楊紅梅，趙克勤

（1. 山西廣播電視大學(xué) 成人教育學(xué)院，山西 太原 030027; 2. 諸暨市聯(lián)系數(shù)學(xué)研究所，浙江 諸暨 311800）

聯(lián)系數(shù)是趙克勤在集對(duì)分析理論中給出的一種新穎結(jié)構(gòu)函數(shù)，具有“數(shù)與系統(tǒng)合一”特點(diǎn)。借助聯(lián)系數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，結(jié)合系統(tǒng)的不確定性分析，使集對(duì)分析在處理不確定性問(wèn)題中得到廣泛應(yīng)用[1-41]。偏聯(lián)系數(shù)是聯(lián)系數(shù)的一種伴隨函數(shù)，也是基于集對(duì)分析的“系統(tǒng)狀態(tài)-趨勢(shì)分析法”的主要數(shù)學(xué)工具，自趙克勤于2005年提出以來(lái)[42]，已在飛機(jī)維修[43]、地鐵施工[44]、隧道施工[45]、礦山過(guò)程安全[32]、火災(zāi)預(yù)防[46]、水文水資源[47]、區(qū)域創(chuàng)新[48]、技術(shù)預(yù)警[49]、教育評(píng)估[50]、網(wǎng)絡(luò)輿情傳播[51]、建筑供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)管理[52]、衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)[53]、系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)分析[54]、隱私保護(hù)[55]等領(lǐng)域得到應(yīng)用。最近，文獻(xiàn)[56]建立一種融合偏聯(lián)系數(shù)模糊聚類(lèi)(PCFCM)算法和教與學(xué)隨機(jī)森林(TLRF)算法的雷達(dá)調(diào)制信號(hào)分選新模型(PCFCM-TLRF)，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，與其他分選模型相比，PCFCM-TLRF模型具有更高的分選準(zhǔn)確度，能夠有效地實(shí)現(xiàn)雷達(dá)調(diào)制信號(hào)的分選。

但由于文獻(xiàn)[42]所在出版物不是學(xué)術(shù)期刊，傳播上有一定局限，致使相當(dāng)一部分應(yīng)用偏聯(lián)系數(shù)的學(xué)者看不到文獻(xiàn)[42]。為此，本文對(duì)偏聯(lián)系數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用研究作一梳理，以促進(jìn)集對(duì)分析和偏聯(lián)系數(shù)在人工智能等領(lǐng)域中的進(jìn)一步應(yīng)用。

1 聯(lián)系數(shù)及其聯(lián)系分量的示性系數(shù)

由文獻(xiàn)[19]知，聯(lián)系數(shù)最早由趙克勤在解讀集合論羅素悖論時(shí)給出，至今已有不同的表達(dá)形式，其中常用的二元到五元?dú)w一化聯(lián)系數(shù)為

但式(5)給出的是式(1)～(4)中聯(lián)系分量示性系數(shù)i、j、k在[-1，1]大區(qū)間取值作均勻分布假定條件下的值域，這些在給定小區(qū)間中取何值仍要根據(jù)聯(lián)系分量本身的不同情況才能確定，這是聯(lián)系數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)，也是對(duì)聯(lián)系數(shù)開(kāi)展系統(tǒng)分析的一個(gè)難點(diǎn)，如何消去這些不確定取值的示性系數(shù)，得出聯(lián)系數(shù)系統(tǒng)在微觀層次上的演化趨勢(shì)，已成為集對(duì)分析理論研究中的一個(gè)熱點(diǎn)，后面要討論的偏聯(lián)系數(shù)算法就是針對(duì)這一難點(diǎn)作出的探索。

2 偏聯(lián)系數(shù)

2.1 基本原理

偏聯(lián)系數(shù)主要依據(jù)聯(lián)系數(shù)的假定提出：假定聯(lián)系數(shù)中當(dāng)前處在較低(負(fù)、偏負(fù)、正負(fù)不定)層次和較高(正、偏正)層次的聯(lián)系分量存在由低(負(fù)、偏負(fù)、正負(fù)不定)到高(正、偏正)的正向?qū)哟芜w移，同時(shí)又存在由高(正、偏正)到低(負(fù)、偏負(fù)、正負(fù)不定)的負(fù)向?qū)哟芜w移，這些聯(lián)系分量之間相互對(duì)立的層次及其遷移構(gòu)成聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(由聯(lián)系分量組成的結(jié)構(gòu))在微觀層次上的矛盾運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)結(jié)果決定這個(gè)聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)在微觀層次上的演化趨勢(shì)，該演化趨勢(shì)與同一聯(lián)系數(shù)的聯(lián)系分量在宏觀層次上的演化態(tài)勢(shì)可能相同，可能相異，可能相反。

顯然，以上假定符合哲學(xué)關(guān)于事物處于運(yùn)動(dòng)和變化之中的思想，也是不少文獻(xiàn)中的實(shí)例驗(yàn)證，因此也稱(chēng)為聯(lián)系數(shù)中聯(lián)系分量的微觀運(yùn)動(dòng)原理或矛盾運(yùn)動(dòng)原理，不致誤解時(shí)，簡(jiǎn)稱(chēng)聯(lián)系數(shù)微觀運(yùn)動(dòng)原理。研究表明，聯(lián)系數(shù)的微觀運(yùn)動(dòng)原理就是偏聯(lián)系數(shù)原理。

2.2 二元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)

也就是：

因此有定義1：

另一方面，根據(jù)集對(duì)分析的“成對(duì)原理”(事物或概念都是成對(duì)存在)和聯(lián)系數(shù)中聯(lián)系分量的微觀運(yùn)動(dòng)原理，可以假定當(dāng)前的原本也處在層次，是從層次朝正負(fù)不定(相對(duì)于完全確定的+1層偏負(fù))演化而來(lái)，為此用作分母，用作分子，用作為演化率，記

也就是：

因此有定義2：

根據(jù)定義3可知：

式(15)表明二元聯(lián)系數(shù)的一階全偏聯(lián)系數(shù)是二元聯(lián)系數(shù)自身，計(jì)算結(jié)果中仍然存在二元聯(lián)系數(shù)中表示不確定性的示性系數(shù) i，為此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要對(duì) i 作出解析才能確定二元聯(lián)系數(shù)所確定的演化趨勢(shì)。

2.3 三元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)

式(2)所示三元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算原理同二元聯(lián)系數(shù)，但內(nèi)容較多；為節(jié)約篇幅，以下直接給出三元聯(lián)系數(shù)中各階偏聯(lián)系數(shù)的定義(見(jiàn)定義4)。

三元聯(lián)系數(shù)的一階偏負(fù)聯(lián)系數(shù)見(jiàn)定義5。

式(17)表明三元聯(lián)系數(shù)的一階偏負(fù)聯(lián)系數(shù)是一個(gè)二元聯(lián)系數(shù)，由兩個(gè)偏負(fù)聯(lián)系數(shù)相加而成，其中的含義是假定當(dāng)前的，此前也處在b層次，是從b層次負(fù)向演化而來(lái)，所以用做分子，用偏負(fù)向演化的演化率，由于這時(shí)作為分子的處在當(dāng)前狀態(tài)，所以乘上表示當(dāng)前狀態(tài)的示性系數(shù)。

三元聯(lián)系數(shù)的一階全偏聯(lián)系數(shù)見(jiàn)定義6：

則其一階全偏聯(lián)系數(shù)是一階偏正聯(lián)系數(shù)和一階偏負(fù)聯(lián)系數(shù)的代數(shù)和，記一階全偏聯(lián)系數(shù)為，則有

顯然，定義6中的式(18)可以化簡(jiǎn)成：

如果約定三元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)就是指這個(gè)三元聯(lián)系數(shù)的全偏聯(lián)系數(shù)，則式(19)可以再簡(jiǎn)寫(xiě)成：

進(jìn)一步有定義9。

顯然，式(24)是一個(gè)沒(méi)有示性系數(shù) i 的實(shí)數(shù)，其物理意義是：當(dāng)時(shí)，表明三元聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)在微觀層次上的演化趨勢(shì)是正向趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，表明三元聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)在微觀層次上的演化趨勢(shì)是負(fù)向趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，表明三元聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)在微觀層次上的演化趨勢(shì)處在正負(fù)臨界狀態(tài)。

2.4 四元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)

式(3)所示四元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算原理同三元聯(lián)系數(shù)，但內(nèi)容增多；為節(jié)約篇幅，以下直接給出四元聯(lián)系數(shù)中各階偏聯(lián)系數(shù)的定義：

顯然，式(33)是一個(gè)沒(méi)有示性系數(shù) i 的實(shí)數(shù)，其物理意義是：當(dāng)時(shí)，表明四元聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)在微觀層次上的演化趨勢(shì)是正向趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，表明四元聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)在微觀層次上的演化趨勢(shì)是負(fù)向趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，表明四元聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)在微觀層次上的演化趨勢(shì)處在正負(fù)臨界狀態(tài)。

2.5 五元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)

式(4)所示五元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算原理同四元聯(lián)系數(shù)，但內(nèi)容增多；為節(jié)約篇幅，以下直接給出五元聯(lián)系數(shù)中各階偏聯(lián)系數(shù)的定義(見(jiàn)定義9)：

3 反偏聯(lián)系數(shù)

4 偏聯(lián)系數(shù)算法研究的若干新思路

4.1 加權(quán)偏聯(lián)系數(shù)

北京師范大學(xué)研究生易測(cè)吉在2018年第6期全國(guó)偏聯(lián)系數(shù)專(zhuān)題高級(jí)講研班上提出，聯(lián)系數(shù)中不同層次的聯(lián)系分量之間的層次遷移，也可能存在一個(gè)聯(lián)系分量在一次層次遷移中，只有其中的一部分參與層次遷移的情況。經(jīng)我們研究，基于易測(cè)吉思路形成的偏聯(lián)系數(shù)算法與第3章所定義的偏聯(lián)系數(shù)算法有不同，由這種新算法得到的偏聯(lián)系數(shù)是否可以稱(chēng)為加權(quán)偏聯(lián)系數(shù)，待進(jìn)一步研究。

4.2 基于相互作用的全偏聯(lián)系數(shù)

趙克勤在2018年第6期全國(guó)偏聯(lián)系數(shù)專(zhuān)題高級(jí)講研班上還講到聯(lián)系數(shù)中相鄰聯(lián)系分量以乘積形式表示的相互作用聯(lián)系數(shù)，基此情況，給定一個(gè)元聯(lián)系數(shù)，可以衍生出個(gè)元聯(lián)系數(shù)；元聯(lián)系數(shù)的階全偏聯(lián)系數(shù)，顯然是元聯(lián)系數(shù)的階全偏聯(lián)系數(shù)的細(xì)化，但其計(jì)算過(guò)程也較復(fù)雜，需要進(jìn)一步研究。

最近，金菊良等[58]又提出效應(yīng)全偏聯(lián)系數(shù)，并把其用于水資源評(píng)價(jià)，也需進(jìn)一步研究。

5 應(yīng)用舉例

例3 隨機(jī)抽取某廣播電視大學(xué)2016級(jí)行政管理專(zhuān)業(yè)30名學(xué)生7門(mén)課程成績(jī)(見(jiàn)表1)，試用偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算這7門(mén)成績(jī)的提高趨勢(shì)，其中為應(yīng)用寫(xiě)作，為英語(yǔ)，為管理學(xué)基礎(chǔ)，為中國(guó)特色社會(huì)主義理論，為開(kāi)放教育入學(xué)指南，為西方行政制度，為地域文化。

表1 30位學(xué)員x1～x7課程成績(jī)Table 1 30 students' x1～x7 course results

2)把上述五元聯(lián)系數(shù)歸一化處理，得：

3)按式(42)計(jì)算全偏聯(lián)系數(shù)，并對(duì)全偏聯(lián)系數(shù)的大小作出排序，得

6 討論

1)關(guān)于事物微觀運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)刻畫(huà)。眾所周知，客觀事物處于相互聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)變化之中，如何定量刻畫(huà)事物的相互聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)變化，是包括人工智能學(xué)者在內(nèi)的眾多科技人員的研究課題。文獻(xiàn)[1-60]和本文的工作表明，基于集對(duì)分析理論的聯(lián)系數(shù)及其偏聯(lián)系數(shù)是定量刻畫(huà)事物相互聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)的一個(gè)新數(shù)學(xué)工具，其理由：首先，偏聯(lián)系數(shù)把聯(lián)系數(shù)中的各個(gè)聯(lián)系分量不再看作相互獨(dú)立的量，而是假設(shè)成一定條件下相互生成的量，理論上，這種假設(shè)成立；其次，借助偏聯(lián)系數(shù)的算法，揭示聯(lián)系數(shù)中聯(lián)系分量的相互生成是在微觀層次上的一對(duì)矛盾運(yùn)動(dòng)，這也可以接受；因?yàn)檎軐W(xué)、物理學(xué)和無(wú)數(shù)事實(shí)告訴我們，矛盾普遍存在，運(yùn)動(dòng)成對(duì)進(jìn)行，“作用力與反作用力大小相等，方向相反，作用在2個(gè)不同的物體上”已是一種科學(xué)常識(shí)；再次，偏聯(lián)系數(shù)著眼于事物的運(yùn)動(dòng)在微觀層次上的定量刻畫(huà)。科學(xué)史表明，牛頓的微積分在刻畫(huà)事物宏觀層次上的運(yùn)動(dòng)已取得巨大成功,但人們對(duì)事物在微觀層次上的運(yùn)動(dòng)觀測(cè)和測(cè)量則受制于海森堡的“測(cè)不準(zhǔn)原理”；正是在這一點(diǎn)上，集對(duì)分析借助聯(lián)系數(shù)對(duì)不確定性“客觀承認(rèn)、系統(tǒng)描述、定量刻畫(huà)、具體分析”[59]，使得基于聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)算法能夠刻畫(huà)出事物在微觀層次上的矛盾運(yùn)動(dòng)。當(dāng)然，微觀與宏觀是一個(gè)相對(duì)的劃分，文獻(xiàn)[19]中指出，“在生物學(xué)中，全體是宏觀，個(gè)體就是微觀；個(gè)體是宏觀，細(xì)胞就是微觀；細(xì)胞是宏觀，基因就是微觀；在物理化學(xué)中，肉眼直接見(jiàn)到的是宏觀，要在顯微鏡下看到的是微觀；在低倍顯微鏡下看到的是宏觀，在高倍顯微鏡下看到的是微觀；在時(shí)間序列中，世紀(jì)是宏觀，年度就是微觀；年度是宏觀，月度是微觀，小時(shí)是宏觀，分鐘就是微觀；分鐘是宏觀，秒是微觀，如此等等”。

正是宏觀與微觀劃分的相對(duì)性，導(dǎo)致事物在宏觀層次上相對(duì)靜止的同時(shí)，在微觀層次上依然發(fā)生著細(xì)微尺度上的變化和運(yùn)動(dòng)，如實(shí)刻畫(huà)事物宏觀狀態(tài)的聯(lián)系數(shù)因而能借助偏聯(lián)系數(shù)的計(jì)算刻畫(huà)事物在微觀層次上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

3)關(guān)于偏聯(lián)系數(shù)的生成機(jī)制和時(shí)態(tài)。在偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算過(guò)程中，需要注意各階偏聯(lián)系數(shù)中各聯(lián)系分量的生成機(jī)制和時(shí)態(tài)。一般地說(shuō)，用分式表示的某階偏正(負(fù))聯(lián)系數(shù)中的聯(lián)系分量，其分子的狀態(tài)指過(guò)程完成時(shí)所處的狀態(tài)，分母的狀態(tài)則是過(guò)去進(jìn)行時(shí)的狀態(tài)，例如三元聯(lián)系數(shù)，其一階偏正聯(lián)系數(shù)為

用同樣的道理可以合理地處置例3中五元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算過(guò)程中遇到的“”如何運(yùn)算的問(wèn)題，例如，按式(34)，其一階偏正聯(lián)系數(shù)為學(xué)中被認(rèn)為是一個(gè)無(wú)意義的式子(零不能作除數(shù))，在高等數(shù)學(xué)中被認(rèn)為是一個(gè)不確定式，但按前面的討論可知，分子是代表的，這個(gè)是當(dāng)前狀態(tài)的，是確定的；分母中代表的也是確定的，分母中代表的雖然與代表的處在同一個(gè)層次，卻是一個(gè)在變化著的，按微積分思想，這個(gè)在變化著的0，本質(zhì)上是一個(gè)以零為極限的無(wú)窮小量，由此可知分母實(shí)質(zhì)上是。這一結(jié)果從問(wèn)題本身的角度也說(shuō)得通，因?yàn)檎f(shuō)明當(dāng)前狀態(tài)下，確實(shí)沒(méi)有出現(xiàn)60～70分之間的成績(jī)。同理，可以處置在計(jì)算

4)不難推知，第4章中有關(guān)加權(quán)偏聯(lián)系數(shù)和效應(yīng)全偏聯(lián)系數(shù)的算法，以及基于相互作用的偏聯(lián)系數(shù)算法，要比第2章中介紹的偏聯(lián)系數(shù)基本算法復(fù)雜，由此推知反加權(quán)偏聯(lián)系數(shù)、反效應(yīng)全偏聯(lián)系數(shù)、反相互作用偏聯(lián)系數(shù)的算法更復(fù)雜，限于篇幅，本文沒(méi)有展開(kāi)介紹，特此說(shuō)明。

5)偏聯(lián)系數(shù)算法是一種新的智能算法。首先，從信息利用的角度看，偏聯(lián)系數(shù)算法有效地挖掘了聯(lián)系數(shù)中聯(lián)系分量的動(dòng)態(tài)信息，這種動(dòng)態(tài)信息反映出聯(lián)系數(shù)所刻畫(huà)的研究對(duì)象的本質(zhì)。因?yàn)榭陀^事物總是處于動(dòng)態(tài)變化之中，某一時(shí)刻相對(duì)靜止的宏觀狀態(tài)與這種狀態(tài)在微觀層次上的變化趨勢(shì)共存在一個(gè)系統(tǒng)中是所有研究對(duì)象的共同屬性，借助聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算，能夠看到系統(tǒng)在宏觀靜態(tài)下的微觀動(dòng)態(tài)，顯然是一種智能；其次，從系統(tǒng)的角度看，偏聯(lián)系數(shù)算法揭示了對(duì)象系統(tǒng)線性與非線性的關(guān)系，因?yàn)閺男问缴峡矗?lián)系數(shù)中的各個(gè)聯(lián)系分量可以有序地放置在一根水平軸上，具有明顯的線性特征，但式(6)～式(42)表明，偏聯(lián)系數(shù)所展示的圖象是一幅非線性圖象；再次，從人工智能技術(shù)創(chuàng)新的角度看，基于偏聯(lián)系數(shù)的聚類(lèi)、模式識(shí)別、系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)決策與風(fēng)險(xiǎn)防控以及社交網(wǎng)絡(luò)中的隱私保護(hù)研究，也在一定意義上屬于智能技術(shù)的范疇，偏聯(lián)系數(shù)算法因而是一種新的智能算法，需要作深入系統(tǒng)研究。

6)運(yùn)動(dòng)需要能量，無(wú)論這種運(yùn)動(dòng)處在宏觀層次還是微觀層次。偏聯(lián)系數(shù)及其算法既然刻畫(huà)了聯(lián)系數(shù)中聯(lián)系分量之間的矛盾運(yùn)動(dòng)，人們自然會(huì)問(wèn)，驅(qū)使這種運(yùn)動(dòng)的能量又是什么性質(zhì)的能量？回答是“信息能”?！靶畔⒛堋笔勤w克勤在2015年7月在杭州舉辦的第3期非傳統(tǒng)安全集對(duì)分析研學(xué)班上提出的一個(gè)概念，認(rèn)為信息是物質(zhì)和能量相互作用的產(chǎn)物，信息具有能量，稱(chēng)為信息能[15,60]。聯(lián)系數(shù)是刻畫(huà)研究對(duì)象某個(gè)特定狀態(tài)的一個(gè)信息系統(tǒng)，本身蘊(yùn)含著一定的信息能，且具體蘊(yùn)含在聯(lián)系數(shù)中聯(lián)系分量所在不同層次的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中；偏聯(lián)系數(shù)及其算法在一定程度上開(kāi)發(fā)了這種“信息能”，得到的結(jié)果讓人們從系統(tǒng)的一組宏觀狀態(tài)參數(shù)中認(rèn)識(shí)和掌握這種狀態(tài)在微觀層次上的演化趨勢(shì)，從而把聯(lián)系數(shù)中的“信息能”在一定程度上轉(zhuǎn)化成“智能”；但更多關(guān)于“信息能”轉(zhuǎn)化成“智能”的問(wèn)題待深入研究。

7 結(jié)束語(yǔ)

聯(lián)系數(shù)是一種結(jié)構(gòu)函數(shù)，也是集對(duì)的特征函數(shù)，具有系統(tǒng)和數(shù)的雙重特性。偏聯(lián)系數(shù)是聯(lián)系數(shù)的一種伴隨函數(shù)，其計(jì)算過(guò)程和計(jì)算結(jié)果刻畫(huà)了聯(lián)系數(shù)中全體聯(lián)系分量在微觀層次上的相互聯(lián)系、相互制約和相互生成的矛盾運(yùn)動(dòng)，具有豐富的系統(tǒng)信息。本文從應(yīng)用的角度梳理了二元到五元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算，指出規(guī)范地計(jì)算一個(gè)聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)是得出正確結(jié)果的一個(gè)前提，文中給出的算法可以推廣到元聯(lián)系數(shù)的偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算。此外，也簡(jiǎn)要地介紹了近期有關(guān)偏聯(lián)系數(shù)的若干創(chuàng)新思路和創(chuàng)新算法。

數(shù)學(xué)是人工智能的基礎(chǔ)。偏聯(lián)系數(shù)是一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，由于人工智能面臨的實(shí)際問(wèn)題眾多，偏聯(lián)系數(shù)計(jì)算又是一種新的信息處理算法，因而有許多問(wèn)題需要作進(jìn)一步的系統(tǒng)深入研究。