李研彪 王 林 羅怡沁 徐夢(mèng)茹 鄭 航

1.浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，杭州，3100232.浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，310023

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、工作空間大、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于擬人關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)[1-4]。目前，擬人腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)有輪系機(jī)構(gòu)[5]、5R正交機(jī)構(gòu)[6]、3RRR機(jī)構(gòu)[7]、3UPU機(jī)構(gòu)[8]等，但擬人腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的原型仍較少。筆者拓展一種3UPS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并將其作為擬人腕關(guān)節(jié)的機(jī)構(gòu)原型。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中需要克服重力、外力、慣性力等負(fù)載，并將這些負(fù)載合理地分配到各個(gè)驅(qū)動(dòng)器，以實(shí)現(xiàn)動(dòng)載協(xié)調(diào)分配的優(yōu)化[9]。將不同因素作為優(yōu)化目標(biāo)，最終可以得到不同的分配方式，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量研究。徐桂玲[10]以驅(qū)動(dòng)力最小為目標(biāo)，應(yīng)用虛位移原理和加權(quán)最小二乘法，對(duì)四足并聯(lián)腿步行機(jī)器人進(jìn)行優(yōu)化；卿建喜等[11]、竇玉超等[12]通過(guò)優(yōu)化驅(qū)動(dòng)力、驅(qū)動(dòng)功率來(lái)降低瞬時(shí)負(fù)載和瞬時(shí)功率；余聯(lián)慶等[13]采用偽逆法來(lái)最小化瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)力的二范數(shù)，從而減小最大瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)力。上述并聯(lián)機(jī)構(gòu)均將驅(qū)動(dòng)力或功率作為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行動(dòng)載分配。單一考慮驅(qū)動(dòng)力、功率時(shí)，機(jī)構(gòu)可能存在運(yùn)動(dòng)速度、加速度等的突變，從而導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的不平穩(wěn)。

有學(xué)者通過(guò)規(guī)劃運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)實(shí)現(xiàn)動(dòng)載分配。如LIU等[14]考慮驅(qū)動(dòng)速度、加速度和驅(qū)動(dòng)力的限制，采用多項(xiàng)式樣條的方式來(lái)構(gòu)建3RRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而求解出最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。CHEN等[15]考慮驅(qū)動(dòng)速度、加速度和驅(qū)動(dòng)力，采用遺傳算法對(duì)6SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，使機(jī)構(gòu)的能耗最低。KHOUKHI等[16]、GUILBERT等[17]提出了一種新的并行多目標(biāo)軌跡規(guī)劃方法，使并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)低能耗的運(yùn)動(dòng)。上述優(yōu)化方法從時(shí)間、能耗角度進(jìn)行求解，但并沒(méi)有考慮機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)器的輸出情況，導(dǎo)致規(guī)劃的軌跡存在驅(qū)動(dòng)力較大、突變等問(wèn)題。

本文研究擬人腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)載協(xié)調(diào)分配問(wèn)題，采用Dijkstra算法得到機(jī)構(gòu)綜合性能最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并綜合考慮時(shí)間、能耗、平穩(wěn)性，采用遺傳算法優(yōu)化求解廣義時(shí)間，從而使機(jī)構(gòu)在時(shí)間短、能耗低和性能優(yōu)的條件下完成運(yùn)動(dòng)。

1 機(jī)構(gòu)介紹

本文研究的擬人腕關(guān)節(jié)將3-UPS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為機(jī)構(gòu)原型，如圖1所示。該機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)、3條UPS/S驅(qū)動(dòng)支鏈和球鉸支架組成。球鉸支架固定在定平臺(tái)上，通過(guò)球鉸與動(dòng)平臺(tái)連接。球鉸支架約束動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)移動(dòng)自由度，使動(dòng)平臺(tái)只有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。3條UPS/S驅(qū)動(dòng)支鏈中，電缸為機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)器(包括擺動(dòng)軸和伸縮軸)，電缸的下端通過(guò)虎克鉸連接定平臺(tái)，電缸的上端通過(guò)球鉸連接動(dòng)平臺(tái)。3個(gè)球鉸中心在半徑r1的圓上均布，3個(gè)虎克鉸中心在半徑r2的圓上均布，動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)的距離為r3。

1.定平臺(tái) 2.電缸 3.球鉸 4.動(dòng)平臺(tái)5.中央球鉸 6.球鉸支架 7.虎克鉸圖1 擬人腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的模型Fig.1 Model of humanoid wrist joint mechanism

圖2 擬人腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of humanoid wrist joint mechanism

定坐標(biāo)系{A}與動(dòng)坐標(biāo)系{B}重合時(shí)，動(dòng)平臺(tái)處于初始狀態(tài)。構(gòu)建擺動(dòng)軸局部坐標(biāo)系Uixciycizci和伸縮軸局部坐標(biāo)系Dixdiydizdi，分別記作{Ci}和{Di}，其中i=1,2,3。坐標(biāo)系{Ci}的坐標(biāo)原點(diǎn)與虎克鉸的旋轉(zhuǎn)中心Ui重合，坐標(biāo)系{Di}的坐標(biāo)原點(diǎn)與伸縮軸的質(zhì)心Di重合，且zci軸和zdi軸沿著支鏈伸縮方向，yci軸和ybi軸垂直于OSiUi平面，根據(jù)右手定則確定xci軸和xdi軸。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

2.1 位置反解

采用Z-Y-X型歐拉角描述腕關(guān)節(jié)的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)，則動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣為

(1)

cj=cosjsj=sinjj=α，β，γ

在定坐標(biāo)系{A}上，虎克鉸和球鉸的中心點(diǎn)Ui、Si的位置矢量為

(2)

ηi=5π/3-2iπ/3i=1，2，3

根據(jù)腕關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可得支鏈i驅(qū)動(dòng)方向的矢量

li=Si-Ui

(3)

則腕關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)支鏈i的長(zhǎng)度為

(4)

2.2 速度反解

(5)

則球鉸中心點(diǎn)Si的速度為

(6)

對(duì)式(6)兩側(cè)點(diǎn)乘ei，可得支鏈驅(qū)動(dòng)線(xiàn)速度

(7)

對(duì)式(6)兩側(cè)叉乘ei，可得支鏈角速度

ωi=ei×(ωh×Si)/li

(8)

式(8)的矩陣形式為

(9)

E3=diag(1,1,1)

3 動(dòng)力學(xué)建模

機(jī)構(gòu)中的連接件不會(huì)對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，故將其視為鄰近連桿的一部分。同時(shí)，為便于動(dòng)力學(xué)建模，忽略各運(yùn)動(dòng)副之間的摩擦力，將各連桿和動(dòng)平臺(tái)皆視為均質(zhì)剛體，并考慮慣性力、外力和重力對(duì)機(jī)構(gòu)的作用。

3.1 慣性力求解

采用拉格朗日方法，從能量的角度來(lái)計(jì)算慣性力。

3.1.1系統(tǒng)動(dòng)能

系統(tǒng)動(dòng)能包括擺動(dòng)軸動(dòng)能、伸縮軸動(dòng)能和動(dòng)平臺(tái)動(dòng)能。擺動(dòng)軸繞虎克鉸的旋轉(zhuǎn)中心Ui轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)能為

(10)

(11)

(12)

伸縮軸運(yùn)動(dòng)包括繞虎克鉸的旋轉(zhuǎn)中心Ui的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿伸縮方向上的移動(dòng)，故其動(dòng)能包括平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：

(13)

(14)

(15)

式中，AIbi為支鏈i上的伸縮軸相對(duì)于過(guò)質(zhì)心的坐標(biāo)系的慣量矩陣；vbi為支鏈i上球鉸中心Si的速度；mb為伸縮軸的質(zhì)量；Ib為伸縮軸繞坐標(biāo)系{Di}的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；lb為伸縮軸質(zhì)心到球鉸中心的距離；Ji為雅可比矩陣J的第i行向量；S(ei)為ei的反對(duì)稱(chēng)矩陣。

由于動(dòng)平臺(tái)始終繞中央球鉸的旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動(dòng)，故動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能為

(16)

(17)

式中，Ih為動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系{B}的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

結(jié)合式(10)、式(13)和式(16)可得系統(tǒng)動(dòng)能：

(18)

3.1.2系統(tǒng)勢(shì)能

在定坐標(biāo)系{A}中，取Oxaya面為重力零勢(shì)能面，重力方向?yàn)閦a軸的反方向。由于動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心與旋轉(zhuǎn)中心O重合，且動(dòng)平臺(tái)始終繞旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動(dòng)，因此動(dòng)平臺(tái)勢(shì)能為零。系統(tǒng)勢(shì)能包括擺動(dòng)軸勢(shì)能和伸縮軸勢(shì)能：

(19)

式中，zai、zbi分別為擺動(dòng)軸和伸縮軸質(zhì)心在定坐標(biāo)系{A}中Z軸方向的坐標(biāo)值。

3.1.3廣義慣性力

根據(jù)朗格朗日方程可得

(20)

L=E-Vψ=[γβα]T

式中，F(xiàn)I為對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)ψ的廣義慣性力。

將式(18)、式(19)代入式(20)整理可得

(21)

矩陣D為對(duì)稱(chēng)的廣義慣量矩陣，除受構(gòu)件的質(zhì)量和分布影響外，還與雅可比矩陣有關(guān)。矩陣H、C分別表示系統(tǒng)的離心力和哥氏力，均與機(jī)構(gòu)姿態(tài)有關(guān)，U為重力項(xiàng)。

3.2 外力求解

由于動(dòng)平臺(tái)始終繞旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動(dòng)，因此當(dāng)外力和外力矩作用在動(dòng)平臺(tái)上的任意位置時(shí)，均可以等效成作用在旋轉(zhuǎn)中心O上的外力和外力矩。因?yàn)樽饔迷谛D(zhuǎn)中心O的外力對(duì)驅(qū)動(dòng)力大小無(wú)影響，所以廣義外力只需要考慮作用在旋轉(zhuǎn)中心O的外力矩。動(dòng)平臺(tái)的外力分解模型如圖3所示。

圖3 動(dòng)平臺(tái)外力分解模型Fig.3 External decomposition model of moving platform

設(shè)作用在動(dòng)平臺(tái)任意位置上的外力Fg=[FM]T，則廣義外力為

Ff=M+F×d

(22)

F=(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z)M=(Mx，My，Mz)

式中，d為Fg到旋轉(zhuǎn)中心O的矢量。

3.3 動(dòng)力學(xué)模型建立

綜合考慮重力、慣性力和外力作用，建立腕關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型：

(23)

其中，τ=[τ1τ2τ3]T為3個(gè)驅(qū)動(dòng)器對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力；JT為力雅可比矩陣，將廣義坐標(biāo)系上的驅(qū)動(dòng)力轉(zhuǎn)換到各驅(qū)動(dòng)器上。

3.4 數(shù)值算例及模型驗(yàn)證

腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的參數(shù)如表1所示。承受外力F=0，M=[1 1 1]TN·m?；谏鲜鰟?dòng)力學(xué)模型，利用MATLAB軟件計(jì)算得到腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩曲線(xiàn)。為了驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性，利用動(dòng)力學(xué)仿真軟件ADAMS對(duì)腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。添加各類(lèi)約束條件和外力，使仿真與理論計(jì)算的環(huán)境保持一致。將仿真得到的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力與理論計(jì)算得到的關(guān)機(jī)驅(qū)動(dòng)力進(jìn)行比較，并分析仿真結(jié)果與理論結(jié)果之間的誤差，如圖4所示。由圖4可知，驅(qū)動(dòng)力的仿真值與理論值的誤差在1%左右，基本一致，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

表1 腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的參數(shù)

圖4 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力理論值與仿真值Fig.4 Theoretical and simulated values of joint drive force

4 腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的性能分析

4.1 動(dòng)力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

由式(21)可知，腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)影響慣性力，其中，速度、加速度直接影響機(jī)構(gòu)慣性力的大小。腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)一般做低速運(yùn)動(dòng)，因此忽略速度影響，只考慮加速度的影響，則式(21)可簡(jiǎn)化為

(24)

(25)

對(duì)式(25)求偏導(dǎo)，可得

(26)

化簡(jiǎn)式(26)可得

(27)

式中，λ為矩陣DTD的特征值。

由式(27)可知，λ隨機(jī)構(gòu)姿態(tài)變化而變化，λ越小，由加速度引起的慣性力越小。

4.2 力映射性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

將式(23)化簡(jiǎn)可得

τ=JTτF

(28)

式中，τF為廣義坐標(biāo)系上的廣義慣性力、重力和外力之和，稱(chēng)為廣義驅(qū)動(dòng)力。

由式(28)可知，通過(guò)虛功原理可將廣義坐標(biāo)系上的驅(qū)動(dòng)力映射到各驅(qū)動(dòng)器上。其中，力的雅可比矩陣JT代表該映射關(guān)系。

由于rankJ=3，故力雅可比矩陣JT可以奇異值分解，存在正交陣U∈R3×3和V∈R3×3使

JT=UΛV=Udiag(σ1，σ2，σ3)V

(29)

式中，σi(i=1，2，3)為力雅可比矩陣JT的奇異值且σ1≥σ2≥σ3。

設(shè)廣義驅(qū)動(dòng)力τF為單位向量，可得

τTU(ΛΛT)-1UTτ=1

(30)

當(dāng)廣義驅(qū)動(dòng)力τF為單位矩陣時(shí)，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩分布在橢球上；σi越大，廣義驅(qū)動(dòng)力轉(zhuǎn)換為驅(qū)動(dòng)力的效率越高，因此將k3(k3=σ3)作為力傳遞性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，k3越大，力傳遞性能越好。

σ1=σ2=σ3時(shí)，驅(qū)動(dòng)力分布在空間球上，驅(qū)動(dòng)力之間的差值最小，因此將k4(k4=σ3/σ1且0

5 動(dòng)載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化

本文考慮時(shí)間、能耗、性能，依據(jù)性能指標(biāo)得到性能最優(yōu)的軌跡，通過(guò)遺傳算法優(yōu)化求解最優(yōu)廣義時(shí)間，從而使腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)在能耗最低、時(shí)間最短、性能最好的情況下完成運(yùn)動(dòng)。

5.1 綜合性能最優(yōu)路徑

綜合考慮動(dòng)力學(xué)性能(動(dòng)力學(xué)傳遞性能和動(dòng)力學(xué)傳遞均衡性能)和力映射性能(力傳遞性能和力傳遞均衡性能)因素，采用加權(quán)求和法，將上述多性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成綜合性能指標(biāo)。

求解出各性能指標(biāo)在全域范圍內(nèi)的最大值kjmax和最小值kjmin(j=1，2，3，4)，則不同姿態(tài)下的各性能指標(biāo)可表示為

(31)

式中，Kj為性能指標(biāo)在全域變換范圍內(nèi)的比值。

Ki越大，機(jī)構(gòu)性能越好。

綜合考慮上述4個(gè)性能指標(biāo)的影響，構(gòu)造綜合性能指標(biāo)函數(shù)

(32)

式中，δj為目標(biāo)比重系數(shù)。

δj越大，該衡量指標(biāo)越重要，本文中的δj=1，各性能指標(biāo)的比重相同。K越小，機(jī)構(gòu)的綜合性能越好。

設(shè)腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)姿態(tài)起點(diǎn)ψ0=[γ0β0α0]T，姿態(tài)終點(diǎn)ψt=[γtβtαt]T。腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)從起點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)有許多不同的路徑。將起點(diǎn)至終點(diǎn)的區(qū)域進(jìn)行離散，以不同的離散點(diǎn)組合來(lái)表示不同的路徑，則離散步長(zhǎng)為

(33)

式中，ΔSγ、ΔSβ、ΔSα分別為歐拉坐標(biāo)γ、β、α的離散步長(zhǎng)；n1、n2、n2為離散的步數(shù)。

將每一個(gè)離散點(diǎn)根據(jù)其位置關(guān)系進(jìn)行標(biāo)記，如圖5所示。由圖5可知，每一個(gè)單元存在單元起點(diǎn)和單元終點(diǎn)。根據(jù)單元標(biāo)記規(guī)則，可以構(gòu)建從起點(diǎn)至終點(diǎn)的路徑網(wǎng)格。網(wǎng)格內(nèi)的每個(gè)離散點(diǎn)存在一個(gè)表示某種姿態(tài)下機(jī)構(gòu)的綜合性能指標(biāo)K，將K定義為該離散點(diǎn)的權(quán)值。將路徑上所有離散點(diǎn)的綜合性能指標(biāo)K的和，表示該條路徑的綜合性能。路徑綜合性能指標(biāo)越小，該路徑的綜合性能越好。

圖5 離散單元標(biāo)記規(guī)則Fig.5 Discrete cell marking rule

離散單元的路徑規(guī)則如圖6所示。離散點(diǎn)從單元起點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)單元終點(diǎn)，且不存在返回的現(xiàn)象。從起點(diǎn)到終點(diǎn)的離散點(diǎn)構(gòu)成了一條路徑。路徑上的離散點(diǎn)越少，該路徑越短。

圖6 離散單元路徑規(guī)則Fig.6 Discrete cell path rule

給定姿態(tài)起點(diǎn)ψ0=(0, 0, 0)，姿態(tài)終點(diǎn)ψt=(π/18, π/18, 5π/36)。以路徑最短、綜合性能最好為目標(biāo)，采用Dijkstra算法優(yōu)化求解出從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最優(yōu)路徑，算法流程如圖7所示。

圖7 Dijkstra算法流程圖Fig.7 Dijkstra algorithm flow chart

由于規(guī)劃出的路徑為一系列離散點(diǎn)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)光滑軌跡運(yùn)動(dòng)，故基于上述性能最優(yōu)路徑的結(jié)果，采用B樣條曲線(xiàn)擬合方法構(gòu)造動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡，即可得從起點(diǎn)至終點(diǎn)的最優(yōu)軌跡，并利用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)描述，則最優(yōu)軌跡方程如下

(34)

式中，u為路徑中離散點(diǎn)的序號(hào)，u=0，1，…，8。

腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的最優(yōu)路徑和最優(yōu)軌跡如圖8所示，最優(yōu)軌跡沿著最優(yōu)路徑分布，且避免了最優(yōu)路徑不光滑的缺點(diǎn)，確保了運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性。

圖8 擬合軌跡Fig.8 Fitting trace

5.2 約束條件及目標(biāo)函數(shù)建立

由最優(yōu)軌跡方程(式(34))可知，動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡與參數(shù)u有關(guān)。建立參數(shù)u與時(shí)間t的函數(shù)，確定腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的速度特性。采用多項(xiàng)式方程建立的時(shí)間函數(shù)為

u(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4

(35)

式中，a0～a4為時(shí)間函數(shù)的系數(shù)。

5.2.1約束條件

已知腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置，且起點(diǎn)和終點(diǎn)的速度為零，故建立時(shí)間約束方程

(36)

式中，T為運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

同時(shí)，驅(qū)動(dòng)器輸出的速度和力存在最大值，故建立驅(qū)動(dòng)器輸出約束方程

(37)

5.2.2目標(biāo)函數(shù)

設(shè)腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)在時(shí)間T內(nèi)完成運(yùn)動(dòng)。腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能存在時(shí)間很短、能耗很大或關(guān)節(jié)力矩變化很大的情況，因此，需要考慮能耗和關(guān)節(jié)力矩。建立能耗優(yōu)化目標(biāo)和力矩波動(dòng)優(yōu)化目標(biāo)：

(38)

(39)

5.3 廣義時(shí)間優(yōu)化

考慮時(shí)間、能耗、穩(wěn)定性，結(jié)合式(38)、式(39)，建立廣義時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

(40)

其中，λ1、λ2為目標(biāo)值所占的比重，λ1=λ2=0.5，將能耗和力矩波動(dòng)視為同等重要。

優(yōu)化過(guò)程如下：首先根據(jù)式(34)、式(35)計(jì)算出動(dòng)平臺(tái)的角位移和角速度，其次根據(jù)腕關(guān)節(jié)位置、速度反解方程求解關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的輸出值，然后根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型得到關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，最后通過(guò)式(40)得到廣義時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。采用遺傳算法對(duì)式(35)時(shí)間函數(shù)中的系數(shù)ai和運(yùn)動(dòng)時(shí)間T進(jìn)行優(yōu)化求解，如圖9所示，得到最小的廣義時(shí)間f。

圖9 廣義時(shí)間遺傳算法流程圖Fig.9 Genetic algorithm flowchart of generalized time

廣義時(shí)間的優(yōu)化結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，運(yùn)算結(jié)果收斂，得到優(yōu)化結(jié)果如下：時(shí)間T=1.4 s，時(shí)間函數(shù)系數(shù)a0=a1=0，a2=16.05，a3=-11.26，a4=1.94。

圖10 廣義時(shí)間優(yōu)化結(jié)果Fig.10 Generalized time optimization result

5.4 優(yōu)化結(jié)果分析

將上述得到的優(yōu)化結(jié)果代入式(35)得到時(shí)間函數(shù)，并根據(jù)腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的位置反解、速度反解和動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)MATLAB計(jì)算得到優(yōu)化后的驅(qū)動(dòng)力、驅(qū)動(dòng)位移和驅(qū)動(dòng)速度。

如圖11～圖13所示，腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力、驅(qū)動(dòng)位移和驅(qū)動(dòng)速度的曲線(xiàn)均光滑，不存在突變，說(shuō)明優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)。在起止時(shí)刻，驅(qū)動(dòng)速度均為零，符合實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀況。3個(gè)驅(qū)動(dòng)力和驅(qū)動(dòng)速度均處于同一數(shù)量級(jí)，數(shù)值大小接近，說(shuō)明該優(yōu)化方法能夠把機(jī)構(gòu)慣性力和外力合理地分配到3個(gè)驅(qū)動(dòng)器上。

圖11 腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力Fig.11 Drive force of wrist joint mechanism

圖12 腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)位移Fig.12 Drive displacement of the wrist joint mechanism

圖13 腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)速度Fig.13 Drive velocity of the wrist joint mechanism

定義各驅(qū)動(dòng)器輸出功率的絕對(duì)值在時(shí)間軸上的積分為能耗。在相同時(shí)間下，腕關(guān)節(jié)沿著不同的軌跡完成運(yùn)動(dòng)，分別計(jì)算腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)優(yōu)化前后的能耗，如圖14所示。優(yōu)化后，腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的能耗降幅為39.53%，驗(yàn)證了該動(dòng)載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化方法的可行性。

圖14 耗能對(duì)比圖Fig.14 Comparison diagram of energy consumption

6 結(jié)論

(1)考慮外力、重力和慣性力的作用，結(jié)合拉格朗日方法和虛功原理，建立了腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。利用ADMAS進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，理論數(shù)值與仿真數(shù)值的誤差在1%左右，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

(2)基于動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)了腕關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)和力映射性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用加權(quán)求和法得到了綜合性能指標(biāo)，利用Dijkstra算法得到了綜合性能最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

(3)基于綜合性能最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌跡，考慮時(shí)間、能耗、平穩(wěn)性，建立了廣義時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并采用遺傳算法求解得到最優(yōu)廣義時(shí)間。數(shù)值算例表明：優(yōu)化后機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)能耗降低了39.53%，驗(yàn)證了該優(yōu)化方法的可行性。