趙 軒 任子朝

(教育部考試中心 100084)

概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科，包括如何有效地收集、整理和分析相關(guān)數(shù)據(jù)，并對(duì)所考察的問題做出推斷或預(yù)測(cè)[1].隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展，概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用范圍越來越廣泛.概率統(tǒng)計(jì)也受到各個(gè)國(guó)家的普遍重視，如美國(guó)、英國(guó)、法國(guó)、俄羅斯、德國(guó)、日本等國(guó)的高中數(shù)學(xué)中都有概率統(tǒng)計(jì)的必修內(nèi)容[2].我國(guó)從1997年起，將概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)列入中學(xué)教學(xué)大綱之中，2000年高考中首次出現(xiàn)考查概率的題目，2001年高考中出現(xiàn)考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)的題目.2004年課程改革后，高中教材中大幅度增加了概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，2007年之后的高考，對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查進(jìn)入了一個(gè)新的階段，相關(guān)知識(shí)內(nèi)容不只出現(xiàn)在選擇、填空題之中，也出現(xiàn)在解答題之中，考查手段、設(shè)問方式、答案設(shè)置等方面都有了較多的變化，題目愈發(fā)靈活.總的來說，由于概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容引入中學(xué)課程的時(shí)間不長(zhǎng)，這些年在概率統(tǒng)計(jì)方面的教學(xué)也處在逐步探索完善的過程之中.在新一輪課程改革之前，高考試題中概率統(tǒng)計(jì)的考查也是一個(gè)逐漸摸索、深入的過程，其重點(diǎn)主要放在統(tǒng)計(jì)抽樣、統(tǒng)計(jì)推斷、隨機(jī)等基本的思想方法之上[3].

隨著中學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累和教學(xué)水平的提高，學(xué)生的水平也逐步提高，能力不斷增強(qiáng)，高考對(duì)于統(tǒng)計(jì)與概率的考查也更加深入.近年來高考對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的考查出現(xiàn)了新的趨勢(shì)：注重基本概念的理解與應(yīng)用，試題情境更加真實(shí)和復(fù)雜，模型更加精細(xì)和完善.本文以近幾年高考數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計(jì)的一些典型題目為例，分析并探討其類型與特點(diǎn)，以期總結(jié)命題規(guī)律，強(qiáng)化概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)和數(shù)學(xué)建模能力的考查，進(jìn)一步提高試題質(zhì)量和科學(xué)化水平，更好引導(dǎo)中學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué).

1 加強(qiáng)基本概念考查

在中學(xué)統(tǒng)計(jì)概率部分的教學(xué)中，比較容易出現(xiàn)重視做題忽視概念教學(xué)的情況，更加側(cè)重對(duì)各種題型的解法技巧訓(xùn)練，而忽略了對(duì)基本概念的理解.但對(duì)于知識(shí)的靈活運(yùn)用和遷移，往往建立在熟練掌握概念，理解其本質(zhì)的基礎(chǔ)之上.中學(xué)階段所學(xué)的這些基本內(nèi)容在大學(xué)階段的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中將起到極其重要的作用，是深入學(xué)習(xí)和理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，因此中學(xué)教學(xué)中應(yīng)該進(jìn)一步強(qiáng)化地基，強(qiáng)調(diào)對(duì)于知識(shí)和概念本質(zhì)的理解.高考作為高校選拔新生的學(xué)業(yè)水平測(cè)試，應(yīng)該加強(qiáng)基本概念考查，發(fā)揮積極的引導(dǎo)作用.同時(shí)，隨學(xué)生水平的提高，也為加強(qiáng)概念考查創(chuàng)造了條件.

例1(2019年Ⅰ卷文科第17題)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意男顧客4010女顧客3020

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

例1主要考查樣本估計(jì)總體的思想，頻率與概率的聯(lián)系以及頻率估計(jì)概率的思想方法，以及對(duì)數(shù)據(jù)的分析和處理能力.其中第(1)問是估計(jì)顧客的滿意率，旨在考查頻率估計(jì)概率的思想和方法，第(2)問是用獨(dú)立性檢驗(yàn)方法，回答男女顧客的評(píng)價(jià)是否有顯著差異，考查對(duì)列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法的掌握.題目雖然難度不大，但需要學(xué)生對(duì)于相關(guān)概念有清楚的了解.本題在強(qiáng)調(diào)基本概念考查的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)分析與我們的生活息息相關(guān)，體會(huì)到數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，有利于統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的普及.

例2(2018年Ⅰ卷理科第20題)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(ⅰ)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

例2綜合考查了概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，以及學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析問題、解決問題的能力.題目涉及的知識(shí)范圍較廣，包括獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型、二項(xiàng)分布的概念和應(yīng)用、概率的計(jì)算、參數(shù)的估計(jì)、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算與應(yīng)用等.試題設(shè)計(jì)較新穎，蘊(yùn)含了極大似然估計(jì)的統(tǒng)計(jì)思想，情境熟悉而不落俗套，具有一定難度，有較好的選拔功能.正確理解此題，需要學(xué)生能夠正確掌握概率、隨機(jī)變量、獨(dú)立性等定義，了解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型、二項(xiàng)分布等概念和應(yīng)用范圍，并能將所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用.本題強(qiáng)調(diào)了對(duì)于基本概念的考查，對(duì)于中學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用，積極引導(dǎo)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)回歸教材、重視概念[4].

在中學(xué)階段，學(xué)生僅具備初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概率、統(tǒng)計(jì)上的許多概念，其公理化的嚴(yán)格定義很難讓中學(xué)生理解并接受，因此很多概率統(tǒng)計(jì)問題在道理上也難以嚴(yán)格解釋清楚.在教學(xué)中可以突出重要概念的實(shí)際意義，突出用概率統(tǒng)計(jì)方法解決問題的基本思想，突出知識(shí)的綜合應(yīng)用，通過實(shí)際問題加深學(xué)生對(duì)于概念的認(rèn)識(shí)[5].讓學(xué)生將抽象的概念與具體的生活實(shí)際相結(jié)合，從而幫助其進(jìn)一步理解這些概念的深層次內(nèi)涵.

2 題目情境更加真實(shí)、復(fù)雜

近幾年的高考概率統(tǒng)計(jì)題中，愈發(fā)明顯的突出理論聯(lián)系實(shí)際的導(dǎo)向.創(chuàng)設(shè)符合實(shí)際的生產(chǎn)、生活和科研情境，利用更加靈活多變的情境設(shè)置展現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)廣泛的應(yīng)用范圍，將概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與生活和其他學(xué)科聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

例3(2019年Ⅲ卷文、理科第17題)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

例4(2018年Ⅰ卷文科第19題)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

(1)在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；

(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表.)

這兩個(gè)例題都是典型的統(tǒng)計(jì)問題，也是我們通常所說的應(yīng)用題，例3通過生物實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的情境，考查考生對(duì)于統(tǒng)計(jì)概率基本知識(shí)和基本概念的掌握程度；例4則通過家庭用水量與節(jié)水問題這一生活情境，考查考生整理數(shù)據(jù)并利用統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)分析處理問題的能力.統(tǒng)計(jì)題的核心在于對(duì)數(shù)據(jù)的解讀和處理，2017年新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出，數(shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論[6].但在考試中，受限于時(shí)間、考試方式等客觀環(huán)境，不可能將全過程都納入到題目考查范圍之內(nèi).高考中多采用應(yīng)用題的形式對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行考查，讓考生對(duì)給定數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、提煉、分析，進(jìn)而得出結(jié)論.試題考查的問題著重于對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的掌握和統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用，對(duì)考生提出問題的能力考查相對(duì)較少，而將考查重心放在整理數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析推斷信息之中.

例5(2019年Ⅱ卷理科第18題)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

例5將概率問題融入了乒乓球比賽之中，考查考生在實(shí)際情境中靈活應(yīng)用概率知識(shí)的能力，并通過選取學(xué)生熟悉、喜愛的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目作為背景，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注體育運(yùn)動(dòng)，激發(fā)學(xué)生參與體育活動(dòng)的熱情和興趣.試題難度并不大，運(yùn)算也比較簡(jiǎn)單，重點(diǎn)在于對(duì)概率問題的分析與理解.

在試題中強(qiáng)調(diào)聯(lián)系生產(chǎn)生活實(shí)際，對(duì)于中學(xué)教學(xué)具有積極的引導(dǎo)作用.在概率統(tǒng)計(jì)部分的教學(xué)過程中，不應(yīng)僅局限于應(yīng)用題，還應(yīng)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行探究，重視培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力.此外應(yīng)讓學(xué)生嘗試解決真正的生產(chǎn)生活實(shí)際問題，主動(dòng)接觸社會(huì)，自己發(fā)現(xiàn)問題，制定計(jì)劃，獲取資料，整理數(shù)據(jù)，分析結(jié)論，通過這些活動(dòng)來體會(huì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)應(yīng)用的全過程.概率統(tǒng)計(jì)部分的很多知識(shí)和概念相對(duì)抽象，如概率空間、隨機(jī)變量、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望與方差等，需要在教學(xué)中通過一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題給出這些概念和知識(shí)的例子與應(yīng)用，從而幫助學(xué)生理解，并形成正確的認(rèn)識(shí)[7].將抽象的知識(shí)與生活實(shí)際深度融合，不僅有助于學(xué)生對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)，更重要的是能夠讓學(xué)生感受到學(xué)數(shù)學(xué)是有用的，從而提高其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣與意愿.

此外，值得注意的是，在對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查中，概率類題目的答案往往比較明確，一個(gè)題目只有一個(gè)正確答案；但統(tǒng)計(jì)類題目有時(shí)會(huì)存在開放性，對(duì)同一個(gè)問題也可以從不同角度來分析和解釋，有時(shí)由于分析方法不同也可能有不同的答案.因此，要平衡好此類題目科學(xué)性和開放性的關(guān)系，在保證題目科學(xué)性的大前提下，可以適當(dāng)增加開放性，使題目的情境和設(shè)問更加符合實(shí)際情況.

3 數(shù)學(xué)模型更加精細(xì)、完善

新課程標(biāo)準(zhǔn)中，將數(shù)學(xué)建模列入六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之中，體現(xiàn)了中學(xué)階段教學(xué)中對(duì)于數(shù)學(xué)建模能力的重視.在高考中對(duì)于數(shù)學(xué)模型的要求也越來越高，模型的設(shè)置趨向精細(xì)、完善，模型中涉及的知識(shí)內(nèi)容也越來越廣泛.其中概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與人們的日常生活和科學(xué)技術(shù)發(fā)展緊密相關(guān)，具有很強(qiáng)的理論性和應(yīng)用性，是數(shù)學(xué)模型的重要載體[8].

例6(2019年Ⅰ卷理科第21題)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0,p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)α=0.5，β=0.8.

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

例6的題目背景來源于生產(chǎn)實(shí)際中藥物試驗(yàn)的真實(shí)情境，綜合考查學(xué)生對(duì)于概率知識(shí)的掌握和靈活運(yùn)用.題目對(duì)試驗(yàn)方案進(jìn)行了介紹，進(jìn)而將試驗(yàn)方案抽象為數(shù)學(xué)模型，對(duì)該模型進(jìn)行了描述，通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生理解模型的內(nèi)部關(guān)系，在此基礎(chǔ)上解決問題，并在解決問題的過程中分析試驗(yàn)方案的合理性.題目有一定的閱讀量，深入考查考生對(duì)于題目背景和所給模型的理解能力.本題沒有要求學(xué)生建立模型或直接求解模型，而是在建立好模型的基礎(chǔ)上給出pi=api-1+bpi+cpi+1的遞推關(guān)系，降低了題目的難度，給學(xué)生提供了思維過程的階梯，并在最后一問中采取開放性的設(shè)計(jì)讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，達(dá)到了考查學(xué)生分析與求解數(shù)學(xué)模型能力的目的.題目在考查概率知識(shí)的基礎(chǔ)上，融入了等比數(shù)列等知識(shí)內(nèi)容，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)科各部分知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系.

例7(2018年Ⅱ卷文、理科第18題)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由.

例7的題目背景來源于國(guó)家社會(huì)發(fā)展實(shí)際，采用真實(shí)數(shù)據(jù)，增強(qiáng)了試題情境的真實(shí)性和可靠性.在考查學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的同時(shí)，很好展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域[9].試題立足于對(duì)概率統(tǒng)計(jì)基本思想、基本能力的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想方法.與以往此類題目不同的是，本題中沒有要求學(xué)生通過計(jì)算求解回歸方程，而是直接給出了兩種模型的回歸方程，要求學(xué)生對(duì)其進(jìn)行分析和判斷.通過創(chuàng)新性的設(shè)計(jì)，降低了數(shù)值計(jì)算的工作量，減少了繁瑣的數(shù)據(jù)整理步驟，增加了對(duì)數(shù)據(jù)解釋的開放性，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性地思考并解答問題.本題結(jié)合數(shù)學(xué)模型，將考查重點(diǎn)放在運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)思想方法分析和解釋數(shù)據(jù)之上，更好地實(shí)現(xiàn)了考查目的，對(duì)于中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用.對(duì)于數(shù)學(xué)建模能力的考查，不宜形成定式，而應(yīng)從不同視角靈活考查學(xué)生建立模型、分析模型、求解模型等能力.

數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵在于把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.在中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)過程中，可通過適當(dāng)拓寬教學(xué)內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)實(shí)際問題的探究等方式，將概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)模型有機(jī)結(jié)合.在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容，能夠體現(xiàn)新課標(biāo)理念，有助于幫助學(xué)生掌握理論知識(shí)，培養(yǎng)用概率統(tǒng)計(jì)思想方法解決實(shí)際問題的能力和意識(shí)，有助于培養(yǎng)適合現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展的綜合型、應(yīng)用型人才[10].

高考立足于培育學(xué)生支撐終身發(fā)展和適應(yīng)時(shí)代要求的能力.概率統(tǒng)計(jì)類題目作為數(shù)學(xué)科與生產(chǎn)生活實(shí)際聯(lián)系的主要渠道，應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型化、生活化、綜合化等特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)以數(shù)學(xué)素養(yǎng)立意.今后應(yīng)進(jìn)一步創(chuàng)新試題選材與設(shè)計(jì)方式，打破機(jī)械刷題的套路和常規(guī)，強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實(shí)際，重視基本概念與主干知識(shí)的考查，與數(shù)學(xué)建模有機(jī)結(jié)合；還應(yīng)體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)內(nèi)容的有機(jī)融合、以及數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的緊密聯(lián)系.通過這些變化主動(dòng)引導(dǎo)教學(xué)，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)的作用，培養(yǎng)其學(xué)數(shù)學(xué)的興趣和用數(shù)學(xué)的能力.