論.它是帕斯卡線(xiàn)的對(duì)偶命題，布利安香點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)時(shí)間晚于帕斯卡線(xiàn)的發(fā)現(xiàn)時(shí)間(1639年).

這一結(jié)論在解決共點(diǎn)問(wèn)題中有著十分廣泛的應(yīng)用，本文探討的是應(yīng)用布利安香點(diǎn)解決與之相關(guān)的若干問(wèn)題，并且揭示問(wèn)題的本質(zhì)特征.同時(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中給出高師院校教材《高等幾何》(朱德祥，朱維宗著)若干修訂建議.

布利安香點(diǎn)對(duì)于任意一個(gè)外切于一條二次曲線(xiàn)的六邊形，它的三雙對(duì)頂?shù)倪B線(xiàn)共點(diǎn)，即布利安香點(diǎn).

當(dāng)布利安香定理中的三對(duì)相鄰的元素重合時(shí)，那么可以得到下面的命題，即：一個(gè)三角形外切于一條二次曲線(xiàn)，那么其三頂點(diǎn)與對(duì)邊上切點(diǎn)的三條連線(xiàn)共點(diǎn).下面介紹布利安香點(diǎn)的這一特殊情形在解題中的應(yīng)用.

張正義老師在文[1]中探討了一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，并且提出了拋物線(xiàn)和橢圓中的類(lèi)似命題.觀察這一道競(jìng)賽試題，即：

命題1如圖1，銳角△ABC內(nèi)接于圓O，過(guò)圓心O且垂直于半徑OA的直線(xiàn)分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)圓O在B，C兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P，求證：直線(xiàn)AP平分線(xiàn)段EF(選自2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西省預(yù)賽第二試的第三題).

圖1

事實(shí)上，命題1的結(jié)構(gòu)特征可以應(yīng)用布利安香點(diǎn)予以很好的揭示，下面給出一個(gè)簡(jiǎn)要證明，即：

證明如圖2，設(shè)B，C兩點(diǎn)處的切線(xiàn)分別交點(diǎn)A處的切線(xiàn)于點(diǎn)M，N，那么AP、BN、CM必交于一點(diǎn)(布利安香點(diǎn))，AP與EF交于點(diǎn)G；

根據(jù)完全四邊形MBCN的調(diào)和性，可知A(PM，BC)=-1，又因?yàn)橹本€(xiàn)EF與直線(xiàn)MN交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(記為G)，所以(EF，GG)=-1，由此可知G是EF的中點(diǎn)，即直線(xiàn)AP平分線(xiàn)段EF.

圖2

通過(guò)上面的證明可以發(fā)現(xiàn)，直線(xiàn)AP平分線(xiàn)段EF當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)EF與直線(xiàn)MN平行.所以命題1可以推廣為如下命題，即：

命題2已知△ABC內(nèi)接于圓錐曲線(xiàn)Γ，直線(xiàn)l交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，曲線(xiàn)Γ在B，C兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P，那么直線(xiàn)AP平分線(xiàn)段EF當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Γ在點(diǎn)A處的切線(xiàn)平行.

在命題2的基礎(chǔ)之上考察張老師提出的在拋物線(xiàn)和橢圓情形中的命題3和命題4，可以清晰地看到二者能夠成立的根本原因.

命題3△AOB內(nèi)接于拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)，焦點(diǎn)F在△AOB的內(nèi)部，過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線(xiàn)分別交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)拋物線(xiàn)在B，C兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P，則直線(xiàn)PO平分線(xiàn)段EF.

圖3

命題3和命題4之所以能夠成立根本原因是直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Γ在點(diǎn)A處的切線(xiàn)平行.仔細(xì)觀察命題1的證明過(guò)程中得出的結(jié)論A(PM，BC)=-1，不由得聯(lián)想到朱德祥先生在其著作《高等幾何》中提出的一個(gè)命題，即：

命題5如圖4，設(shè)△ABC內(nèi)切圓切三邊BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F，那么D(CA，EF)=-1.

圖4

朱德祥先生在處理這一問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用圓的性質(zhì)證實(shí)了這一命題，并且在論證之后，朱先生指出：“通過(guò)仿射變換，圓變?yōu)闄E圓(如圖5)，三角形ABC變?yōu)槿切蜛′B′C′，由仿射變換保持同素性和結(jié)合性知，三角形A′B′C′依舊外切于橢圓，又交比是簡(jiǎn)比的比，因而在仿射變換下不變，因此亦有D′(C′A′，E′F′)=-1”.如果應(yīng)用布利安香點(diǎn)可以對(duì)這一命題得到更為透徹的解釋?zhuān)鳛榻ㄗh，或許這可能是《高等幾何》以后修訂可以考慮的.

圖5

當(dāng)前，朱先生的《高等幾何》是國(guó)內(nèi)為數(shù)不多的介紹射影幾何，并且在高師院校影響較大的一本教材，繼續(xù)考察這本教材中另一個(gè)命題，即：

命題6雙曲線(xiàn)的任意一條切線(xiàn)介于兩漸近線(xiàn)間的部分，被切點(diǎn)平分.轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言如下：設(shè)M為雙曲線(xiàn)Γ上一點(diǎn)，曲線(xiàn)Γ在點(diǎn)M處的切線(xiàn)交兩條漸近線(xiàn)于點(diǎn)A、B，那么|MA|=|MB|.

這一命題因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單深刻，朱先生在文[2]中從雙曲線(xiàn)共軛直徑的角度解釋了這一命題，下面用布利安香點(diǎn)給出另外一個(gè)解釋?zhuān)劣谶@一解釋是否是本質(zhì)的或者是稍微接近本質(zhì)的，留待讀者判斷，即：

證明如圖6，將這一命題放入射影空間，兩條漸近線(xiàn)與雙曲線(xiàn)Γ相切于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)C、D，那么無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)CD與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)N，又AC,BD,OM交于一點(diǎn)，于是根據(jù)完全四點(diǎn)形ADCB的調(diào)和性，有(AB，MN)=-1，所以M是AB中點(diǎn).

圖6

這一解釋也是對(duì)《高等幾何》以后修訂的另外一個(gè)建議.

上述討論的主要內(nèi)容是布利安香點(diǎn)所生成的調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線(xiàn)束，這一內(nèi)容在解題中的應(yīng)用價(jià)值是不言而喻的.接下來(lái)，考察姜坤崇老師在文[3]提出的引理2和在文[4]提出的例6、7，調(diào)整敘述如下：

圖7

這一命題可以從交比的運(yùn)算性質(zhì)給出一個(gè)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)潔的論證，本文略去這一證明.

圖8

姜坤崇老師對(duì)命題8從解析幾何的角度分為橢圓和雙曲線(xiàn)兩種情形分別進(jìn)行了論證，論證過(guò)程稍顯繁瑣，與結(jié)論的簡(jiǎn)潔稍顯不和諧.事實(shí)上，從布利安香點(diǎn)的角度可以給出一個(gè)極富美感的解釋?zhuān)矗?/p>

證明如圖9，設(shè)AP×BQ=H、AB×PQ=N，因?yàn)橹本€(xiàn)AB經(jīng)過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)l的極點(diǎn)O，所以無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)直線(xiàn)AB的極點(diǎn)H，即H∈l，那么直線(xiàn)AP與直線(xiàn)BQ互相平行(歐幾里得平面)；

圖9

再次考察袁安全老師提出的一個(gè)命題.為此，需要王建榮老師提出的另一命題作為討論依據(jù)，即：

圖10

實(shí)際上，王建榮老師提出的這一命題，本質(zhì)是調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)，下面從交比的角度予以解釋?zhuān)矗?/p>

建立在命題9的基礎(chǔ)之上，就可以應(yīng)用布利安香點(diǎn)對(duì)袁安全老師提出的如下命題給出一個(gè)更為透徹的說(shuō)明，即：

圖11

證明因?yàn)椤鰽BC的三條邊與圓相切于點(diǎn)D、E、F，所以直線(xiàn)AD、BE、CF交于一點(diǎn)(布利安香點(diǎn))，根據(jù)完全四點(diǎn)形ABDE的調(diào)和性，結(jié)合命題9，可得如下結(jié)論：

又因?yàn)閨FB|=|DB|，

圖12

經(jīng)過(guò)上述討論，讀者可能對(duì)布利安香點(diǎn)在解題中的應(yīng)用已經(jīng)有所體會(huì)，布利安香點(diǎn)給出的解釋有益于發(fā)掘問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征.下面再次考察先后由多位老師探究的一個(gè)問(wèn)題，即圓錐曲線(xiàn)外切三角形和切點(diǎn)三角形之間的關(guān)系.蔡玉書(shū)和王波兩位老師文[5]探討的實(shí)際上就是布利安香點(diǎn)，即：

命題11若△A1A2A3的三邊A1A2，A2A3，A3A1(或其延長(zhǎng)線(xiàn))與圓錐曲線(xiàn)Γ分別切于T1，T2，T3，則A1T2，A2T3，A3T1三線(xiàn)共點(diǎn).

高凱老師在文[6]中提出的命題，本質(zhì)上討論的也是布利安香點(diǎn)，仔細(xì)觀察高凱老師提出的命題，即：

命題12△B1B2B3為圓錐曲線(xiàn)Γ的外切三角形，△A1A2A3是相應(yīng)的切點(diǎn)三角形，A1、A2、A3分有向線(xiàn)段B1B2、B2B3、B3B1的比為μ1、μ2、μ3，那么μ1·μ2·μ3=-1.

讀者可能已經(jīng)覺(jué)察出，這一定理的結(jié)構(gòu)特征是由布利安香點(diǎn)生成的共點(diǎn)結(jié)論的塞瓦定理表述.苗相軍和孫勝田兩位老師在文[7]中提出的另外一個(gè)問(wèn)題是本文著重討論的對(duì)象，即：

圖13

實(shí)際上，苗相軍和孫勝田兩位老師提出的命題13的結(jié)構(gòu)特征和筆者對(duì)高凱老師提出的命題12結(jié)構(gòu)特征的判斷是一致的，為了詳細(xì)解釋筆者的這一判斷，需要審視塞瓦定理中所蘊(yùn)含的線(xiàn)束斜率之間的關(guān)系.

圖14

理由如下：① 設(shè)直線(xiàn)A1A2，A2A3，A3A1上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為L(zhǎng)，M，N，所以可以得到如下結(jié)論

同理可得②式成立；

③根據(jù)完全四邊形的調(diào)和性，

可得P1(A1P1，P2P3)=-1，

以上三個(gè)等式結(jié)合②可推出③成立.應(yīng)用③可以解釋命題13.

通過(guò)對(duì)塞瓦定理中線(xiàn)束的斜率關(guān)系的討論，讀者至此已經(jīng)可以看到苗相軍和孫勝田兩位老師提出的命題13的結(jié)構(gòu)特征的確是布利安香點(diǎn)生成的共點(diǎn)結(jié)論的塞瓦定理表述.