浙江省常山縣實(shí)驗(yàn)小學(xué) 蔡水華 丁群俐

華羅庚先生曾經(jīng)指出：善于“退”，足夠地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。華羅庚先生的這段名言，道出了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要策略，“以簡(jiǎn)馭繁：從最簡(jiǎn)單的開(kāi)始想起”。 數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅要豐富過(guò)程，還要將教材教薄。將數(shù)學(xué)“精簡(jiǎn)之美”借助于數(shù)學(xué)思想體系反映出來(lái)。

“退”是解決問(wèn)題的一種策略和方法，要“退”到事物的最起點(diǎn)再換一個(gè)角度思考，讓“退”成為更好的“進(jìn)”。雖然“以簡(jiǎn)馭繁”作為一種隱性方法，但是，教師仍可以結(jié)合實(shí)際教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“融化——感應(yīng)——碰撞——挖掘”的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)于“以簡(jiǎn)馭繁”能逐步走近、美麗邂逅、體驗(yàn)觸碰，最終實(shí)現(xiàn)深度對(duì)話。

一、思有“起點(diǎn)”：激發(fā)“以簡(jiǎn)馭繁”的學(xué)習(xí)需求

通過(guò)創(chuàng)設(shè)一些難度適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，有意識(shí)地制造一些懸疑，當(dāng)學(xué)生面對(duì)著一道紛繁復(fù)雜的題目毫無(wú)頭緒、束手無(wú)策時(shí)，自然產(chǎn)生“知難而退”的需要。使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，激發(fā)數(shù)學(xué)探索的好奇心和求知欲，變機(jī)械思考為主動(dòng)思考。

1.明顯的新舊關(guān)聯(lián)可以激活“退”的需求

數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)與方法間是相互聯(lián)系的，將“新知”與需要用到的“舊法”關(guān)聯(lián)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生對(duì)原有思考模型進(jìn)一步拓展與延伸的需求。

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了《搭配中的學(xué)問(wèn)》等相關(guān)組合問(wèn)題的研究，教師可以并列呈現(xiàn)以下新舊關(guān)聯(lián)的三個(gè)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生的思考。

新知問(wèn)題原有思考模型六年級(jí)四個(gè)班進(jìn)行拔河比賽，每?jī)蓚€(gè)班賽一場(chǎng)，一共要賽多少場(chǎng)?各圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形?images/BZ_54_1933_1471_2274_1495.png各圖中有多少個(gè)角?images/BZ_54_1963_1518_2224_1622.png

原有的思考模型啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步“檢索”“提煉”方法，在新知問(wèn)題的運(yùn)用中進(jìn)一步清晰化，產(chǎn)生了更好的數(shù)學(xué)思考。

2.強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突可以激活“退”的需求

通過(guò)呈現(xiàn)與學(xué)生原有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)相矛盾的現(xiàn)象，設(shè)置懸念；或提供幾個(gè)相互矛盾的方案、解答，由外在的情境沖突，引發(fā)認(rèn)知的不平衡，從而激起學(xué)生的“退”需求。

例如：教學(xué)探索規(guī)律相關(guān)內(nèi)容（題如下圖）時(shí)，教師可以將原有的規(guī)律探索改為“你通過(guò)計(jì)算器計(jì)算出的結(jié)果嗎”？當(dāng)學(xué)生遭遇了計(jì)算器上數(shù)位有限，不能直接解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的情況或從小一點(diǎn)的數(shù)入手：

9×9＝81

99×99＝9801

999×999＝998001

……

由易到難，從中獲得某些啟示后，再來(lái)考慮原題的解答。在活動(dòng)中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟，自然過(guò)渡、水到渠成。

3.獨(dú)特的數(shù)學(xué)排列可以激活“退”的需求

獨(dú)特的數(shù)學(xué)排列就是一種良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)排列的元素可以是數(shù)、符號(hào)、式或者圖形?？梢越o學(xué)生一種強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)沖突，便于學(xué)生去“檢索”，引發(fā)“退”的需求，啟動(dòng)有序化的思考。

數(shù)的排列：3，5，7，9，……，_____（第2014 個(gè)數(shù)）

式的排列：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+……+1/1024=

圖的排列：求下圖中紅色部分的周長(zhǎng)是多少？

由單一到序列，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，通過(guò)列一列、猜一猜、數(shù)一數(shù)、比一比、說(shuō)一說(shuō)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。

二、思有“結(jié)構(gòu)”：掌握“以簡(jiǎn)馭繁”的技術(shù)范式

毋庸置疑，學(xué)生“化繁為簡(jiǎn)”的思考水平和技術(shù)能力的培養(yǎng)，離不開(kāi)教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥。為此，我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐摸索中，初步構(gòu)建了“化繁為簡(jiǎn)”的階段層次和基本技術(shù)范式（如下圖），經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)、合乎邏輯的技術(shù)范式不僅能使學(xué)生獲得知識(shí)，而且有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力，增強(qiáng)其對(duì)“以簡(jiǎn)馭繁”思想方法的感應(yīng)能力。

下面，就以“一個(gè)大正方形用十字形連續(xù)均分：連續(xù)均分20次，能得到幾個(gè)小正方形？”為例，具體闡述教師在課堂教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思考如何進(jìn)行“適時(shí)介入”和“合理引導(dǎo)”，幫助學(xué)生構(gòu)建、掌握化繁為簡(jiǎn)的基本技術(shù)范式。

1.簡(jiǎn)約階段：化繁為簡(jiǎn)，簡(jiǎn)化探究素材

簡(jiǎn)約階段是指把繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、條理化，能夠清晰地表達(dá)。如此題，可以引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖分析，“退到”從第一次均分開(kāi)始研究，記錄基本規(guī)律。

均分1 次均分2 次均分3 次均分次數(shù)images/BZ_55_1485_540_1580_634.pngimages/BZ_55_1650_543_1744_636.pngimages/BZ_55_1825_540_1920_634.png均分4 次 ……小正方形個(gè)數(shù)4images/BZ_55_1550_676_1615_710.png7images/BZ_55_1729_680_1792_713.png10 13 ……images/BZ_55_1897_680_1962_713.png

2.符號(hào)階段：化數(shù)為式，探索數(shù)學(xué)模型

符號(hào)階段時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的事物在內(nèi)的一類(lèi)事物。如根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律，將“結(jié)論數(shù)”改寫(xiě)成“算式”，用數(shù)學(xué)符號(hào)的方式搭建數(shù)學(xué)模型。

均分1 次均分2 次均分3 次均分次數(shù)images/BZ_55_1494_1265_1590_1360.pngimages/BZ_55_1659_1267_1754_1362.png4均分4 次 ……images/BZ_55_1835_1265_1931_1360.png小正方形個(gè)數(shù)4+3 4+3+3 4+3+3+3 ……4 4+3×1 4+3×2 4+3×3 ……

3.普適階段：無(wú)中生有，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

普適階段是指通過(guò)假設(shè)和推理建立法則、模型或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物和復(fù)雜問(wèn)題。比如引導(dǎo)學(xué)生在均分一次的前面再增加一種初始狀態(tài)，數(shù)形結(jié)合，完善數(shù)學(xué)模型。

均分0 次均分1 次均分2 次均分3 次均分次數(shù)images/BZ_55_1425_1986_1520_2079.pngimages/BZ_55_1575_1986_1671_2079.pngimages/BZ_55_1725_1988_1820_2080.pngimages/BZ_55_1865_1986_1961_2079.png均分4 次 均分n 次小正方形個(gè)數(shù)1 4 4+3×1 4+3×2 4+3×3 1+3×n 1 1+3×1 1+3×2 1+3×3 1+3×4

讓學(xué)生從最簡(jiǎn)單、也是從最小的情況出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)、探究較復(fù)雜的問(wèn)題，即大的本質(zhì)的內(nèi)涵。相信，通過(guò)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的猜想、思考、驗(yàn)證，在學(xué)生的眼中已不再成為困難。

三、思有“延伸”：形成“以簡(jiǎn)馭繁”的思維慣性

“前延后展”的學(xué)習(xí)方法能夠讓學(xué)生“觸景生思”，誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性，引起他們更多的數(shù)學(xué)聯(lián)想，逐步向數(shù)學(xué)思想的掌握靠近。

1.解決了，不妨再“瞻前”議一議

數(shù)學(xué)里有很多模式，簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)模式就像知識(shí)的“胚胎”，等待被醞釀和呵護(hù)，我們應(yīng)該像澆花一樣的去滲透，更多數(shù)學(xué)問(wèn)題解決后需要我們?cè)僖龑?dǎo)學(xué)生回頭想一想，體驗(yàn)其中更簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)，更系統(tǒng)的聯(lián)系。

例如：《列方程解決問(wèn)題》

師：同學(xué)們用方程解答了這么多不同的問(wèn)題，整體看一看，你能發(fā)現(xiàn)其中相同的地方嗎？覺(jué)得哪幾個(gè)問(wèn)題可以歸為一類(lèi)？

生1：除了（3），其余可以歸為一類(lèi)，都是ax+bx=c 形式。

生2：（1）（2）（4）的數(shù)量關(guān)系可類(lèi)似表示在線段圖（5）里。

生3：（3）也可以和它們歸為一類(lèi)，因?yàn)樗鼈兊臄?shù)量關(guān)系都是：部分+部分=總量。

師：如果我們嘗試著把這些題都用一個(gè)式子來(lái)概括的話，你覺(jué)得可以怎么來(lái)寫(xiě)？

生：ax+by=c，不同的是，有些問(wèn)題當(dāng)中的x 與y 相等，有些x 與y 不相等。

如果學(xué)生在每節(jié)課里獲得的知識(shí)是散裝的，一定有“管中窺豹”的狹隘感。及時(shí)地“瞻前”，在整體知識(shí)背景下對(duì)所學(xué)知識(shí)的重組和構(gòu)建，將原先分散的、彼此分割的知識(shí)聯(lián)系成一個(gè)整體，從而幫助形成由點(diǎn)、線、面筑成的立體式的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

2.學(xué)會(huì)了，不妨再“顧后”想一想

如果只重視局部訓(xùn)練而淡化整體聯(lián)網(wǎng)的教學(xué)，就會(huì)使學(xué)生缺少高瞻遠(yuǎn)矚的解決謀略和隨機(jī)應(yīng)變的解決智慧。所以我們應(yīng)有這樣的意識(shí)：將前后知識(shí)進(jìn)行融合，不同的領(lǐng)域內(nèi)容互相滲透，恰當(dāng)“顧后”，既是學(xué)生掌握知識(shí)的張力，也是數(shù)學(xué)知識(shí)本身的魅力，還是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的活力。

例如：《整理與復(fù)習(xí)：小數(shù)的意義和加減法》

同學(xué)們已經(jīng)對(duì)《小數(shù)的意義和加減法》單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容及相關(guān)知識(shí)進(jìn)行整體回顧，體會(huì)了“小數(shù)意義”在其中的核心價(jià)值，構(gòu)建起了具有結(jié)構(gòu)性的知識(shí)樹(shù)。

師：太棒了，知識(shí)可以像一棵樹(shù)一樣，形成聯(lián)系。那么，學(xué)了這么多小數(shù)的知識(shí)，有什么用呢？

師：小數(shù)的加減法和小數(shù)意義有什么聯(lián)系呢？

生：其實(shí)，小數(shù)的加減法要求相同數(shù)位進(jìn)行相加減，就是運(yùn)用了小數(shù)的意義及小數(shù)部分的計(jì)數(shù)單位。

師：接下來(lái)，我們還將學(xué)習(xí)《小數(shù)乘法》，它們會(huì)不會(huì)與這個(gè)單元的知識(shí)有聯(lián)系呢？（學(xué)生的眼睛開(kāi)始發(fā)亮，翻閱書(shū)本后，學(xué)生們紛紛說(shuō)：哦，知道了！原來(lái)小數(shù)乘法這樣就行了。）

師：同學(xué)們，《小數(shù)的意義》的學(xué)習(xí)內(nèi)容僅僅只是給我們提供了一棵知識(shí)樹(shù)嗎？

生：老師，我看到了，這棵知識(shí)樹(shù)的背后還有和它有聯(lián)系著的更多的知識(shí)樹(shù)！不，那是一片森林……

在學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的知識(shí)整體聯(lián)系后，教師不妨再引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)“顧后”，提前劇透后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容《小數(shù)加減法》《小數(shù)乘法》《小數(shù)除法》，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)所學(xué)知識(shí)的重要意義，簡(jiǎn)化未來(lái)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，教學(xué)中要具有“四兩撥千斤”的從容和智慧，不斷擴(kuò)大課堂的張力，讓學(xué)生感受到有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜，直接解答過(guò)程會(huì)比較繁瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，找到解決問(wèn)題的方法或建立模型，并進(jìn)行適當(dāng)檢驗(yàn)，用正確的方法或模型去解決問(wèn)題，“退”出海闊天空，“簡(jiǎn)”出優(yōu)質(zhì)高效，讓思維碰撞出的智慧火花，彰顯“以簡(jiǎn)馭繁”的教學(xué)魅力。