郭 克，肖 寧

（西安工業(yè)大學(xué)，陜西 西安 710021）

0 引 言

近年來(lái)，我國(guó)電網(wǎng)互聯(lián)規(guī)模不斷擴(kuò)大，其復(fù)雜程度也隨之提升。因此，導(dǎo)致電力系統(tǒng)產(chǎn)生低頻振蕩的頻率逐漸提高，其造成的電網(wǎng)事故不斷發(fā)生。目前研究發(fā)現(xiàn)，電網(wǎng)區(qū)域事故產(chǎn)生最主要起因就是低頻振蕩弱阻尼，這一事故的起因所造成的區(qū)域振蕩通常會(huì)使得一到多個(gè)地區(qū)發(fā)生停電事故，嚴(yán)重的情況下甚至?xí)?dǎo)致電力系統(tǒng)的分解與停運(yùn)[1-5]。目前電力系統(tǒng)中抑制低頻振蕩的主要方法有以下幾點(diǎn)：

1）在發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)中加裝電力系統(tǒng)穩(wěn)定器（Power System Stabilizer，PSS）[6]；

2）采用 HVDC 輸電[7-8]；

3）采用柔性多狀態(tài)開(kāi)關(guān)控制阻尼[9-11]；

4）發(fā)電機(jī)組調(diào)速阻尼控制[12-13]。

在以上方法當(dāng)中，與低頻振蕩的關(guān)聯(lián)性較高的發(fā)電機(jī)組上安裝電力系統(tǒng)穩(wěn)定器，是目前電力系統(tǒng)中抑制低頻振蕩的主要方法。PSS 具有其相位超前補(bǔ)償?shù)墓δ埽瑢⒁欢ㄏ薅鹊貙?shí)現(xiàn)對(duì)電力系統(tǒng)阻尼的有效控制。但由于系統(tǒng)中的低頻振蕩和負(fù)阻尼所具有的特性并不相同，故會(huì)產(chǎn)生PSS 無(wú)法徹底抑制電力系統(tǒng)低頻振蕩的情況[14]。

由于互聯(lián)電力系統(tǒng)的復(fù)雜程度較高，傳統(tǒng)的PID 整定范圍難以滿足實(shí)際需要，而分?jǐn)?shù)階PID 因其能夠有效抑制電力系統(tǒng)諧波，增強(qiáng)電網(wǎng)魯棒性而被廣泛應(yīng)用到電網(wǎng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中。本文針對(duì)傳統(tǒng)PID 控制器在電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)中即時(shí)追蹤能力弱、難以迅速抑制電力系統(tǒng)中產(chǎn)生的低頻振蕩的局限性，設(shè)計(jì)了基于帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法（Imperialist Competitive Algorithm，ICA）的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)。該系統(tǒng)采用分?jǐn)?shù)階PID 控制器進(jìn)行反饋控制，然后利用ICA 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化[15]，最后在勵(lì)磁控制系統(tǒng)中對(duì)該P(yáng)SS 系統(tǒng)的控制效果進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的基于ICA 的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)能夠有效抑制電力系統(tǒng)低頻振蕩，跟蹤性與魯棒性均能滿足工程實(shí)際的需要。

1 基于分?jǐn)?shù)階PID控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)

1.1 分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)階PID 控制器是整數(shù)階PID 控制器的進(jìn)一步演化，主要應(yīng)用于復(fù)數(shù)域，是近年來(lái)使用較多的一種較為新式的控制器。

整數(shù)階PID 控制器的表達(dá)形式為：

式中：kP表示控制器的比例增益；kI表示的是控制器的積分系數(shù)；kD表示的是控制器的微分系數(shù)。

而分?jǐn)?shù)階PID 控制器的表達(dá)形式為：

式中：u(t)表示的是輸出的信號(hào)；e(t)表示的是輸入的信號(hào)；λ表示的是積分階數(shù)；μ表示的是微分階數(shù)。λ＞0，μ＞0，且兩者均為實(shí)數(shù)。

式（2）所對(duì)應(yīng)的控制器傳遞函數(shù)表達(dá)形式為：

按照式（3）設(shè)計(jì)得到控制器對(duì)應(yīng)的控制模型如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階 PID 控制器控制模型Fig.1 Control model of fractional order PID controller

對(duì)比式（1）和式（3）可以發(fā)現(xiàn)，整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階兩種PID 控制器中，后者增添了積分階數(shù)與微分階數(shù)兩個(gè)參量，這使得控制器能夠快速追蹤電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)的參量變動(dòng)情況，較大地提升了系統(tǒng)的控制性能。同時(shí)，參數(shù)的增多使得控制器在選擇參數(shù)時(shí)的復(fù)雜程度有所提升。

1.2 電力系統(tǒng)穩(wěn)定器原理分析

電力系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)組的建模通常使用的是三階實(shí)用模型，勵(lì)磁系統(tǒng)通常設(shè)定為靜止形式，使用一階慣性環(huán)節(jié)對(duì)其進(jìn)行表達(dá)。將前兩者與網(wǎng)絡(luò)方程結(jié)合得到電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)傳遞函數(shù)的框圖，如圖2所示[16]。

圖2 單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)傳遞函數(shù)框架圖Fig.2 Framework diagram of transfer function of single machine infinity system

根據(jù)圖2可得：

若令GPSS(p)超前的相位與滯后的相位相等，則電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的作用是令系統(tǒng)多一個(gè)與Δω相位一致的組成部分ΔT*e，從而導(dǎo)致正阻尼的生成。因此，對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的低頻振蕩進(jìn)行一定程度的抑制。電力系統(tǒng)穩(wěn)定器傳遞函數(shù)框架圖如圖3所示[17]。

圖3 電力系統(tǒng)穩(wěn)定器傳遞函數(shù)框架圖Fig.3 Framework diagram of transfer function of power system′s stabilizer

1.3 穩(wěn)定器系統(tǒng)設(shè)計(jì)

電力系統(tǒng)穩(wěn)定器可以額外實(shí)現(xiàn)勵(lì)磁控制，通過(guò)給予勵(lì)磁系統(tǒng)與轉(zhuǎn)子速率差一致的電磁轉(zhuǎn)矩分量來(lái)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的低頻振蕩進(jìn)行抑制，從而確保電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行[18]。電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的傳遞函數(shù)為：

式中：kPSS表示的是系統(tǒng)的放大增益；Tw表示的是隔直時(shí)間常數(shù)；Ts1表示的是一階超前時(shí)間常數(shù)；Ts2表示的是二階滯后時(shí)間常數(shù)；Ts3表示的是二階超前時(shí)間常數(shù)；Ts4表示的是二階滯后時(shí)間常數(shù)[19]。

因?yàn)榛谡麛?shù)階PID 控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器勵(lì)磁控制系統(tǒng)，在追蹤電力系統(tǒng)數(shù)據(jù)時(shí)靈活性較低，從而難以滿足系統(tǒng)抑制低頻振蕩的需要，這將無(wú)法保證電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。為了提升電力系統(tǒng)穩(wěn)定器抑制低頻振蕩的性能，本文將PID 控制器的類型從整數(shù)階修改為分?jǐn)?shù)階?；诜?jǐn)?shù)階PID 控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 基于分?jǐn)?shù)階PID 控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.4 System structure of power system′s stabilizer system based on fractional order PID controller

由于電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的輸入信號(hào)Δω可以準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)追蹤發(fā)電機(jī)負(fù)載，這表明當(dāng)發(fā)電機(jī)負(fù)載增加時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)GPSS的放大增益同時(shí)增加，從而可有效提升電力系統(tǒng)穩(wěn)定器勵(lì)磁系統(tǒng)的勵(lì)磁控制性能。由于本文在建立電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型時(shí)，令Δω作為系統(tǒng)輸入信號(hào)?；诖?，建立電力系統(tǒng)穩(wěn)定器仿真模型，如圖5所示。

圖5 電力系統(tǒng)穩(wěn)定器仿真模型Fig.5 Simulation model of power system′s stabilizer

將分?jǐn)?shù)階PID 控制器加入電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)，使該系統(tǒng)安裝到單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)中。在仿真時(shí)采用階躍響應(yīng)來(lái)對(duì)系統(tǒng)中產(chǎn)生的低頻振蕩進(jìn)行模擬，然后評(píng)估系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)得到的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如圖6所示。

圖6 基于分?jǐn)?shù)階PID 控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型Fig.6 Mathematical model of power system′s stabilizer system based on fractional order PID controller

根據(jù)式（6）可得，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的增益與滯后的相位角度和系數(shù)k2，k6有關(guān)，系數(shù)取值可利用文獻(xiàn)[17]計(jì)算得出。傳遞函數(shù)增加情況與k2正相關(guān)，減小情況與k6正相關(guān)。

2 基于ICA的控制器參數(shù)優(yōu)化

本文設(shè)計(jì)帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法時(shí)采用Levy 變異算子，實(shí)現(xiàn)控制器的參數(shù)優(yōu)化。與以往單一的帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法相比，采用Levy 變異算子的帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法能夠?qū)崿F(xiàn)快速收斂，精確度較高。改進(jìn)后的帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法能夠大幅度降低工作量，提升參數(shù)的精確度。

2.1 帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法

帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法是近年來(lái)興起的一種新型智能優(yōu)化算法，其主要來(lái)源于社會(huì)行為的發(fā)展，核心內(nèi)容是對(duì)殖民地同化制度與帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)的制度進(jìn)行一定程度的模擬。依據(jù)帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法的發(fā)展流程優(yōu)化控制器參數(shù)配置，如圖7所示。

圖7 帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法流程圖Fig.7 Flow chart of imperialist competitive algorithm

2.2 Levy變異算子

本文在采用帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法優(yōu)化控制器參數(shù)時(shí)，使用Levy 變異算子確保算法覆蓋的區(qū)間范圍更廣。Levy 變異的實(shí)質(zhì)是服從Levy 分布并給出隨機(jī)數(shù)，當(dāng)Levy 分布恰好在z=0 時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)稱關(guān)系，即可以得到分布的概率密度函數(shù)表達(dá)式，如下：

式中：α可以調(diào)節(jié)函數(shù)圖像的形狀，一般限定 0＜α＜2，本文選定α=0.3；γ代表尺度增大或減小的因子，定義其值大于0，為保證優(yōu)化結(jié)果具有一般性，尺度因子γ值選定為1。此時(shí)，Lα，1可表示為L(zhǎng)α。

2.3 考慮Levy變異算子的ICA

在帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法中，帝國(guó)主義集團(tuán)的查找歷程與優(yōu)化程度有關(guān)。由于各殖民地均在向帝國(guó)主義國(guó)家（Imperialist State，IS）靠近，當(dāng) IS 處于局部的最優(yōu)狀態(tài)時(shí)，附屬的殖民地同樣有較大可能處于同等狀態(tài)，即導(dǎo)致早熟狀況的發(fā)生。隨之而來(lái)的則是種群的分散性消失。因此，本文針對(duì)IS 將考慮增加相應(yīng)的變異算子。設(shè)IS 的代表變量為則將執(zhí)行變異的流程為：

式中：r表示服從Levy 分布得到的隨機(jī)數(shù)；k表示的是代表尺度大小的參數(shù)。變異處理面向向量中所有維度，若求解結(jié)果質(zhì)量提升，便表明變異處理較為成功。因此，為提升變異處理成功的概率，各維度需實(shí)施5 次變異操作。

2.4 控制器參數(shù)優(yōu)化

本文為整定控制器參數(shù)，設(shè)定了相應(yīng)的最小化性能指標(biāo)。文中采用向量表示帝國(guó)主義國(guó)家，表達(dá)形式為：

式中，P表示的是控制器的控制參數(shù)，在仿真時(shí)對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行限定。

為更好地滿足系統(tǒng)抑制低頻振蕩的要求，實(shí)現(xiàn)整定控制器參數(shù)的目標(biāo)，本文所設(shè)定的最小化性能指標(biāo)為：

式中：β表示的是加權(quán)系數(shù)，設(shè)定β=1；MP表示的是最大偏差；ESS表示的是穩(wěn)定時(shí)的系統(tǒng)誤差；tr表示的是上升時(shí)長(zhǎng)；ts表示的是系統(tǒng)調(diào)整時(shí)長(zhǎng)；J（P）表示的是懲罰函數(shù)。

采用最小化性能指標(biāo)相較于其他誤差積分的原則，能夠較大程度上降低系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)行時(shí)的誤差加權(quán)，且針對(duì)后期產(chǎn)生的較小誤差能更優(yōu)的進(jìn)行修正。從而使系統(tǒng)的最大偏差降低，令系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)衰減速率得以降低。另外，若控制器無(wú)法維持閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，則表明所設(shè)計(jì)的控制器無(wú)法實(shí)現(xiàn)有效控制。此時(shí)，需要對(duì)其施加懲罰。由此可以得到，適應(yīng)度函數(shù)為：

式中，L無(wú)限趨近于正無(wú)窮。當(dāng)J（P）控制其實(shí)現(xiàn)最小化目標(biāo)時(shí)，即可判定控制器達(dá)到最優(yōu)。

本文將考慮Levy 變異算子的帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階PID 控制器的模型搭建中對(duì)其進(jìn)行一定程度的優(yōu)化。其具體流程如圖8所示。

3 仿真驗(yàn)證

仿真時(shí)設(shè)定傳遞函數(shù)為：

在進(jìn)行仿真時(shí)針對(duì)系統(tǒng)的低頻振蕩分別采用P 控制、PI 控制、PD 控制與PID 控制執(zhí)行控制操作，從而測(cè)試4 種控制方法的響應(yīng)性能，進(jìn)而分析其控制功能的有效性。

圖8 控制器優(yōu)化流程Fig.8 Optimization flow of controller

各類控制器的階躍響應(yīng)性能對(duì)比如圖9所示。系統(tǒng)采用P 控制時(shí)最大偏差較大，此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生低頻振蕩；而系統(tǒng)采用PI 控制降低最大偏差的效果較好，然而此時(shí)系統(tǒng)的消去靜差的時(shí)長(zhǎng)會(huì)有一定程度的增長(zhǎng)；系統(tǒng)采用PD 控制能夠提升系統(tǒng)響應(yīng)的速率，然而同時(shí)抑制擾動(dòng)的性能有所下降；而系統(tǒng)采用PID 控制能夠大幅度降低自身的響應(yīng)時(shí)長(zhǎng)與最大偏差，提升響應(yīng)的速率。故經(jīng)過(guò)對(duì)比可得出結(jié)論，PID 控制的相對(duì)控制性能最優(yōu)。

圖9 各類控制器的階躍響應(yīng)性能對(duì)比Fig.9 Comparison of step response performances of various controllers

采用帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到各優(yōu)化參數(shù)如表1所示。

階躍響應(yīng)曲線對(duì)比圖如圖10所示。PSS 系統(tǒng)分別采用整數(shù)階PID 控制器與基于ICA 的分?jǐn)?shù)階PID 控制器抑制系統(tǒng)低頻振蕩時(shí)的階躍響應(yīng)曲線對(duì)比圖。其中，PID-PSS 表示基于整數(shù)階PID 控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器，ICA-PID-PSS 表示結(jié)合帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法設(shè)計(jì)得到的基于分?jǐn)?shù)階PID 控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器。由圖10可知，前者的最大偏差為9.85%，上升所需用時(shí)為0.42 s，系統(tǒng)穩(wěn)定所需用時(shí)為1.21 s；后者的最大偏差為35.8%，上升所需用時(shí)為0.125 s，系統(tǒng)穩(wěn)定所需的調(diào)節(jié)用時(shí)為0.41 s。因此可以得出結(jié)論，結(jié)合ICA 的基于分?jǐn)?shù)階PID 控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器能夠更優(yōu)地抑制電力系統(tǒng)產(chǎn)生的低頻振蕩。同時(shí)具有良好的抗干擾能力和追蹤控制能力，可有效維持電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。

表1 分?jǐn)?shù)階PID 控制器優(yōu)化參數(shù)Table 1 Optimized parameters of fractional order PID controller

圖10 階躍響應(yīng)曲線對(duì)比圖Fig.10 Comparison of step response curves

4 結(jié) 論

本文針對(duì)電力系統(tǒng)中傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)抑制低頻振蕩能力較弱的問(wèn)題，在設(shè)計(jì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)時(shí)，采用分?jǐn)?shù)階PID 控制器提升控制器參數(shù)整定的區(qū)域范圍，從而改善系統(tǒng)控制的準(zhǔn)確性。結(jié)合帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)算法建立了基于分?jǐn)?shù)階PID 控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)優(yōu)化模型。在模型中對(duì)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化配置，同時(shí)采用Levy 變異算子對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)一步發(fā)揮算法收斂速率快、優(yōu)化準(zhǔn)確等優(yōu)勢(shì)。根據(jù)對(duì)基于整數(shù)階PID控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)與結(jié)合ICA 的基于分?jǐn)?shù)階PID 控制器的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)對(duì)比，可以驗(yàn)證后者能夠增強(qiáng)系統(tǒng)的控制性能，增進(jìn)電網(wǎng)的阻尼特性。從而針對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的低頻振蕩能夠進(jìn)行快速抑制，取得較好的控制效果，且大幅度提升了電力系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，本文所提出的基于ICA 的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器系統(tǒng)可以滿足工程實(shí)際應(yīng)用。