藤瑞品 宋曉琳 劉國云 曾俊偉

1.湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙，4100822.湖南獵豹汽車股份有限公司，長沙，410100

0 引言

在完整的耐久試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)里程中截取部分樣本，實(shí)車狀態(tài)下采集載荷譜數(shù)據(jù)，對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行外推后，用于整車疲勞耐久分析和計(jì)算，是試驗(yàn)場關(guān)聯(lián)汽車疲勞耐久設(shè)計(jì)普遍使用的方法。

載荷譜數(shù)據(jù)外推分為線性外推和概率外推兩種。在實(shí)際的試驗(yàn)過程中，由于路面、車速以及駕駛員的操作都具有一定的隨機(jī)性，因此得到的相應(yīng)的載荷譜數(shù)據(jù)也具有隨機(jī)性。對(duì)采集樣本采用線性外推得到的載荷譜數(shù)據(jù)不能覆蓋完整的試驗(yàn)過程，應(yīng)采用概率外推的方法。載荷譜數(shù)據(jù)包含載荷幅值和載荷均值兩個(gè)參數(shù)，載荷譜的概率外推應(yīng)基于載荷幅值和均值都為隨機(jī)變量的二維隨機(jī)載荷進(jìn)行。

陳欣等[1]對(duì)汽車傳動(dòng)系統(tǒng)的載荷譜進(jìn)行了研究，基于幅值和頻次的關(guān)系建立了八級(jí)程序載荷譜；高云凱等[2]通過將二維程序載荷譜簡化為一維程序載荷譜，建立了車身疲勞試驗(yàn)程序載荷譜；高孝旺[3]在載荷幅值為威布爾分布的基礎(chǔ)上分析了三參數(shù)威布爾分布的三個(gè)參數(shù)對(duì)等效載荷、載荷比例系數(shù)的影響趨勢，以及載荷波動(dòng)程度即變異系數(shù)對(duì)載荷比例系數(shù)的影響趨勢,對(duì)同均值條件下正態(tài)分布與三參數(shù)威布爾分布的等效載荷進(jìn)行了對(duì)比；胡建軍等[4]基于載荷幅值為正態(tài)分布的情況,研究了載荷比例系數(shù)和變差系數(shù)之間的關(guān)系，并以隨機(jī)載荷為輸入對(duì)齒輪的疲勞壽命進(jìn)行了試驗(yàn)研究；武瀅等[5]基于載荷幅值和均值都為隨機(jī)分布的情況，以其聯(lián)合概率密度為基礎(chǔ)建立了疲勞壽命的分布預(yù)測模型；郭虎等[6]通過對(duì)汽車前橋載荷進(jìn)行采集，得到了包含幅值和均值的載荷譜，并對(duì)采用Goodman經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換后的等效載荷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，得出了在各種路面下等效載荷的分布符合三參數(shù)威布爾分布的結(jié)論，并給出了分布參數(shù)；藤瑞品等[7]對(duì)二維隨機(jī)載荷作用下的疲勞壽命進(jìn)行了研究，給出了載荷幅值和均值均符合正態(tài)分布的二維隨機(jī)載荷的當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)。

目前基于隨機(jī)載荷譜的疲勞耐久研究大多局限于分布規(guī)律的研究和基于幅值為隨機(jī)變量的一維隨機(jī)載荷譜外推的疲勞耐久性研究，二維隨機(jī)載荷的外推研究以及基于二維隨機(jī)載荷外推的疲勞耐久性研究尚未有成熟的方法。本文即是針對(duì)當(dāng)前研究存在的不足，提出了二維隨機(jī)載荷譜的外推方法，建立了二維隨機(jī)載荷的當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)的求解模型，研究了某款城市SUV螺旋彈簧載荷譜的分布特性，采用載荷譜分級(jí)法計(jì)算了疲勞損傷，并指出了分級(jí)數(shù)量對(duì)疲勞損傷的影響。

1 二維隨機(jī)載荷譜的外推方法

1.1 基于Goodman公式的概率密度函數(shù)外推

已知二維隨機(jī)載荷的幅值和均值的分布概率，根據(jù)當(dāng)量載荷的計(jì)算法則和概率密度理論，計(jì)算出當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)，在此基礎(chǔ)上將二維隨機(jī)載荷進(jìn)行外推后的載荷譜作為疲勞壽命的計(jì)算載荷。

假設(shè)零件受到幅值為Sa、均值為Sm的循環(huán)載荷作用，可以把(Sa，Sm)用經(jīng)驗(yàn)公式轉(zhuǎn)化為零均值當(dāng)量載荷，根據(jù)Goodman公式，當(dāng)量載荷Seq的表達(dá)式[8]為

(1)

式中,σb為材料的抗拉強(qiáng)度。

(2)

目前在工程實(shí)際中，Miner累積疲勞損傷定則廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)件在變幅載荷作用下疲勞壽命的預(yù)測[10-12]，在確定二維隨機(jī)載荷的概率密度函數(shù)以后，根據(jù)Miner定則，累積疲勞損傷的計(jì)算方法如下：

(3)

式中，D為材料的累積疲勞損傷；N為材料受到的循環(huán)載荷總次數(shù)；S為材料受到的載荷；f(S)為隨機(jī)載荷的概率密度函數(shù)；Nf為材料在載荷S作用下的疲勞壽命。

采用概率密度函數(shù)外推法只需要進(jìn)行積分運(yùn)算，計(jì)算過程比較簡單也比較容易得到精確的計(jì)算結(jié)果，但是采用該方法必須要首先得到二維隨機(jī)載荷的當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)和材料的S-N曲線方程。

1.2 載荷譜分級(jí)法

在很多情況下，當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)過于復(fù)雜而無法根據(jù)概率密度的算法進(jìn)行計(jì)算，這時(shí)可采用載荷譜分級(jí)法對(duì)二維隨機(jī)載荷進(jìn)行外推。 載荷譜分級(jí)法外推過程如下：

(1)根據(jù)載荷幅值和均值的雨流計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，得出載荷幅值和均值的分布特性及分布參數(shù)；

(2)對(duì)載荷譜的幅值和均值進(jìn)行分級(jí)，將連續(xù)的載荷譜分成有限個(gè)載荷區(qū)間；

(3)根據(jù)載荷幅值和均值的統(tǒng)計(jì)分布特性外推出各級(jí)載荷幅值和均值的分布概率頻次；

(4)根據(jù)式(1)和載荷幅值以及載荷均值的分布概率頻次，推算出各級(jí)載荷的當(dāng)量載荷的分布概率和統(tǒng)計(jì)頻次。

1.3 當(dāng)量載荷外推法

當(dāng)量載荷外推法[6]也是一種概率密度函數(shù)外推法，不同的是該方法首先將包含載荷幅值和載荷均值的二維隨機(jī)載荷通過Goodman公式轉(zhuǎn)化為零均值的當(dāng)量載荷以后，再以當(dāng)量載荷作為隨機(jī)載荷進(jìn)行分布檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)，擬合出當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)和分布參數(shù)后，根據(jù)式(3)計(jì)算疲勞損傷。

2 二維隨機(jī)載荷的當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)

2.1 幅值和均值均服從正態(tài)分布時(shí)

Seq為二維隨機(jī)載荷的當(dāng)量載荷[7]，設(shè)Z=Seq,fZ(z)為當(dāng)量載荷Seq的概率密度函數(shù)。

(4)

2.2 幅值服從威布爾分布、均值服從正態(tài)分布時(shí)

幅值服從威布爾分布、均值服從正態(tài)分布的隨機(jī)載荷的當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)的推導(dǎo)比幅值和均值都服從正態(tài)分布的隨機(jī)載荷的概率密度函數(shù)的推導(dǎo)復(fù)雜甚至不能推導(dǎo)，以下僅對(duì)形狀參數(shù)α=1、位置參數(shù)λ=0時(shí)的情況進(jìn)行推導(dǎo)。

載荷幅值Sa符合威布爾分布，概率密度函數(shù)為

(5)

式中，α為形狀參數(shù)，反映載荷譜的分布形狀；β為尺度參數(shù)，反映載荷譜總體水平；λ為位置參數(shù)，反映載荷譜的最小值。

(6)

(7)

(8)

(9)

圖1為部分分布參數(shù)下的函數(shù)圖。

圖1 當(dāng)量載荷概率密度函數(shù)圖Fig.1 Plot of the probability density functio n of equivalent stress

3 S-N曲線的擬合

由于得到真實(shí)的S-N曲線需要大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而得到這些試驗(yàn)數(shù)據(jù)需要大量的時(shí)間和成本，因此很多時(shí)候在工程實(shí)踐中并沒有真實(shí)的S-N曲線可用。根據(jù)已有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和素材，對(duì)材料的S-N曲線進(jìn)行估算和擬合，以代替材料的真實(shí)S-N曲線，可以作為工程實(shí)踐中進(jìn)行疲勞耐久設(shè)計(jì)的一種近似手段。

S-N曲線的擬合方法主要有三參數(shù)擬合法和分段擬合法兩種。

3.1 三參數(shù)擬合法

根據(jù)對(duì)金屬材料疲勞性能曲線的研究[8]，對(duì)于整個(gè)中長壽命區(qū)，疲勞壽命和載荷之間的關(guān)系建議采用以下三參數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式:

Nf(S-S0)n=m

(10)

式中，S0、m、n均為待定常數(shù)。

文獻(xiàn)[13]提出的應(yīng)力疲勞壽命公式為

Nf=Cf(Seq-(Seq)c)-2

(11)

式中，Cf、(Seq)c分別為疲勞抗力系數(shù)和用等效應(yīng)力幅表示的理論疲勞極限，它們均為材料常數(shù)。

文獻(xiàn)[14]以16Mn鋼和15MnVN鋼為對(duì)象進(jìn)行了研究，測定了16Mn鋼和15MnVN鋼的拉伸性能，并用φ10 mm的光滑試件測定了疲勞壽命并進(jìn)行了回歸分析，分析結(jié)果顯示采用式(10)來擬合低合金高強(qiáng)度鋼擬合度R=-1時(shí)的疲勞試驗(yàn)結(jié)果是有效的[14]。

3.2 分段擬合法

分段擬合法[15-16]是在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上，將S-N曲線在高周疲勞區(qū)和低周疲勞區(qū)分別以直線段來進(jìn)行擬合的方法，見圖2，圖中橫坐標(biāo)的1、103、106點(diǎn)對(duì)應(yīng)的載荷代表材料分別在標(biāo)準(zhǔn)循環(huán)加載1、103、106次的疲勞強(qiáng)度，106次定義為材料的疲勞極限。

圖2 S-N曲線分段擬合Fig.2 Subsection fitting of S-N curve

圖2中高周疲勞段的斜率g計(jì)算公式如下：

(12)

式中，S1 000和Sbe分別為材料在標(biāo)準(zhǔn)循環(huán)加載103、106次時(shí)的疲勞強(qiáng)度。

低周疲勞段的斜率h計(jì)算公式如下：

(13)

式中，Sf為材料的抗拉強(qiáng)度。

4 載荷譜數(shù)據(jù)采集和處理

4.1 載荷譜數(shù)據(jù)的采集

基于試驗(yàn)場關(guān)聯(lián)的整車結(jié)構(gòu)疲勞載荷譜的采集和分析技術(shù)，采用4個(gè)車輪六分力傳感器、10個(gè)加速度傳感器和38個(gè)應(yīng)變片傳感器，在襄陽試驗(yàn)場采集了某款城市SUV整車主要結(jié)構(gòu)載荷譜。采集地點(diǎn)及道路類型如表1所示。試驗(yàn)車輛參數(shù)如表2所示。

表1 采集地點(diǎn)及道路類型

表2 試驗(yàn)車輛主要技術(shù)參數(shù)

4.2 載荷譜數(shù)據(jù)的處理

對(duì)原始載荷譜去除異常點(diǎn)(毛刺)以及連接路面的信號(hào)，處理后得到的信號(hào)譜見圖3。

圖3 原始載荷譜信號(hào)Fig.3 Original load spectrum signal

采用雨流計(jì)數(shù)法統(tǒng)計(jì)處理后形成包含幅值和均值統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)的三維直方圖見圖4。幅值和均值各自的二維統(tǒng)計(jì)直方圖見圖5和圖6。

圖4 載荷三維統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.4 Three-dimension statistic histogram

圖5 載荷幅值統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.5 Statistic histogram of stress amplitude

圖6 載荷均值統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.6 Statistic histogram ofmean stress

4.3 統(tǒng)計(jì)模型的圖形法檢驗(yàn)

對(duì)經(jīng)過雨流計(jì)數(shù)法統(tǒng)計(jì)的左前螺旋彈簧的載荷譜幅值和均值分別進(jìn)行威布爾和正態(tài)分布的圖形檢驗(yàn)[17]，檢驗(yàn)結(jié)果見圖7、圖8。

圖7 威布爾分布檢驗(yàn)圖Fig.7 Weibull distribution checking plot

圖8 正態(tài)分布檢驗(yàn)圖Fig.8 Gauss distribution checking plot

通過觀察發(fā)現(xiàn)，圖7中除了部分比較小的幅值和總體趨勢不一致外，其他基本符合威布爾分布的假設(shè)，其特征比較符合工程實(shí)際，即試驗(yàn)車在耐久路面行駛，在載荷譜時(shí)域序列的均值附近振蕩。

而通過觀察圖8可以發(fā)現(xiàn)，載荷譜均值非常符合正態(tài)分布的假設(shè)，這和圖6的直方圖結(jié)果是一致的。

4.4 模型的參數(shù)估計(jì)

采用極大似然估計(jì)法[9]對(duì)螺旋彈簧載荷的分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果見表3。

5 疲勞損傷分析

5.1 載荷譜數(shù)據(jù)樣本的截?cái)?/h3>

利用參數(shù)估計(jì)法對(duì)載荷譜進(jìn)行圖形法檢驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，低載荷區(qū)域和高載荷區(qū)域?qū)嶋H載荷分布曲線與理論載荷分布曲線發(fā)生了較大的偏離，由于高載荷區(qū)域?qū)φ麄€(gè)疲勞壽命的預(yù)測影響較大，因此采用這種方法外推的載荷譜用于疲勞損傷計(jì)算會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。為了解決這個(gè)問題，采用截?cái)鄻颖痉▉磉M(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

表3 統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)

由于在載荷譜采集時(shí)采集了大量的小載荷，絕大部分小載荷是低于疲勞極限的，并不會(huì)對(duì)疲勞損傷帶來影響，而大量的小載荷對(duì)隨機(jī)分布的參數(shù)估計(jì)造成較大影響，因此采用將小載荷去除的方法將樣本進(jìn)行截?cái)?，采用截?cái)嗪蟮臉颖具M(jìn)行隨機(jī)分布的參數(shù)估計(jì)。

圖9 原始數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)Fig.9 Original parameter estimation

圖10 截除200 MPa以下小載荷Fig.10 Delete small load under 200 MPa

圖11 截除400 MPa以下載荷Fig.11 Delete small load under 400 MPa

圖9～圖11分別為左前螺旋彈簧載荷數(shù)據(jù)在未截?cái)?、截?00 MPa以下數(shù)據(jù)和截除400 MPa以下數(shù)據(jù)后的估計(jì)參數(shù)檢驗(yàn)圖形。由圖可知，左前螺旋彈簧的載荷數(shù)據(jù)在截除200 MPa以下的小載荷后，估計(jì)參數(shù)在中高載荷部分可以實(shí)現(xiàn)很高的擬合度。

按同樣的方法對(duì)表3中數(shù)據(jù)進(jìn)行截取后的參數(shù)擬合，擬合的分布參數(shù)見表4。

表4 樣本截除后的分布參數(shù)

對(duì)樣本截除后的分布參數(shù)進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)，在中高載荷部分均可實(shí)現(xiàn)很高的擬合度。

5.2 載荷譜的外推

以石塊路工況的4個(gè)螺旋彈簧零件的載荷譜數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，對(duì)隨機(jī)載荷譜進(jìn)行外推。石塊路總長度為2.7 km，耐久試驗(yàn)總目標(biāo)里程目標(biāo)值為10 000 km。4個(gè)彈簧載荷在樣本截取后的單次試驗(yàn)循環(huán)里程的載荷樣本數(shù)和10 000 km的累計(jì)載荷循環(huán)數(shù)見表5。

表5 載荷循環(huán)計(jì)數(shù)

由分布參數(shù)的估計(jì)結(jié)果可知，幅值基本上都符合威布爾分布，但形狀參數(shù)都不等于1，用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法無法推導(dǎo)出等效載荷的概率密度函數(shù)，所以采用載荷譜分級(jí)法對(duì)二維隨機(jī)載荷進(jìn)行外推。

在采用載荷譜分級(jí)法進(jìn)行外推時(shí)，需確定一個(gè)極限載荷，工程上一般推薦取概率P=1×10-6的載荷為極限載荷。根據(jù)擬合的分布參數(shù)計(jì)算4個(gè)螺旋彈簧幅值和均值的極限載荷見表6。

表6 螺旋彈簧極限載荷

以樣本截?cái)嘞孪拗底鳛橄孪拗?，所外推得出的極限載荷作為上限值，將載荷幅值分為m個(gè)區(qū)間，將載荷均值分為n個(gè)區(qū)間，根據(jù)所擬合的分布律計(jì)算各個(gè)區(qū)間的分布概率，乘以累計(jì)循環(huán)數(shù)得到各個(gè)區(qū)間載荷循環(huán)的統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)，由此外推形成m×n二維載荷譜。左前螺旋彈簧10×8級(jí)載荷譜見表7。

5.3 累計(jì)損傷計(jì)算

5.3.1當(dāng)量載荷

表7中的數(shù)據(jù)包含了載荷幅值和載荷均值，在進(jìn)行疲勞損傷計(jì)算時(shí)，根據(jù)Goodman公式將其轉(zhuǎn)化為當(dāng)量載荷，見表8。

表7 左前螺旋彈簧外推載荷計(jì)數(shù)

表8 左前螺旋彈簧當(dāng)量載荷

5.3.2材料的S-N曲線擬合

采用分段擬合法對(duì)材料的S-N曲線進(jìn)行擬合，彈簧鋼材料為60Si2Mn,根據(jù)文獻(xiàn)[18]查得60Si2Mn抗拉強(qiáng)度為1 625 MPa，疲勞極限為660 MPa，擬合S-N曲線見圖12。

圖12 鋼制式樣S-N曲線擬合(雙對(duì)數(shù)坐標(biāo))Fig.12 S-N curve fitting of steel(double logarithm coordinate)

圖12中，S1 000(Sa=1 170 MPa處)為1 000次循環(huán)的疲勞強(qiáng)度，對(duì)于鋼材料，S1 000取0.72Su，Su為材料的極限抗拉強(qiáng)度。擬合得到高周疲勞區(qū)疲勞壽命Nfh與名義應(yīng)力幅Sa的關(guān)系式為

低周疲勞區(qū)疲勞壽命Nfl與名義應(yīng)力幅Sa的關(guān)系式為

5.3.3疲勞損傷計(jì)算

基于擬合的S-N曲線，采用10×8級(jí)載荷分級(jí)，按照Miner定則計(jì)算4個(gè)彈簧的損傷數(shù)據(jù)，見表9。計(jì)算時(shí)，小于疲勞極限的載荷數(shù)據(jù)做省略處理[13]。

表9 疲勞損傷計(jì)算

5.3.4載荷分級(jí)對(duì)損傷計(jì)算的影響

載荷的分級(jí)會(huì)影響損傷計(jì)算結(jié)果，一般來說，載荷分級(jí)越細(xì)，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，但計(jì)算量也會(huì)增加。表10為載荷均值分級(jí)為8級(jí)時(shí)的不同載荷幅值分級(jí)下的疲勞損傷計(jì)算結(jié)果比較。表11所示為載荷幅值分級(jí)為50級(jí)時(shí)不同載荷均值分級(jí)下的疲勞損傷計(jì)算結(jié)果。

對(duì)表10和表11的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)：

表10 不同載荷幅值分級(jí)的計(jì)算疲勞損傷

表11 不同載荷均值分級(jí)的計(jì)算疲勞損傷

(1)不同的載荷幅值分級(jí)對(duì)疲勞損傷的計(jì)算造成了較大的影響，當(dāng)載荷幅值小于20級(jí)時(shí)，計(jì)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，疲勞損傷結(jié)果將出現(xiàn)偏小的結(jié)果；當(dāng)載荷分級(jí)大于40級(jí)時(shí)，計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定。

(2)不同的載荷均值分級(jí)對(duì)疲勞損傷的計(jì)算結(jié)果的影響相對(duì)要小于載荷幅值的影響，當(dāng)均值分級(jí)大于16級(jí)時(shí)，計(jì)算結(jié)果基本趨于穩(wěn)定。

(3)推薦載荷幅值分級(jí)不應(yīng)小于30級(jí)，載荷均值分級(jí)在15級(jí)左右即可。

6 結(jié)論

(1)對(duì)二維隨機(jī)載荷譜的外推方法進(jìn)行了研究，對(duì)幅值服從形狀參數(shù)α=1、位置參數(shù)ε=0的威布爾分布和均值服從正態(tài)分布情況下的二維隨機(jī)載荷的當(dāng)量載荷的概率密度函數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)，給出了概率密度函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

(2)采集了一款城市SUV在試驗(yàn)場強(qiáng)化路面的載荷譜數(shù)據(jù)，提出了采用樣本截?cái)喾椒ㄟM(jìn)行隨機(jī)載荷譜參數(shù)估計(jì)的方法。參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果表明，在中高載荷段，采用該方法可以很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)所采載荷譜數(shù)據(jù)的擬合。

(3)采用載荷譜分級(jí)法對(duì)所采集的二維隨機(jī)載荷進(jìn)行外推，基于外推的載荷譜對(duì)疲勞損傷進(jìn)行了計(jì)算分析，研究了不同的載荷分級(jí)方法對(duì)疲勞損傷計(jì)算結(jié)果的影響，研究表明，當(dāng)載荷譜幅值分級(jí)小于20級(jí)時(shí)，損傷計(jì)算會(huì)有較大誤差，出現(xiàn)偏小的結(jié)果，載荷均值的分級(jí)影響小于幅值的分級(jí)影響。推薦載荷幅值分級(jí)不應(yīng)小于30級(jí)，載荷均值分級(jí)在15級(jí)左右。