張志田， 陳添樂(lè)， 吳長(zhǎng)青

(湖南大學(xué) 風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心，長(zhǎng)沙 410082)

橋梁抖振分析有時(shí)域和頻域兩種算法，頻域分析具有簡(jiǎn)單快速的優(yōu)點(diǎn)，但只適用于線性問(wèn)題，只能得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性。時(shí)域分析能考慮各種非線性影響，并能得到抖振位移時(shí)程，但不便于氣動(dòng)導(dǎo)納的靈活應(yīng)用。抖振時(shí)域分析分為以下三個(gè)環(huán)節(jié)：橋梁脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬、抖振力的表達(dá)、抖振位移計(jì)算。脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬一般采用諧波合成法，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者已對(duì)此做過(guò)詳盡研究[1-4]。抖振力的關(guān)鍵問(wèn)題是氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)的確定。自20世紀(jì)60年代Davenport將Sears函數(shù)和Liepmann的機(jī)翼抖振理論應(yīng)用于橋梁抖振分析至今[5-6]，橋梁顫抖振計(jì)算通常采用Davenport準(zhǔn)定常模型、氣動(dòng)導(dǎo)納、以及Scanlan建議自激力表達(dá)式[7]。對(duì)于氣動(dòng)導(dǎo)納，文獻(xiàn)中通常要么取值為1(即不考慮抖振力的1非定常特性)，要么取Sears函數(shù)或者試驗(yàn)導(dǎo)納[8-11]。但是三種氣動(dòng)導(dǎo)納計(jì)算結(jié)果到底有多大的差別是一個(gè)值得深入研究的問(wèn)題。在目前抖振時(shí)域計(jì)算中，一般是采用等效風(fēng)譜法進(jìn)行抖振力的計(jì)算[12]，即把氣動(dòng)導(dǎo)納乘以風(fēng)譜看成一個(gè)等效風(fēng)譜，再用得到的等效風(fēng)譜進(jìn)行脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬。等效風(fēng)譜法是通過(guò)修正風(fēng)譜來(lái)間接考慮抖振力的非定常性，當(dāng)導(dǎo)納為試驗(yàn)值時(shí)，需要分別對(duì)升力、阻力、扭矩的等效風(fēng)速時(shí)程進(jìn)行模擬。故本文放棄采用等效風(fēng)譜法，而是從氣動(dòng)力演變特性出發(fā)采用Küssner函數(shù)進(jìn)行抖振力模擬。并在此基礎(chǔ)上分析不同氣動(dòng)導(dǎo)納模型引起的抖振響應(yīng)差別。

1 非定常抖振力的卷積表達(dá)

以水平速度U飛行的斷面，穿過(guò)幅值為w0的豎向階躍陣風(fēng)時(shí)，其氣動(dòng)力隨時(shí)間演變的公式為[13]

(1)

(2)

式中：a0,ai,di為常數(shù)。

文獻(xiàn)[14-15]中指出式(2)中的a0項(xiàng)應(yīng)該等于1，本文抖振力表達(dá)式最終是要和Scanlan建議抖振力模型進(jìn)行功率譜等效，故不詳細(xì)討論其所代表的物理意義。

在線性疊加原理滿足的前提下，任意分布的豎向脈動(dòng)風(fēng)w(t)引起的非定常氣動(dòng)升力可表示為

(3)

式中：ψ′(σ)為Küssner函數(shù)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)。

式(3)中只考慮了豎向脈動(dòng)風(fēng)的影響，在橋梁風(fēng)工程中，同時(shí)考慮水平向和豎向脈動(dòng)風(fēng)所引起的非定常氣動(dòng)力為

(4)

(5)

(6)

式中：C′L,C′D,C′M分別為升力系數(shù)、阻力系數(shù)和升力矩系數(shù)對(duì)攻角的導(dǎo)數(shù)； 函數(shù)ψFx(F=L,D,M;x=u,w)表示x方向的單位數(shù)值脈動(dòng)風(fēng)引起的每延米F氣動(dòng)力的瞬態(tài)演變，都為Küssner類型的函數(shù)；ψ′Fx(F=L,D,M;x=u,w)為Küssner函數(shù)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；ψFx表達(dá)式如下

(7)

2 Küssner函數(shù)的擬合

斷面氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)已知的情況下，引入氣動(dòng)導(dǎo)納修正的Scanlan建議抖振力模型如下[16-17]

(8)

(9)

(10)

式中：CL,CD,CM分別為升力系數(shù)、阻力系數(shù)和升力矩系數(shù)；χLu,χLw,χDu,χDw,χMu,χMw為6個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)納。

根據(jù)式(8)～(10)，求得抖振力功率譜如下

(11)

(12)

(13)

式中：SL,SD,SM分別為升力、阻力、升力矩的功率譜；Suu,Sww分別為水平和豎向的脈動(dòng)風(fēng)功率譜；Suw,Swu為脈動(dòng)風(fēng)互功率譜；式中*號(hào)表示求復(fù)共軛。

同樣，對(duì)本文中采用Küssner函數(shù)表示的抖振力表達(dá)式(4)～(6)求得抖振力功率譜如下

(14)

(15)

(16)

式中的-號(hào)表示求傅里葉變換。

根據(jù)兩種抖振力表達(dá)式功率譜相等的原則，忽略互功率譜的影響，分別比較式(11)與式(14)，式(12)與式(15)，式(13)與式(16)，可以得到如下關(guān)系

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中：ω位脈動(dòng)風(fēng)的圓頻率。

將式(23)代入式(17)～(22)中得到各Küssner函數(shù)參數(shù)與氣動(dòng)導(dǎo)納的關(guān)系后，可根據(jù)已知的氣動(dòng)導(dǎo)納確定Küssner函數(shù)參數(shù)。這是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，可以通過(guò)以下六個(gè)函數(shù)的極小值問(wèn)題求得所需結(jié)果

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

式中： 求和符號(hào)上標(biāo)n為氣動(dòng)導(dǎo)納試驗(yàn)點(diǎn)(不同的折算頻率K)的數(shù)目。

根據(jù)式(24)～(29)就能識(shí)別得到與水平以及豎向脈動(dòng)風(fēng)相關(guān)的升力、阻力和升力矩6個(gè)Küssner函數(shù)的待定參數(shù)，需要說(shuō)明的是參數(shù)擬合過(guò)程中可能存在多個(gè)折算頻率點(diǎn)，即存在很多擬合點(diǎn)，為此作者使用遺傳算法進(jìn)行參數(shù)擬合[18]，在設(shè)定初始種群、適應(yīng)度函數(shù)以及控制參數(shù)后，遺傳算法會(huì)對(duì)每一次進(jìn)化后的種群進(jìn)行計(jì)算，使式(24)～式(29)的值最小的一些個(gè)體稱為優(yōu)異個(gè)體，下一次進(jìn)化時(shí)優(yōu)異個(gè)體會(huì)得以保留，其它個(gè)體在會(huì)淘汰或者變異，將進(jìn)化后的種群代入式(24)～式(29)重新計(jì)算。隨著種群的進(jìn)化，最終優(yōu)異個(gè)體會(huì)越來(lái)越多，直至產(chǎn)生滿足設(shè)定條件的個(gè)體。

3 抖振時(shí)域分析

求出升力、阻力和升力矩的Küssner函數(shù)表達(dá)式后，可采用式(4)～式(6)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力有限元抖振分析。但由于式(4)～式(6)中存在與脈動(dòng)風(fēng)速相關(guān)的時(shí)間積分，直接使用其求解抖振力的計(jì)算效率非常低。參考文獻(xiàn)[14-15]的時(shí)域自激力遞推表達(dá)式可得到抖振力的遞推表達(dá)如下：

首先，將抖振力分解成脈動(dòng)風(fēng)u、v兩部分的貢獻(xiàn)之和

(30)

(31)

(32)

式中：Fbu(t),Fbw(t)(F=L,D,M)分別為順風(fēng)向和豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速引起的抖振力(升力、阻力和升力矩)。以式(30)中順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速引起的抖振升力Lbu(t)為例進(jìn)行如下推導(dǎo)，對(duì)積分項(xiàng)中進(jìn)行變量代換后得

(33)

式中：

(34)

由式(33)可知，對(duì)于任意時(shí)刻的抖振力，第一項(xiàng)只與當(dāng)前時(shí)刻的風(fēng)速有關(guān)，而第二項(xiàng)則為時(shí)間積分項(xiàng)，與整個(gè)時(shí)間歷程風(fēng)速有關(guān)，故根據(jù)t時(shí)刻的抖振力表達(dá)式遞推得到t+Δt時(shí)刻的抖振力，只需要求式(34)的遞推表達(dá)即可，該式的遞推表達(dá)如下

(35)

同理可得到其它幾個(gè)抖振力的遞推表達(dá)式

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

4 數(shù)值算例

以某特大懸索橋的初步設(shè)計(jì)方案為例，計(jì)算其在0°風(fēng)攻角下的抖振位移響應(yīng)。該橋?yàn)橹骺?20 m的單跨扁平鋼箱梁懸索橋，主塔采用混凝土澆筑，共設(shè)75對(duì)吊桿，橋址位于我國(guó)西南部山區(qū)峽谷，受脈動(dòng)風(fēng)影響較大。該橋立面圖和箱梁斷面，如圖1與圖2所示。

圖1 懸索橋立面圖(cm)Fig.1 The elevation of the suspension bridge(cm)

圖2 橋梁箱梁斷面(cm)Fig.2 Section of the box girder(cm)

4.1 三分力系數(shù)和氣動(dòng)導(dǎo)納試驗(yàn)值

采用幾何縮尺比為1∶50的主梁節(jié)段模型進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)。模型的長(zhǎng)度為1.54 m，寬度為0.64 m。模型本身具有足夠大的剛度，測(cè)力試驗(yàn)以及氣動(dòng)導(dǎo)納試驗(yàn)中無(wú)出現(xiàn)明顯變形。三分力試驗(yàn)采用高頻測(cè)力天平測(cè)得試驗(yàn)風(fēng)速下不同風(fēng)攻角的靜力三分力，通過(guò)計(jì)算得到該斷面的三分力系數(shù)以及三分力系數(shù)對(duì)攻角的導(dǎo)數(shù)。氣動(dòng)導(dǎo)納測(cè)試時(shí)采用水平格柵產(chǎn)生被動(dòng)紊流。三分力試驗(yàn)以及氣動(dòng)導(dǎo)納試驗(yàn)的風(fēng)洞布置分別見(jiàn)圖3(a)與3(b)。通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)測(cè)得0°攻角時(shí)的三分力系數(shù)為CL=-0.190 7，CD=0.029，CM=0.008 5，三分力系數(shù)對(duì)攻角的導(dǎo)數(shù)為C′L=3.095 1，C′D=0.280 2，C′M=1.057 1。

圖3 風(fēng)洞試驗(yàn)Fig.3 Wind tunnel tests

氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的識(shí)別方法主要有等效導(dǎo)納法、交叉譜法以及自功率譜-交叉譜總體最小二乘法。等效導(dǎo)納法是基于抖振力功率譜識(shí)別導(dǎo)納，需要假設(shè)順風(fēng)向?qū)Ъ{與豎風(fēng)向?qū)Ъ{相等[19]；交叉譜法通過(guò)求氣動(dòng)力和脈動(dòng)風(fēng)速的交叉譜來(lái)識(shí)別氣動(dòng)導(dǎo)納[20]，自功率譜-交叉譜總體最小二乘法是結(jié)合上述兩種方法，采用最小二乘法識(shí)別氣動(dòng)導(dǎo)納[21]。此外，對(duì)于存在分享流的鈍體橋梁斷面，氣動(dòng)導(dǎo)納并非僅僅由氣動(dòng)外形以及頻率決定，同時(shí)也受來(lái)流的湍流特性的影響，即不同的風(fēng)場(chǎng)特性會(huì)產(chǎn)生不同的氣動(dòng)導(dǎo)納[22]。本文關(guān)注的側(cè)重點(diǎn)不是氣動(dòng)導(dǎo)納的識(shí)別方法以及不同識(shí)別方法所帶來(lái)的差異，因此這里采用最簡(jiǎn)單也最穩(wěn)定的等效導(dǎo)納法識(shí)別法。等效導(dǎo)納法假設(shè)χL=χLu=χLw,χD=χDu=χDw,χM=χMu=χMw[19], 將其代入式(11)～式(13)中，忽略互功率譜的影響可得

(41)

(42)

(43)

圖4 等效氣動(dòng)導(dǎo)納試驗(yàn)值Fig.4 The test value of equivalent aerodynamic admittance

4.2 Küssner函數(shù)參數(shù)擬合

在Küssner函數(shù)的擬合過(guò)程中，本例中指數(shù)項(xiàng)取三項(xiàng)，需要擬合的參數(shù)為7個(gè)，采用遺傳算法進(jìn)行參數(shù)擬合時(shí)種群規(guī)模取為5 000，每一代的精英數(shù)目為300，交叉概率取0.8，變異率取0.1，停止條件為容許誤差小于0.000 1。表1和表2分別列出了Sears函數(shù)和試驗(yàn)氣動(dòng)導(dǎo)納的各Küssner函數(shù)參數(shù)擬合值。

表1 Sears函數(shù)的Küssner函數(shù)參數(shù)擬合值Tab.1 Fitted value of Sears function of Küssner function

表2 試驗(yàn)導(dǎo)納的Küssner函數(shù)參數(shù)擬合值Tab.2 Fitted value of test admittance of Küssner function

將擬合得到的Küssner函數(shù)代入式(17)～式(22)中，可以反算出氣動(dòng)導(dǎo)納擬合值，圖5給出了Sears函數(shù)擬合值與Sears函數(shù)的比較，圖6給出了試驗(yàn)氣動(dòng)導(dǎo)納擬合值與試驗(yàn)值的比較。從圖5和圖6可以看出，不論是Sears函數(shù)還是試驗(yàn)氣動(dòng)導(dǎo)納，反算得到的氣動(dòng)導(dǎo)納與目標(biāo)值都具有很高的吻合度。因此，本文的抖振力模型與引入氣動(dòng)導(dǎo)納修正的Scanlan建議模型兩者的抖振力功率譜是等效的。

圖5 Sears函數(shù)擬合值與Sears函數(shù)的比較Fig.5 Comparison of fitted Sears with Sears function

圖6 試驗(yàn)導(dǎo)納擬合值與試驗(yàn)導(dǎo)納的比較Fig.6 Comparison of fitted equivalent aerodynamic admittance with test values

4.3 脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬

本文的風(fēng)場(chǎng)模擬中，順風(fēng)向和豎風(fēng)向風(fēng)譜分別采用Kaimal譜、Panofsky譜[23-24]，風(fēng)場(chǎng)模擬采用諧波合成法，具體過(guò)程已有學(xué)者做過(guò)詳細(xì)研究，在此不再贅述。需要說(shuō)明的是本文主要是研究不同氣動(dòng)導(dǎo)納對(duì)橋梁抖振響應(yīng)的影響，因此在合成功率譜密度矩陣時(shí)，無(wú)需討論衰減因子λ取值對(duì)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的影響，本文中取值為λ=7，且風(fēng)速時(shí)程取為600 s。表3給出了風(fēng)場(chǎng)模擬的主要參數(shù)。圖7、圖8分別為跨中處模擬的順風(fēng)向和豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，圖9、圖10分別為對(duì)應(yīng)的脈動(dòng)風(fēng)速功率譜和目標(biāo)功率譜的比較。

表3 風(fēng)場(chǎng)模擬的主要參數(shù)Tab.3 Main parameters of the wind field simulation

圖7 跨中處順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程Fig.7 Time history of fluctuating wind velocity of the mid-span section

圖8 跨中處豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程Fig.8 Time history of vertical wind velocity of the mid-span section

圖9 跨中處順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)功率譜密度Fig.9 The power spectral density of fluctuating wind of the mid-span section

4.4 抖振力計(jì)算

“4.3”中已經(jīng)說(shuō)明本文主要目的是研究不同氣動(dòng)導(dǎo)納對(duì)橋梁抖振響應(yīng)的影響，因此在動(dòng)力有限元計(jì)算時(shí)，荷載只考慮了抖振力。

圖10 跨中處豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)功率譜密度Fig.10 The power spectral density of vertical wind of the mid-span section

對(duì)氣動(dòng)導(dǎo)納等于1即不考慮氣動(dòng)導(dǎo)納的情況，直接采用準(zhǔn)定常模型計(jì)算得到抖振力時(shí)程；對(duì)于考慮氣動(dòng)導(dǎo)納修正的情況，采用本文推導(dǎo)的抖振力遞推表達(dá)式計(jì)算。將Sears函數(shù)的Küssner函數(shù)參數(shù)擬合值與模擬脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程帶入本文抖振力遞推表達(dá)式中，得到考慮Sears函數(shù)修正的抖振力時(shí)程；同樣，將試驗(yàn)氣動(dòng)導(dǎo)納的Küssner函數(shù)參數(shù)擬合值與模擬脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程帶入遞推表達(dá)式中，得到考慮試驗(yàn)氣動(dòng)導(dǎo)納修正的抖振力時(shí)程。至此，已獲得考慮不同氣動(dòng)導(dǎo)納影響抖振計(jì)算所需的三組抖振力?？缰刑幉煌瑲鈩?dòng)導(dǎo)納計(jì)算得到的抖振力時(shí)程，如圖11所示。

4.5 本文küssner表達(dá)式抖振位移計(jì)算結(jié)果與分析

圖12為跨中處不同氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)計(jì)算得到的抖振位移時(shí)程，根據(jù)圖10可知，不同氣動(dòng)導(dǎo)納計(jì)算得到的抖振位移響應(yīng)時(shí)程在變化趨勢(shì)上大體一致，但是響應(yīng)大小有明顯差別。對(duì)于本例中3種抖振位移響應(yīng)，考慮氣動(dòng)導(dǎo)納修正的抖振位移遠(yuǎn)小于不考慮導(dǎo)納修正的位移；導(dǎo)納為1時(shí)計(jì)算得到的抖振位移最大，試驗(yàn)氣動(dòng)導(dǎo)納修正計(jì)算得到的抖振位移最小，Sears函數(shù)修正的結(jié)果位于導(dǎo)納為1和試驗(yàn)導(dǎo)納計(jì)算結(jié)果之間。

圖13更清楚地反應(yīng)了不同氣動(dòng)導(dǎo)納引起的抖振位移的差別。①對(duì)比導(dǎo)納為Sears函數(shù)和導(dǎo)納為1時(shí)的情況，豎向位移均方根前者比后者小了32.4%；扭轉(zhuǎn)位移均方根前者比后者小了45.2%；側(cè)向位移均方根前者比后者小了50.1%。②對(duì)比導(dǎo)納為試驗(yàn)值和導(dǎo)納為1時(shí)的情況，豎向位移均方根前者比后者小了35.2%；扭轉(zhuǎn)位移均方根前者比后者小了66.3%；側(cè)向位移均方根前者比后者小了65.8%。③本例中三種抖振位移響應(yīng)均方根，考慮氣動(dòng)導(dǎo)納修正的結(jié)果均小于氣動(dòng)導(dǎo)納為1的情況，且氣動(dòng)導(dǎo)納為試驗(yàn)值的結(jié)果最小。④Sears函數(shù)對(duì)不同的抖振位移響應(yīng)均方根影響程度不一樣，Sears函數(shù)對(duì)側(cè)向位移響應(yīng)的均方根影響最大，對(duì)豎向位移響應(yīng)的均方根影響最小。⑤試驗(yàn)導(dǎo)納對(duì)側(cè)向和扭轉(zhuǎn)位移響應(yīng)的均方根影響較大，對(duì)豎向位移響應(yīng)的均方根影響最小。

圖11 跨中處的抖振力時(shí)程Fig.11 Time history of buffeting force of the mid-span section

圖12 跨中處的抖振位移時(shí)程(küssner表達(dá))Fig.12 Time history of buffeting response of the mid-span section(by küssner expression)

圖13 跨中處的抖振響應(yīng)均方根Fig.13 RMS of buffeting response of the mid-span section

圖14為跨中處不同氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)計(jì)算得到的位移功率譜密度，本算例中豎向位移功率譜第一個(gè)峰值橫坐標(biāo)為0.171 8，與結(jié)構(gòu)一階正對(duì)稱豎彎自振頻率(0.174 5)相對(duì)應(yīng)，扭轉(zhuǎn)位移功率譜第一個(gè)峰值橫坐標(biāo)為0.403 3，與結(jié)構(gòu)一階正對(duì)稱扭轉(zhuǎn)自振頻率(0.401 9)相對(duì)應(yīng)，側(cè)向位移功率譜第一個(gè)峰值橫坐標(biāo)為0.083，與結(jié)構(gòu)一階正對(duì)稱側(cè)彎自振頻率(0.082 9)相對(duì)應(yīng)。位移功率譜密度最大值均出現(xiàn)在第一個(gè)峰值處。

圖14 跨中處抖振位移功率譜密度Fig.14 The power spectral density of buffeting response of the mid-span section

從圖14可以發(fā)現(xiàn)： ①抖振位移響應(yīng)主要是受若干階低頻模態(tài)的控制，尤其是受基頻的影響最大。②在主要頻率范圍內(nèi)，導(dǎo)納函數(shù)為1時(shí)位移響應(yīng)功率譜密度最大，Sears其次，試驗(yàn)導(dǎo)納的位移功率譜密度最小。這與抖振位移時(shí)程的結(jié)論是一致的。

4.6 本文küssner表達(dá)式法與等效風(fēng)譜法的比較

通常采用等效風(fēng)譜法進(jìn)行考慮氣動(dòng)導(dǎo)納修正的抖振時(shí)程計(jì)算，即把氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)乘以風(fēng)譜看成等效風(fēng)譜，然后用等效風(fēng)譜進(jìn)行脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬。本小節(jié)中首先得到考慮sears函數(shù)和試驗(yàn)導(dǎo)納函數(shù)修正的等效風(fēng)譜，再采用和“4.3”節(jié)中相同的參數(shù)進(jìn)行脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬。對(duì)于試驗(yàn)氣動(dòng)導(dǎo)納修正的情況，由于升力、扭矩和阻力的導(dǎo)納函數(shù)不同，需分別模擬升力、扭矩、阻力的順風(fēng)向和豎風(fēng)向共6組脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程。

圖15為等效風(fēng)譜法計(jì)算得到的跨中抖振位移時(shí)程，與圖14中的Küssner方法所得結(jié)果相比可以發(fā)現(xiàn)：①定性結(jié)果一致，即考慮sears函數(shù)修正的抖振位移小于不考慮修正結(jié)果，考慮試驗(yàn)導(dǎo)納修正的抖振位移小于sears函數(shù)修正結(jié)果。②兩者計(jì)算得到的隨機(jī)抖振位移的變化范圍基本一致。③本文中采用Küssner函數(shù)時(shí)采用同一組脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，不同導(dǎo)納計(jì)算的抖振位移隨時(shí)間變化具有同步性；而采用等效風(fēng)譜法時(shí)，不同的導(dǎo)納函數(shù)和抖振力均需要單獨(dú)模擬脈動(dòng)風(fēng)時(shí)程，因而不同導(dǎo)納計(jì)算的抖振位移隨時(shí)間變化無(wú)同步性。

圖16為分別采用Küssner表達(dá)式和等效風(fēng)譜法計(jì)算得到考慮sears函數(shù)修正的跨中抖振位移時(shí)程，可見(jiàn)雖然兩者抖振位移隨時(shí)間變化并不一致，但是兩者的變化范圍基本相同。

圖15 跨中處的抖振位移時(shí)程(等效風(fēng)譜法)Fig.15 Time history of buffeting response of the mid-span section(by the equivalent wind spectrum)

圖16 跨中處Küssner表達(dá)式和等效風(fēng)譜法計(jì)算得到的考慮sears函數(shù)修正的抖振位移時(shí)程Fig.16 Time history of buffeting response of the mid-span section calculated by Küssner expression and equivalent wind spectrum method which sears function is modified

圖13比較了本文Küssner表達(dá)式和等效風(fēng)譜法計(jì)算得到的抖振響應(yīng)均方根。①導(dǎo)納為sears函數(shù)時(shí)，豎向位移兩者計(jì)算相差13.1%，扭轉(zhuǎn)位移相差9.1%，側(cè)向位移相差 11.8%。②導(dǎo)納為試驗(yàn)值時(shí)，豎向位移兩者計(jì)算相差16.3%，扭轉(zhuǎn)位移相差2.7%，側(cè)向位移相差 4.3%。兩種方法在計(jì)算豎向位移均方根時(shí)相差較大，作者認(rèn)為主要原因有兩方面：其一是有限長(zhǎng)度的風(fēng)場(chǎng)模擬時(shí)存在個(gè)體差異；其二是兩種方法形成的抖振力相關(guān)譜不等效。

5 結(jié) 論

扁平鋼箱梁是大跨度橋梁常用的加勁梁型式。由于其良好的氣動(dòng)外形與平板具有一定的相似性，對(duì)這類橋梁進(jìn)行抖振分析時(shí)常采用源于古典機(jī)翼理論的Sears氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)代替斷面的實(shí)際氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)，或者偏于安全不考慮氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)。橋梁抖振分析的傳統(tǒng)方法有頻域與時(shí)域兩類方法。頻域法可方便地考慮氣動(dòng)導(dǎo)納，但忽略了結(jié)構(gòu)的非線性；時(shí)域法能全面考慮非線性，但不便于氣動(dòng)導(dǎo)納的應(yīng)用。本文基于Küssner函數(shù)時(shí)域模型，在時(shí)域內(nèi)研究了這三種不同的導(dǎo)納選取方案對(duì)千米級(jí)橋梁抖振分析結(jié)果的影響，并得到以下結(jié)論：

(1) 本文提出Küssner階躍函數(shù)法可將氣動(dòng)導(dǎo)納靈活地從頻域轉(zhuǎn)換到時(shí)域后進(jìn)行非線性動(dòng)力有限元分析。

(2) 與等效風(fēng)譜法相比，本文的Küssner函數(shù)時(shí)域抖振模型只需模擬一組脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，提高了計(jì)算效率。此外，應(yīng)用于實(shí)測(cè)風(fēng)速時(shí)程時(shí)，避免了根據(jù)時(shí)程反算風(fēng)譜、風(fēng)譜等效后再模擬時(shí)程的繁瑣過(guò)程。

(3) 基于Sears函數(shù)氣動(dòng)導(dǎo)納與試驗(yàn)氣動(dòng)導(dǎo)納得到的豎向響應(yīng)基本一致，但扭轉(zhuǎn)與側(cè)向響應(yīng)相差明顯。以扭轉(zhuǎn)響應(yīng)為例，前者在后者的基礎(chǔ)上高出約63%。顯然，即使是扁平鋼箱梁，采用源于機(jī)翼理論的Sears函數(shù)進(jìn)行抖振分析不合適。