祝海生,陳林聰,孫建橋,趙珧冰

(1.華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 廈門 361021；2.加州大學(xué)Merced分校 工程學(xué)院，美國加利福尼亞州 95343；3.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

碰撞振動系統(tǒng)普遍存在于工程領(lǐng)域中。由于碰撞振動系統(tǒng)的強(qiáng)非線性，使得關(guān)于碰撞振動系統(tǒng)的一些動力學(xué)性能研究變得極其復(fù)雜，如碰振系統(tǒng)中的隨機(jī)響應(yīng)、分叉以及混沌等。實(shí)際的工程領(lǐng)域中的一些碰振現(xiàn)象亦體現(xiàn)了碰撞振動系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，如橋梁梁端的碰撞振動導(dǎo)致的梁端開裂；海洋中輪船與冰塊的碰撞振動造成的船體損傷；列車車輪與鐵軌之間的碰撞所造成的一系列的材料、能量消耗。因此，基于碰撞振動現(xiàn)象的普遍性以及在各工程領(lǐng)域產(chǎn)生的影響，對于碰撞振動的研究具有十分重要的實(shí)際意義。

碰撞振動是一類非常復(fù)雜的動力學(xué)過程。根據(jù)碰撞過程中所表現(xiàn)的一系列動力學(xué)和物理學(xué)特征，例如碰撞時物體的相對速度、碰撞接觸時間、碰撞接觸面的形狀變化以及碰撞區(qū)域的彈塑性變形等。碰撞振動現(xiàn)象的描述一般主要有兩種模型，分別是瞬時沖擊模型和Hertz接觸理論及其修正模型。目前，基于瞬時沖擊模型，Dimentberg[1-2]就隨機(jī)激勵下線性碰撞振動系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析分別做了大量的研究。王亮等[3]定義了一種隨機(jī)響應(yīng)度量研究了一類二自由度碰撞振動系統(tǒng)在隨機(jī)白噪聲激勵下的隨機(jī)響應(yīng)，通過與數(shù)值模擬比較討論了隨機(jī)噪聲對于系統(tǒng)的影響。田海勇等[4]通過建立一類單自由度含間隙的碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，討論了隨機(jī)干擾對碰撞振動系統(tǒng)的影響。伍新等[5]考慮碰撞振動系統(tǒng)的Poincare映射的隱式特點(diǎn)研究了一類三自由度含間隙雙面碰撞振動系統(tǒng)Poincare映射的叉式分岔的反控制問題。Gu等[6]提出了一種預(yù)測碰撞系統(tǒng)響應(yīng)的隨機(jī)平均法，利用所提出的隨機(jī)平均法考察了高斯白噪聲激勵下的單自由度碰撞振動系統(tǒng)，得到了關(guān)于系統(tǒng)能量的平穩(wěn)概率密度函數(shù)。類似的，Liu等[7]討論了碰撞系統(tǒng)在有色噪聲激勵下的平穩(wěn)概率響應(yīng)，詳細(xì)地討論了有色噪聲和恢復(fù)系數(shù)對碰撞系統(tǒng)響應(yīng)的影響。Li等[8]則獲得了相關(guān)高斯白噪聲激勵下Duffing-van der Pol碰撞振動系統(tǒng)的平穩(wěn)概率密度函數(shù)，考察了對不同參數(shù)引起的隨機(jī)分岔問題。徐偉等[9]先借助非光滑變換和狄拉克函數(shù)，隨后得到了Duffing-Rayleigh 碰撞振動系統(tǒng)的對應(yīng)等效非線性系統(tǒng)，最后采用奇異攝動法分析了等效非線性系統(tǒng)的隨機(jī)P-分岔。Zhu[10-11]分別將高斯白噪聲和泊松白噪聲激勵下Duffing碰撞振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)概率密度近似為指數(shù)多項(xiàng)式形式。與蒙特卡羅模擬結(jié)果進(jìn)行對比，該指數(shù)多項(xiàng)式形式的近似解具有較高的精度，但不能反映系統(tǒng)局部的一些非光滑本質(zhì)特征。Chen等[12]應(yīng)用迭代加權(quán)殘值法獲得了高斯白噪聲激勵下單自由度碰撞振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)閉合解。

Hertz接觸理論模型既能夠很好的描述在碰撞過程中的物體的局部變形，同時也能夠較好的反映碰撞過程中的接觸力的變化。在20世紀(jì)90年代，Jing等[13-14]基于Hertz接觸理論模型率先獲得了高斯白噪聲外激情形時的單自由度系統(tǒng)的精確平穩(wěn)解。后來，Huang等[15]利用Hertz理論模型將約束模型轉(zhuǎn)化為于非線性彈簧，考察了二自由度碰撞振動系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并在一定條件下得到了這類系統(tǒng)的精確平穩(wěn)解。Xu等[16-17]聯(lián)合利用等效非線性方法和隨機(jī)平均法將Hertz模型進(jìn)行改進(jìn)分析了單自由度非彈性碰撞振動系統(tǒng)的響應(yīng)。另外，徐明等[18]采用修正Hertz模型基于隨機(jī)平均法分析了在高斯白噪聲激勵下非彈性碰撞振動系統(tǒng)的首次穿越問題，得到了系統(tǒng)的條件可靠性函數(shù)和相應(yīng)的條件概率密度函數(shù)。

特別需要指出的是，當(dāng)前的碰撞隨機(jī)振動研究還具有一些局限性。如隨機(jī)平均法須在系統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)接近于1以及在弱阻尼弱激勵等情況下才能應(yīng)用；等效線性化法能夠較為準(zhǔn)確的得到系統(tǒng)的均方速度和均方位移，然而其應(yīng)用范圍卻往往局限于高斯統(tǒng)計的情形，并且在參激情況下常被認(rèn)為是不充足或不合適的；攝動法只適用于小參數(shù)、弱非線性系統(tǒng)條件下，對于非線性較強(qiáng)的情況下的誤差非常大，甚至其結(jié)果根本不正確?？傊?，關(guān)于隨機(jī)碰撞振動的研究，特別是在隨機(jī)響應(yīng)閉合解方面仍需投入大量的研究。

本文應(yīng)用隨機(jī)振動研究的最新成果——迭代加權(quán)殘值法，求解了高斯白噪聲激勵下基于Hertz接觸的單自由度強(qiáng)非線性碰振系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)近似閉合解。首先，利用概率環(huán)流和概率勢流的概念，構(gòu)造系統(tǒng)對應(yīng)簡化FPK方程解的近似表達(dá)式；然后，運(yùn)用加權(quán)殘值法獲得系統(tǒng)平穩(wěn)概率密度函數(shù)的近似閉合解；最后，應(yīng)用迭代的辦法，提高近似閉合解的精度。研究結(jié)果表明，本文的迭代加權(quán)殘值法采用分段函數(shù)形式表達(dá)，具有較高的精度，可以有效的解決非光滑問題，同時還清楚的表征了碰振系統(tǒng)的非光滑本質(zhì)特征等等。作為算例，分別研究Duffing碰振系統(tǒng)和干摩擦碰振系統(tǒng)，來驗(yàn)證本文方法的有效性。

1 問題概述

考慮一個受高斯白噪聲激勵的單自由度Hertz碰振系統(tǒng)，其圖示和運(yùn)動方程如圖1所示。

圖1 碰撞振動模型Fig.1 Vibro-impact system

(1)

式中，g1(X,Y)表示線性或非線性阻尼系數(shù)，g2(X)表示系統(tǒng)非碰撞回復(fù)力，f(X)表示碰撞回復(fù)力，其表達(dá)式為

(2)

式中，系統(tǒng)平衡點(diǎn)與兩側(cè)彈性壁的相互作用規(guī)律滿足Hertz接觸定律，δr和δl是碰撞振動系統(tǒng)平衡點(diǎn)距兩端碰撞壁的距離，Br和Bl是常數(shù)，其與彈性壁的材料及幾何形狀有關(guān)；hi(X,Y)表示線性或非線性激勵幅值，Wi(t)表示高斯白噪聲，其相關(guān)函數(shù)為E[Wi(t)Wj(t+τ)] =2Dijδ(τ),i,j=1,2,…,l。

與系統(tǒng)(1)相對應(yīng)的簡化FPK方程如下

(3)

式中，p=p(x,y)為式(1)的平穩(wěn)概率密度函數(shù)；漂移系數(shù)(m1,m2)和擴(kuò)散系數(shù)(b22)如下

m1=y

m2=g1(x,y)y+g2(x)+f(x)-

(4)

根據(jù)詳細(xì)平衡法[19-20]，式(3)可分為以下兩個部分

(5)

和

(6)

其中式(5)描述了概率環(huán)流的平衡，表示保守系統(tǒng)的能量守恒。式(6)則表明了概率勢流的平衡，表示為系統(tǒng)能量輸入與耗散之間的平衡?？梢姡敿?xì)平衡法具有明確的物理意義。若系統(tǒng)存在精確平穩(wěn)解，式(5)和式(6)必同時被滿足。然而，在實(shí)際工程中，該情形常難以實(shí)現(xiàn)。因此用詳細(xì)平衡法求解FPK方程的精確平穩(wěn)解的能力和范圍是有限的。

迭代加權(quán)殘值法[21]是近期作者提出來的一種求解FPK方程平穩(wěn)解的有效方法。當(dāng)系統(tǒng)存在精確解時，近似閉合解收斂于精確解。當(dāng)系統(tǒng)不存在精確解，獲得具有較高精度的近似閉合解。本文將推廣該方法求解簡化FPK方程(3)。

2 迭代加權(quán)殘值法

迭代加權(quán)殘值法主要由加權(quán)殘值法和迭代步驟組成。在具體的應(yīng)用過程中，先結(jié)合概率勢流和概率環(huán)流概念，構(gòu)造簡化FPK方程 (3)的近似表達(dá)式；再用加權(quán)殘值法獲得近似閉合解；最后引入迭代技術(shù)來提高近似閉合解的精度。

2.1 加權(quán)殘值法

首先，假定方程(3)的平穩(wěn)解是如下形式

(7)

式中,C0是歸一化常數(shù)，φ(x,y)關(guān)于狀態(tài)變量的多項(xiàng)式，按照文獻(xiàn)[21]可由以下形式三部分組成

k2ψ2(x,y)

(8)

式中,cij,k1,k2是待求系數(shù)，ψ1和ψ2是概率勢流和概率環(huán)流，分別滿足式(5)與(6)，表達(dá)式如下

lnb22(x,y)

(9)

φ(x,y)→∞ asA→∞,α>-1

ifφ(x,y)∝AαasA→0

(10)

式中,x=Asinθ，y=Acosθ，其中第二個條件保證了在原點(diǎn)的可積性。

(11)

(12)

式中,Ml(x,y)(l=1,2,…,N+2,0

Mk(x,y)=pm(x,y)xiyj,k=1,2,…,N

MN+1(x,y)=pm(x,y)ψ1(x,y)

MN+2(x,y)=pm(x,y)ψ2(x,y)

(13)

式中,pm可為由等效線性化獲得的高斯概率分布函數(shù)或隨機(jī)平均法獲得的概率分布函數(shù)，也可構(gòu)造為如下形式的函數(shù)

pm(x,y)=exp[-ψ1(x,y)-ψ2(x,y)]

(14)

2.2 迭代過程

(15)

為了評價近似解的精度，將近似解與參考解pR(x,y)之間的均方誤差的平方根定義為

(16)

式中，pR=pR(x,y)可以是蒙特卡羅模擬結(jié)果，也可以是精確解析解。

需指出的是，迭代方向的選擇也是至關(guān)重要的。若迭代方向選取的不好，可能會獲得一個不收斂的結(jié)果。這一現(xiàn)象在一些強(qiáng)非線性系統(tǒng)當(dāng)中表現(xiàn)的尤為突出。因此，Chen等[23]提出了一種漸近迭代的概念，具體步驟是先應(yīng)用加權(quán)殘值法計算弱非線性系統(tǒng)或弱激勵情形時的近似平穩(wěn)概率密度函數(shù)，然后以此構(gòu)造權(quán)函數(shù)，再在非線性參數(shù)空間里，逐步搜索強(qiáng)非線性系統(tǒng)的近似平穩(wěn)概率密度函數(shù)。

(17)

接下來，我們將分別考察兩個算例，說明迭代加權(quán)殘值法在Hertz碰撞隨機(jī)振動系統(tǒng)研究中的適用性。

3 算 例

3.1 算例1

考慮在高斯白噪聲激勵下的Duffing碰撞隨機(jī)振動系統(tǒng)，運(yùn)動方程如下

(18)

式中，β1>0，Wi(t)表示激勵強(qiáng)度為2Di的獨(dú)立的高斯白噪聲。

對應(yīng)FPK方程的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)如下

(19)

由此可得出概率勢流和概率環(huán)流為以下形式

(20)

下面分別考察了對稱情形與非對稱情形。

對稱情形：設(shè)δr=δl=0.5，β1=0.1，D1=0.1，α1=1，α3=0.5，Br=Bl=10，經(jīng)2次迭代之后所得結(jié)果如下

p(x,y)=0.228 791 97×exp[-0.942 889 34x2+

0.007 802 02xy+0.180 384 93y2-

0.075 531 07x4+0.0008 465 5x3y-

0.196 890 08x2y2-0.002 027 02xy3-

0.378 371 96×

(21)

根據(jù)式(16)，式(21)的精度為0.013 3。

圖2給出了系統(tǒng)(18)在Br=Bl=10,δr=δl=0.5對稱情形時的平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)。其中圖2(a)與(b)分別表示其聯(lián)合概率密度函數(shù)的理論近似閉合解(21)與相應(yīng)的蒙特卡羅模擬結(jié)果(樣本數(shù)為108)；圖2(c)與(d)分別表示關(guān)于位移的邊緣概率密度函數(shù)與關(guān)于速度的邊緣概率密度函數(shù)，其中實(shí)線表示解析結(jié)果，符號(○)表示蒙特卡羅模擬結(jié)果。如圖所示，迭代加權(quán)殘值法計算的結(jié)果與蒙特卡羅模擬結(jié)果非常相近，精度令人滿意；系統(tǒng)平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)是單峰態(tài)，且頂部光滑；初步表明了本文方法在Duffing系統(tǒng)對稱情形中是有效的。

(a)

(b)

(c)

(d)圖2 系統(tǒng)(18)在Br=Bl=10，δr=δl=0.5情形時的平穩(wěn)概率密度函數(shù)Fig.2 The stationary PDF of system (18)in the case of Br=Bl=10 and δr=δl=0.5

非對稱情形：為了進(jìn)一步考察迭代加權(quán)殘值的有效性和精度，現(xiàn)以平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)(21)構(gòu)造權(quán)函數(shù)，應(yīng)用迭代加權(quán)殘值法分別考慮不同彈性壁剛度Br(Bl)與不同碰撞壁間距參數(shù)δr(δl)等非對稱情形下的平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)的分布。

首先，針對不同彈性壁剛度Br(Bl)情形，現(xiàn)選取Br=100,Bl=10。經(jīng)3次迭代得到精度為0.020 5的結(jié)果如下

p(x,y)=0.262 593 24×exp[0.101 677 44x-

0.002 757 12y-0.914 625 26x2+

0.008 178 59xy+0.055 220 25y2-

0.736 233 78x3+0.000 004 81x2y-

0.007 625 82xy2+0.006 756 1y3-

0.494 431 02x4-0.003 171 1x3y-

0.167 376 57x2y2-0.002 123 55xy3-

0.497 403 68×

(22)

類似地，圖3給出了系統(tǒng)(18)在Br=100，Bl=10情形時的平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)。由圖3可知，迭代加權(quán)殘值法計算結(jié)果依然能夠吻合的很好；系統(tǒng)平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)整體呈光滑“竹筍”狀，關(guān)于位移的邊緣概率密度具有顯著的非對稱性；迭代加權(quán)殘值法進(jìn)一步得到了有效驗(yàn)證。另外，由圖2和圖3可以得出，系統(tǒng)關(guān)于速度的邊緣概率密度函數(shù)函數(shù)基本相同。

現(xiàn)結(jié)合對稱情形，并增加計算Br=20，Bl=10這一情況(受篇幅所限，不再贅述具體表達(dá)式，下同)，考慮系統(tǒng)在一側(cè)彈性壁剛度不同的情形下對于位移的邊緣概率密度函數(shù)的影響情況。由下圖4可知,隨著彈性壁剛度Br(Bl)的增大，關(guān)于位移的邊緣概率密度函數(shù)峰值會變大，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)會有所減小。

(a)

(b)

(c)

(d)圖3 系統(tǒng)(18)在Br=100,Bl=10情形時的平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)，其他參數(shù)同圖2Fig.3 The stationary PDF of system (18)in the case of Br=100，Bl=10.The other parameters are the same as those in Fig.2

圖4 系統(tǒng)(18)分別在Br=Bl=10、Br=20,Bl=10以及Br=100,Bl=10時關(guān)于位移邊緣概率密度函數(shù)，其中實(shí)線表示理論解析解，符號(o,△,□ )表示蒙特卡羅模擬結(jié)果,其他參數(shù)同圖2Fig.3 The marginal PDF of displacement of system (18)in the cases of Br=Bl=10,Br=20,Bl=10 or Br=100,Bl=10,respectively.Solid line represents the analytical solution,symbols(o,△,□ )represent the Monte Carlo simulation data.The other parameters are the same as those in Fig.2

然后固定參數(shù)Br(Bl)，考察不同碰撞壁間距參數(shù)δr(δl)情形，現(xiàn)選取δr=1，δl=0.5,Br=Bl=10，經(jīng)4次迭代得到精度為0.025 1的結(jié)果如下

p(x,y)=0.195 716 30×exp[-0.058 343 74x+

0.002 590 17y-0.677 146 06x2+

0.010 489 24xy+0.200 581 69y2+

0.181 499 36x3+0.000 701 53x2y+

0.012 265 64xy2-0.000 749 63y3-

0.123 542 70x4+0.000 511 15x3y-

0.330 673 92×

0.167 784 26x2y2-0.002 800 01xy3-

(23)

由圖5可知，在不同碰撞壁間距參數(shù)下應(yīng)用迭代加權(quán)殘值法計算的結(jié)果與樣本數(shù)為108的蒙特卡羅模擬結(jié)果吻合的效果也能夠令人滿意，關(guān)于位移的邊緣概率密度數(shù)也具有較明顯的非對稱性。類似于圖4，圖6討論了系統(tǒng)平衡點(diǎn)到碰撞壁一側(cè)間距增大時關(guān)于位移邊緣概率密度函數(shù)的分布情況。由圖6可知，隨著系統(tǒng)平衡點(diǎn)到碰撞壁一側(cè)間距增大時，系統(tǒng)的“單峰”單側(cè)坡度會有所變緩，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)會增大。

3.2 算例2

算例1研究表明，迭代加權(quán)殘值法在光滑Hertz碰振系統(tǒng)研究中可取得較好的效果。下面將考察一類非光滑系統(tǒng)Hertz碰撞系統(tǒng)，來進(jìn)一步檢驗(yàn)迭代加權(quán)殘值法的適用性?，F(xiàn)以干摩擦碰振系統(tǒng)為例，其運(yùn)動方程如下

(a)

(b)

(c)

(d)圖5 系統(tǒng)(18)在δr=1,δl=0.5時的平穩(wěn)概率密度函數(shù)，其他參數(shù)同圖2Fig.5 The stationary PDF of system (18)in the case of δr=1,δl=0.5.The other parameters are the same as those in Fig.2

圖6 系統(tǒng)(18)在δr=δl=0.5,δr=1,δl=0.5與δr=2.5,δl=0.5時關(guān)于位移邊緣概率密度函數(shù)。其中實(shí)線表示理論解析解，(o,△,□ )表示蒙特卡羅模擬結(jié)果，其他參數(shù)同圖2Fig.6 The marginal PDF of displacement of system (18)in the cases of δr=δl=0.5,δr=1,δl=0.5 or δr=2.5,δl=0.5，respectively.The solid line represents the analytical solution,symbols (o,△,□ )represent the Monte Carlo simulation data.The other parameters are the same as those in Fig.2

(24)

β0,β1,β3≥0，sgn(Y)為符號函數(shù)，W(t)表示激勵強(qiáng)度為2D1的高斯白噪聲。系統(tǒng)的平穩(wěn)FPK方程形如式(3)，對應(yīng)的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)如下

b22=2D1

(25)

相應(yīng)概率勢流和概率環(huán)流如下形式

(26)

同樣，針對干摩擦系統(tǒng)亦考慮對稱情形與非對稱情形。

對稱情形：取參數(shù)：δr=δl=0.5,Br=Bl=5,β0=β1=β3=0.1,D1=0.1。應(yīng)用迭代加權(quán)殘值法經(jīng)過3次迭代計算得到精度為0.018 1的結(jié)果如下

p(x,y)=0.280 673 82×exp[0.049 948 83x2-

0.009 358 99xy+0.463 128 39y2-

0.191 118 95x4+0.007 645 05x3y+

0.018 861 58x2y2+0.012 918 00xy3-

1.087 645 1×

0.262 478 15y4-1.082 915 1|y|]

(27)

圖7為系統(tǒng)(24)在Br=Bl=5對稱情形時的平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)結(jié)果。圖7(a)與(b)分別表示基于式(27)的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)與相應(yīng)的蒙特卡羅模擬結(jié)果(樣本數(shù)為108)。圖7(c)與(d)分別表示關(guān)于位移的邊緣概率密度函數(shù)與關(guān)于速度的邊緣概率密度函數(shù)。由圖7可知，理論解析結(jié)果與蒙特卡羅模擬結(jié)果非常相近；系統(tǒng)平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)是單峰，頂部呈“刀鋒”狀，充分體現(xiàn)出了干摩擦系統(tǒng)的非光滑特征。

(a)

(b)

(c)

(d)圖7 系統(tǒng)(24)在Br=Bl=5時的平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)Fig.7 The stationary PDF of system (24)in the symmetry case of Br=Bl=5

接著，以式(27)構(gòu)造權(quán)函數(shù)，經(jīng)3次迭代，求得了Br=Bl=10情形下精度為0.020 3的平穩(wěn)響應(yīng)聯(lián)合概率密度函數(shù)，其表達(dá)式如下

p(x,y)=0.319 755 06×exp[0.145 562 56x2-

0.014 088 440xy+0.464 592 29y2-

0.509 706 45x4+0.016 608 98x3y+

0.032 655 97x2y2+0.014 236 69xy3-

0.992 554 01×

0.272 600 96y4-1.097 960 4|y|]

(28)

根據(jù)式(28)以及蒙特卡羅模擬結(jié)果得出了系統(tǒng)在Br=Bl=10情形時的平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)，如圖8所示。由圖8可知，與Br=Bl=5情形相比，Br=Bl=10情形時系統(tǒng)“刀鋒”的開口寬度有所減??；系統(tǒng)的干摩擦特征仍獲得了比較好的體現(xiàn)。此外，比較圖7和圖8(以及下圖10和圖11)也可以得出，系統(tǒng)在所研究的情形下關(guān)于速度的邊緣概率密度函數(shù)也幾乎相同。

為了考察不同彈性壁剛度Br(Bl)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，我們也考察了Br=Bl=20這一情況。圖9給出了不同彈性壁剛度情形下關(guān)于位移的邊緣概率密度函數(shù)對比圖。由圖9知，當(dāng)系統(tǒng)彈性壁剛度逐漸增大時，系統(tǒng)的“刀鋒”開口寬度是逐漸減小的，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也在減小；另外，初步得出系統(tǒng)的“刀鋒”寬度與系統(tǒng)的彈性壁剛度大小是無關(guān)的。

由以上可知，應(yīng)用迭代加權(quán)殘值法在干摩擦系統(tǒng)對稱情形中，當(dāng)彈性壁剛度逐步增大時，仍然能夠保持較高的精度，初步表明了本文方法在干摩擦碰撞振動系統(tǒng)對稱情形中的有效性和適用性。

(a)

(b)

(c)

(d)圖8 系統(tǒng)(24)在Br=Bl=10時的平穩(wěn)概率密度函數(shù)，其他參數(shù)與圖7相同F(xiàn)ig.8 The stationary PDF of system (24)in the case of Br=Bl=10.The other parameters are the same as those in Fig.7

圖9 系統(tǒng)(24)分別在Br=Bl=5、Br=Bl=10與Br=Bl=20時關(guān)于位移的邊緣概率密度函數(shù)。其中實(shí)線表示理論解析解，(o,△,□ )表示蒙特卡羅模擬結(jié)果Fig.9 The marginal PDF of displacement of system (24)in the cases of Br=Bl=5,Br=Bl=10 and Br=Bl=20,respectively.The solid line represents the analytical solution,symbols(o,△,□ )represent the Monte Carlo simulation data

非對稱情形：現(xiàn)固定參數(shù)Br=Bl=10，考察不同碰撞壁間距參數(shù)δr(δl)情形。先取δr=1.5,δl=0.5,β0=β1=β3=0.1,D1=0.1。以式(28)構(gòu)造權(quán)函數(shù)，經(jīng)3次迭代之后得出精度為0.015 3的結(jié)果。表達(dá)式如下：

p(x,y)=0.192 588 83×exp[-0.000 033 18x+

0.000 439 14y+0.001 236 61x2-

0.001 225 29xy+0.493 140 42y2+

0.000 024 08x3+0.000 068 03x2y-

0.000 062 91xy2-0.000 213 25y3-

0.000 912 73x2y2+0.002 382 99xy3-

1.256 498 2×

0.000 074 00x4+0.000 030 95x3y-

0.250 424 29y4-1.013 793 0|y|]

(29)

圖10進(jìn)一步給出了δr=1.5,δl=0.5非對稱情形時的平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)。由圖10可知，關(guān)于位移的邊緣概率密度函數(shù)亦表現(xiàn)出明顯的非對稱性，系統(tǒng)平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)的峰值區(qū)間基本維持在1.5～-0.5；另外，迭代加權(quán)殘值法計算的結(jié)果與樣本數(shù)為108的蒙特卡羅模擬結(jié)果吻合的也非常好，干摩擦的非光滑性也得到了充分體現(xiàn)。

現(xiàn)保持δl不變，取δr=2。以式(29)構(gòu)造權(quán)函數(shù)，經(jīng)2次迭代獲得精度為0.014 0的平穩(wěn)響應(yīng)聯(lián)合概率密度函數(shù)閉合解如下

(a)

(b)

(c)

(d)圖10 系統(tǒng)(24)在δr=1.5,δl=0.5時的平穩(wěn)概率密度函數(shù)Fig.10 The stationary PDF of system (24)in the case of δr=1.5,δl=0.5

p(x,y)=0.163 760 83×exp[-0.010 293 78x-

0.006 261 64y+0.027 450 11x2-

0.001 538 97xy+0.492 225 00y2+

0.002 910 81x3+0.000 761 82x2y+

0.010 068 95xy2+0.005 455 80y3-

0.005 365 30x4-0.001 042 16x3y-

0.022 606 36x2y2+0.003 372 81xy3-

1.354 765 5×

0.250 615 05y4-1.018 964 6|y|]

(30)

圖11給出了系統(tǒng)在δr=2.0,δl=0.5情形時的平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)。此時由于δr的增大，系統(tǒng)平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)的峰值區(qū)間也基本保持在2.0～-0.5；結(jié)合圖10和圖11可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的“刀鋒”開口寬度隨著碰撞壁間距(δr)的增大有所增大。圖12給出了δr=1.0,δl=0.5、δr=1.5,δl=0.5與δr=2，δl=0.5情形時關(guān)于位移的邊緣概率密度函數(shù)對比圖，考察了不同碰撞壁間距系數(shù)δr(δl)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。由圖12可知，所舉三種情況下的平穩(wěn)響應(yīng)邊緣概率密度函數(shù)峰值區(qū)間基本都維持在x=δr和x=δl之間，再結(jié)合圖9和圖12可以得出，系統(tǒng)的“刀鋒”的區(qū)間寬度只與δr(δl)有關(guān)，與Br(Bl)無關(guān)；另外，邊緣概率密度函數(shù)p1(x)峰值分別在0.42、0.35和0.3左右，比較三種情況得知，當(dāng)系統(tǒng)平衡點(diǎn)到碰撞壁一側(cè)間距增大時，關(guān)于位移的邊緣概率密度的“刀鋒”峰值會有所降低，同時“刀鋒”開口寬度會有所增大；研究表明應(yīng)用迭代加權(quán)殘值法在干摩擦碰撞振動系統(tǒng)的研究中也是有效的。

(a)

(b)

(c)

(d)圖11 系統(tǒng)(24)在δr=2,δl=0.5時的平穩(wěn)概率密度函數(shù)，其他參數(shù)同圖10Fig.11 The stationary PDF of system (24)in the case of δr=2,δl=0.5.The other parameters are the same as those in Fig.10

圖12 系統(tǒng)(24)分別在δr=1.0,δl=0.5、δr=1.5,δl=0.5與δr=2,δl=0.5時關(guān)于位移的邊緣概率密度函數(shù)。其中實(shí)線表示理論解析解，符號(o,△,□ )表示蒙特卡羅模擬結(jié)果。其他參數(shù)同圖10Fig.12 The marginal PDF of displacement of system (24)in the cases with δr=1.0,δl=0.5、δr=1.5,δl=0.5 or δr=2,δl=0.5,respectively.The solid line represents the analytical solution,symbols(o,△,()represent the Monte Carlo simulation data.The other parameters are the same as those in Fig.10

4 結(jié) 論

本文采用迭代加權(quán)殘值法研究了隨機(jī)激勵下基于Hertz接觸的單自由度強(qiáng)非線性碰撞振動系統(tǒng)平穩(wěn)響應(yīng)問題。研究方法主要有三個步驟：首先構(gòu)造支配系統(tǒng)平穩(wěn)響應(yīng)概率密度函數(shù)的簡化FPK方程的近似表達(dá)式；然后，應(yīng)用加權(quán)殘值法獲得系統(tǒng)平穩(wěn)概率密度函數(shù)的近似閉合解；最后應(yīng)用迭代技術(shù)，來提高近似閉合解的精度。作為算例，分別研究了Duffing碰振系統(tǒng)以及干摩擦碰振系統(tǒng)。研究表明本文的方法在光滑系統(tǒng)(Duffing碰振系統(tǒng))以及非光滑系統(tǒng)(干摩擦碰振系統(tǒng))研究中均是有效和適用的，同時還完全表征了系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特征，如干摩擦系統(tǒng)頂部的“刀鋒”非光滑特征。