王飛 張晶輝

摘 ?要： 為達(dá)到飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計要求，文中提出一種智能化的飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化改進(jìn)設(shè)計方法。該設(shè)計方法在經(jīng)典的變密度法的基礎(chǔ)上，選用RAMP模型作為材料插值模型，改進(jìn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，最終提出了對飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化的設(shè)計方法。文中使用Matlab語言對該設(shè)計方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果證明了該設(shè)計方法的可行性和正確性。

關(guān)鍵詞： 拓?fù)鋬?yōu)化; 飛機(jī)機(jī)翼; 數(shù)學(xué)模型改進(jìn); RAMP模型; 設(shè)計方法; 仿真驗(yàn)證

中圖分類號： TN03?34; TP391 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號： 1004?373X（2019）20?0119?04

Matlab?based topological optimization design of aircraft wing structure

WANG Fei， ZHANG Jinghui

（Xian Aeronautical University， Xian 710077， China）

Abstract： An intelligentized topology optimization design method of aircraft wing structure is proposed to meet the optimal design requirements of aircraft wing structure. On the basis of the classical variable density method， the RAMP model is selected in the design method as the material interpolation model， and the corresponding mathematical model is improved. Finally， the optimization design method of aircraft wing structure is proposed. The simulation verification for this design method is carried out with Matlab. ?The simulation results prove the feasibility and correctness of the design method.

Keywords： topology optimization; aircraft wing; mathematical model refinement; RAMP model; design method; simulation verification

在現(xiàn)代科技發(fā)展中，一個國家的飛機(jī)設(shè)計制造水平，既是科研與創(chuàng)造能力的重要體現(xiàn)，也是國防和軍隊(duì)現(xiàn)代化水平的重要指標(biāo)。所以，大多數(shù)國家均對飛機(jī)設(shè)計進(jìn)行著深入的研究與改進(jìn)，不斷地推出性能更加全面和先進(jìn)的飛機(jī)。機(jī)翼是飛機(jī)的關(guān)鍵部件，負(fù)責(zé)為飛機(jī)提供大部分的升力，所以機(jī)翼的結(jié)構(gòu)和質(zhì)量直接關(guān)系到飛機(jī)的多種飛行性能指標(biāo)。而如何設(shè)計出同時具有較輕的質(zhì)量、較強(qiáng)的強(qiáng)度與剛度的機(jī)翼，成為了所有飛機(jī)設(shè)計師共同面臨的問題[1?3]。

在傳統(tǒng)的飛機(jī)設(shè)計過程中，飛機(jī)設(shè)計師通常是基于經(jīng)驗(yàn)確定飛機(jī)機(jī)翼的原始設(shè)計。隨后通過具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，來驗(yàn)證該設(shè)計是否達(dá)到了相應(yīng)的性能要求，若不能達(dá)到要求，則設(shè)計師需要反復(fù)修改其設(shè)計方案，重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。由此造成設(shè)計工作繁瑣、復(fù)雜，缺少設(shè)計的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，嚴(yán)重依賴飛機(jī)設(shè)計師的判斷能力和經(jīng)驗(yàn)水平。為實(shí)現(xiàn)飛機(jī)模塊的優(yōu)化設(shè)計與快速裝配，研究者們提出了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)[4?6]，利用力學(xué)的基本原理和計算機(jī)程序語言，在計算機(jī)上建立數(shù)學(xué)分析模型，從而完成飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)布局設(shè)計和具體分析[7?8]。本文使用該設(shè)計方法，在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化算法的基礎(chǔ)上，選用變密度法和RAMP（Rational Approximation of Material Properties）材料插值模型。并通過引入約束因子對原有的優(yōu)化方法進(jìn)行必要的改進(jìn)，最終提出了智能化的飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化改進(jìn)設(shè)計方法。仿真結(jié)果表明，該設(shè)計方法性能良好。

1 ?拓?fù)鋬?yōu)化方法

在數(shù)學(xué)上，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題是一種特殊的0?1規(guī)劃問題。因?yàn)轱w機(jī)機(jī)翼是連續(xù)體結(jié)構(gòu)，所以本文研究的問題可以歸納為一個連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題，即在確定范圍內(nèi)尋找飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)布局。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法可分為均勻化法、獨(dú)立連續(xù)映射法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法、變厚度法和變密度法等。本文選用變密度法，主要是因?yàn)椋?/p>

1） 均勻化法是一種基于嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)的優(yōu)化方法，在拓?fù)鋬?yōu)化理論領(lǐng)域具有無可替代的作用。然而，該種算法也存在變量繁多和計算復(fù)雜的缺點(diǎn)，實(shí)用性較差。

2） 獨(dú)立連續(xù)映射法是一種將離散變量映射到連續(xù)變量，且求解速度較快的優(yōu)化方法。然而，該方法的計算結(jié)果數(shù)值通常均不穩(wěn)定，限制了該方法的應(yīng)用。

3） 漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法是一種通過刪除低效結(jié)構(gòu)單元來實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化的方法。因該方法回避了多變量規(guī)劃問題的求解，所以該方法具有簡單、實(shí)用的特點(diǎn)。然而，此方法的迭代次數(shù)較少，導(dǎo)致其計算效率偏低，同時該方法的收斂性仍未被證明。

4） 變厚度法是將單元的幾何尺寸設(shè)為變量的優(yōu)化方法，回避了組成微結(jié)構(gòu)的計算過程，在解決二維平面的優(yōu)化問題中具有良好的性能。然而，該優(yōu)化方法難以求解三維平面的優(yōu)化問題。

5） 變密度法充分利用了偽密度和懲罰因子的概念，與其他方法相比，其具有原理清晰和實(shí)現(xiàn)簡單等多重優(yōu)點(diǎn)，卻沒有明顯的缺點(diǎn)。所以，本文選用了該方法作為拓?fù)鋬?yōu)化的基本方法。

2 ?變密度法

變密度法是一種引入偽密度和懲罰因子概念的優(yōu)化方法。假設(shè)自然界中存在一種密度可變的材料，其彈性模量、允許用應(yīng)力與密度成非線性關(guān)系。然后建立材料插值模型，根據(jù)密度的大小確定材料的分布情況，由此便可將0?1離散取舍問題轉(zhuǎn)化為取值在[0，1]之間的連續(xù)變量優(yōu)化問題。同時使用懲罰因子衡量材料的中間密度值，從而逼近傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化模型，具體為：

3 ?RAMP模型

在確定變密度法為基本優(yōu)化方法之后，還需要選取相應(yīng)的材料插值模型。一般而言，適用于變密度法的模型主要有SIMP模型和RAMP模型兩種。其中，SIMP（Solid Isotropic Microstructures with Penalization）模型的基本原理為：假定有限元單元中的材料密度是常數(shù)，設(shè)定這一常數(shù)為設(shè)計變量。然后使用有限元法，利用材料屬性隨單元密度變化的指數(shù)函數(shù)，建立材料屬性的總體剛度矩陣及其相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。該模型的計算效率較高，且不會出現(xiàn)較大的計算誤差。其基本原理與RAMP 模型類似，但由于RAMP模型加入了一個懲罰因子，這導(dǎo)致材料的柔度函數(shù)由凸函數(shù)變成了凹函數(shù)，從而使RAMP模型具有更加優(yōu)良的穩(wěn)定性。此外，其計算結(jié)果也趨向于收斂，所以本文選用RAMP模型作為材料插值模型[9?10]。RAMP模型的基本優(yōu)化原理與SIMP模型類似，其模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

3.2 ?模型求解

為了保持模型求解的穩(wěn)定性，本文在模型的求解過程中添加了一個設(shè)計變量改變常數(shù)m，其取值范圍為[0.1，0.3]。保證設(shè)計變量的下降速度不會過快，則優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)求解迭代過程如下：

4 ?仿真與分析

為驗(yàn)證優(yōu)化模型的可行性，本文使用Matlab對該模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。在仿真中，將飛機(jī)機(jī)翼的肋板大小設(shè)為500 mm×200 mm，其單元數(shù)量n=50×20，其彈性模量[E=2.5×109]，泊松比常數(shù)[υ=0.33]，體積因子[f=0.5]，同時，假設(shè)該機(jī)翼僅受山字載荷影響。使用這些參數(shù)，本文對該模型進(jìn)行了多次仿真，得到相應(yīng)的計算結(jié)果，如圖1和圖2所示。

圖1 ?Matlab的模型優(yōu)化結(jié)果

圖2 ?優(yōu)化效果與迭代次數(shù)關(guān)系

圖1展示了本文模型的優(yōu)化結(jié)果。從圖中可以看出，其結(jié)果的孔洞布局隨機(jī)翼結(jié)構(gòu)類似，即其孔洞分布符合機(jī)翼結(jié)構(gòu)的設(shè)計要求，飛機(jī)設(shè)計師在設(shè)計過程中可以參考這些優(yōu)化結(jié)果完善飛機(jī)機(jī)翼的設(shè)計。圖2展示了該模型的優(yōu)化效果隨迭代次數(shù)的變化規(guī)律。由圖可知，本文的優(yōu)化效果隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸趨于穩(wěn)定，且具有較好的穩(wěn)定性。同時，模型的迭代次數(shù)處于可以接受的范圍內(nèi)。

5 ?結(jié) ?論

基于經(jīng)典的變密度法和RAMP材料插值模型，本文通過引入懲罰因子和約束因子，提出了一種飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的改進(jìn)設(shè)計模型及其求解方法。同時，還進(jìn)行了必要的仿真和分析，結(jié)果表明，該設(shè)計方法性能良好。然而，該模型的收斂速度仍有提升的空間，這也是下一步的主要研究方向。

參考文獻(xiàn)

[1] 何歡，朱廣榮，何成，等.基于Kriging模型的結(jié)構(gòu)耐撞性優(yōu)化[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報，2014，46（2）：297?303.

HE Huan， ZHU Guangrong， HE Cheng， et al. Structural crashworthiness optimization based on Kriging model [J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2014， 46（2）： 297?303.

[2] 常艷，劉旭，程文淵，等.飛機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計網(wǎng)格的研究與應(yīng)用[J].計算機(jī)研究與發(fā)展，2007，44（1）：44?50.

CHANG Yan， LIU Xu， CHENG Wenyuan， et al. Research and application of multi?objective optimization design grid for aircraft [J]. Computer research and development， 2007， 44（1）： 44?50.

[3] 王偉.機(jī)翼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的一種新漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[J].飛機(jī)設(shè)計，2007，27（4）：17?20.

WANG Wei. A new evolutionary structural optimization method for topological optimization of wing structures [J]. Aircraft design， 2007， 27（4）： 17?20.

[4] 杜寶江，鄒曉萍，趙正濤，等.飛機(jī)標(biāo)準(zhǔn)件快速裝配技術(shù)研究[J].電子科技，2017，30（3）：125?129.

DU Baojiang， ZOU Xiaoping， ZHAO Zhengtao， et al. Research on rapid assembly technology for aircraft standard parts [J]. Electronic science and technology， 2017， 30（3）： 125?129.

[5] 張杰，李原，張開富，等.基于關(guān)系對象Petri網(wǎng)的飛機(jī)裝配系統(tǒng)模型快速構(gòu)建方法[J].計算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2010，16（6）：1195?1201.

ZHANG Jie， LI Yuan， ZHANG Kaifu， et al. Rapid construction method of aircraft assembly system model based on relational object Petri net [J]. Computer integrated manufacturing system， 2010， 16（6）： 1195?1201.

[6] 郭進(jìn)彪.機(jī)翼彈性比例模型結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計[D].大連：大連理工大學(xué)，2007.

GUO Jinbiao. Topological optimization design of wing elastic proportional model [D]. Dalian： Dalian University of Technology， 2007.

[7] 陳華，鄧揚(yáng)晨.拓?fù)鋬?yōu)化方法在飛機(jī)結(jié)構(gòu)件概念設(shè)計中的應(yīng)用[J].航空計算技術(shù)，2006，36（5）：50?54.

CHEN Hua， DENG Yangchen. Application of topology optimization method in conceptual design of aircraft structural components [J]. Aeronautical computing technology， 2006， 36（5）： 50?54.

[8] 張安平，陳國平.基于混合人工魚群算法的結(jié)構(gòu)有限元模型修正[J].航空學(xué)報，2010，31（5）：940?945.

ZHANG Anping， CHEN Guoping. Structural finite element model updating based on hybrid artificial fish swarm algorithm [J]. Journal of aeronautics， 2010， 31（5）： 940?945.

[9] 裴穎.多工況下基于三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的機(jī)翼主傳力路徑確定技術(shù)研究[D].沈陽：沈陽航空航天大學(xué)，2011.

PEI Ying. Research on determination technology of main force transfer path of wing based on three?dimensional structural topology optimization under multi?operating conditions [D]. Shenyang： Shenyang University of Aeronautics and Astronautics， 2011.

[10] 吳亞鋒，郭軍.基于AMESim的飛機(jī)液壓系統(tǒng)仿真技術(shù)的應(yīng)用研究[J]. 沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2007，29（4）：368?371.

WU Yafeng， GUO Jun. Applied research of aircraft hydraulic system simulation technology based on AMESim [J]. Journal of Shenyang University of Technology， 2007， 29（4）： 368?371.