王偉印 陳 毅 王世全 楊柳青

(杭州應用聲學研究所，浙江杭州 310023)

1 引 言

聲場測量的目的是通過重建換能器的輻射聲場，實現(xiàn)聲場的可視化，進而對換能器的聲學性能進行診斷與評估。對換能器輻射聲場的測量，大多采用水聽器進行，該方法實施簡單，也最為方便。但由于水聽器具有一定的物理尺寸，導致測量的空間分辨率受限。另外，水聽器安裝夾具的引入，會引起聲波發(fā)生反射、衍射，對聲場造成干擾，從而導致測量結果的準確性下降。

20世紀80年代，激光開始被應用于水聲測量領域，先后出現(xiàn)了激光反射膜片法以及激光反射層析法等利用激光測量聲場的方法[1-4]。由于采用激光進行測量，因此相比于水聽器測量法，激光測量法具有對聲場無擾動、空間分辨率高等獨特優(yōu)勢。目前，國內對激光反射膜片法的研究已經(jīng)較為成熟，而對激光反射層析法的研究并不多。且在對激光反射層析法的研究中，只研究了如何利用該方法重建聲場，而如何利用該方法確定出聲場中的絕對聲壓量值，在國內尚未見到相關報道。若能夠精確確定出聲場中的聲壓量值，則可以擴大激光反射層析法的應用范圍，將其應用到換能器的發(fā)送響應以及水聽器校準等方面。

本文主要對激光反射層析法在換能器輻射聲場測量中的應用進行了研究，分析了激光反射層析法的測量原理，通過將激光反射層析法的數(shù)學理論與實際聲場測量、聲光效應相結合，對聲場中絕對聲壓量值的定值公式進行了梳理與推導。在此基礎上，對激光反射層析法進行仿真計算，驗證激光反射層析法確定聲場中絕對聲壓量值的可行性。

2 激光反射層析法的數(shù)理基礎研究

2.1 Radon變換與反變換

1917年，奧地利數(shù)學家J.Radon提出了Radon變換與反變換，它是圖像處理中的一種重要研究方法，為一大類圖像重建問題提供了一個統(tǒng)一的數(shù)學基礎[5]。

Radon變換的原理示意圖如圖1所示，假定xy平面內具有某種物理性質的二維分布函數(shù)f(x,y)，l為平面上的一條直線，其在xy平面內的位置由式(1)確定

xcosθ+ysinθ=t

(1)

式中：θ——直線l的法線與x軸的夾角；t——原點到直線l的距離。

圖1 Radon變換示意圖Fig.1 Radon transformation

則二維函數(shù)f(x,y)的Radon變換定義為f(x,y)沿著直線l的線積分Pθ(t)，定義式為

(2)

若沿著直線l的方向建立s軸、l的法線方向建立t軸，則可將(t,s)作為新的坐標系，如圖2所示。

圖2 新舊坐標關系示意圖Fig.2 New and old coordinate relationship

(t,s)坐標系與(x,y)坐標系之間的關系可用式(3)表示

(3)

則f(x,y)的Radon變換可表示為

(4)

當θ固定時，改變t，使t取所有不同的值，即可得到二維平面函數(shù)f(x,y)在θ方向上的投影值，然后改變θ，使θ取0到π內的所有值，即可得到f(x,y)在所有θ方向下的投影數(shù)據(jù)，如圖3所示。

圖3 改變θ和t后的f(x,y)投影示意圖Fig.3 Projection of f(x,y) after changing θ and t

2.2 傅里葉切片定理

傅里葉切片定理是推導重建算法的基礎，它指的是：二維分布函數(shù)f(x,y)在θ方向下投影的一維傅里葉變換等于f(x,y)二維傅里葉變換的其中一個切片，該切片與u軸成θ角度，且通過坐標原點，如圖4所示。

圖4 傅里葉切片定理示意圖Fig.4 Fourier slice theorem

傅里葉切片定理的意義在于，通過對投影進行一維傅里葉變換，可以得到原始圖像的二維傅里葉變換，從而可以按圖5所示的流程重建出原始圖像。

圖5 重建圖像流程圖Fig.5 Reconstruction image flow

2.3 濾波反投影算法

濾波反投影算法(Filter Back Projection，F(xiàn)BP)是求解二維傅里葉逆變換的一種數(shù)學處理方法，也是圖像重建中應用最廣泛的一種算法[6]。

濾波反投影算法主要包括濾波和反投影兩部分，對投影數(shù)據(jù)的濾波通過式(5)進行

(5)

式中：Qθ(t)——濾波后的投影數(shù)據(jù)；Sθ(ω)——投影數(shù)據(jù)Pθ(t)的一維傅里葉變換；|ω|——濾波器的頻率響應函數(shù)。

當采用Ram-Lak濾波器進行濾波時，式(5)的離散形式可寫為

(6)

式中：n=0，1，2，，N-1，N——投影線的條數(shù)；τ——投影采樣間隔；h(nτ)——Ram-Lak濾波器響應函數(shù)。

離散形式下，Ram-Lak濾波器的響應函數(shù)如式(7)所示

(7)

為提高運算速度，可將式(6)變換到頻域進行計算，變換后的表達式為

Qθ(nτ)=τ×IFFT{FFT[Pθ(nτ)]×FFT[h(nτ)]}

(8)

式中：FFT——傅里葉變換；IFFT——傅里葉逆變換。

根據(jù)二維傅里葉逆變換公式，待重建的二維分布函數(shù)f(x,y)在極坐標形式下可寫為

(9)

式(9)即表示對濾波后的投影數(shù)據(jù)Qθ(t)進行反投影的過程，由式(5)和式(9)實現(xiàn)的圖像重建算法即為濾波反投影算法。

通過式(7)～(9)，可得待重建的二維分布函數(shù)的離散形式為

(10)

式中：k—— 0°～180°范圍內的投影角度步進數(shù)。

3 激光反射層析法測量原理

3.1 測量原理

激光反射層析法的測量原理圖如圖6所示，待測換能器被固定在運動回轉裝置上，調節(jié)待測換能器，使其輻射面豎直向下、聲軸與z軸重合。激光測振儀發(fā)出的激光光束與換能器聲軸方向垂直，入射到反射鏡面后沿原路徑返回到激光測振儀[7]。

圖6 激光反射層析法測量換能器聲場示意圖Fig.6 Laser reflection tomography for measuring the acoustic field of a transducer

激光束經(jīng)過聲波作用的區(qū)域時，由于該區(qū)域內媒質的折射率發(fā)生變化，導致激光束受到聲波的調制作用[8]。當換能器在角度θ下沿x軸方向運動時，根據(jù)聲光效應，激光測振儀的輸出信號可表示為

(11)

式中：n1——水介質的光彈系數(shù)；ω——角頻率；dy——聲場中沿激光傳播路徑的微分；p(x，y)——聲場中(x,y)位置處的聲壓。

對比Radon變換的定義可以發(fā)現(xiàn)，激光測振儀的輸出v(x)對應于聲壓分布p(x,y)在x方向上的投影。因此，通過測量不同角度θ下得到的激光測振儀輸出信號v(x)，對其作Radon反變換，即可求得換能器的聲場分布函數(shù)p(x,y)[9]。

通過式(8),(10),(11)可得，待測聲場中絕對聲壓量值的計算公式為

×FFT[h(nτ)]}}

(12)

式中：M——換能器在0°～180°范圍內的旋轉次數(shù)。

3.2 聲光效應

聲波是一種彈性波，它在液體中傳播時，會使液體介質產(chǎn)生相應的彈性形變，從而激起液體介質中各質點沿著聲波傳播的方向振動，引起液體局部密度呈現(xiàn)疏密相間的變化。

在小振幅聲波(通常小于0.1MPa)作用下，液體的折射系數(shù)與液體密度的變化成線性關系，可表示為

(13)

式中：n0——不存在聲波時水介質的折射系數(shù)；n1——水介質的光彈系數(shù)；n(x,t)——液體在聲波作用下的折射系數(shù)。

所以，聲波的存在會導致介質的折射系數(shù)發(fā)生改變，引起激光束傳播路程的變化，從而建立起光程變化速度與換能器聲場分布之間的聯(lián)系。

4 激光反射層析法仿真研究

設在無限大平面障板上嵌有一個半徑為a的圓面活塞換能器，換能器靜止時的輻射面與障板表面位于同一平面上。當活塞以速度u=uaejωt振動時，換能器將向障板前面的半空間輻射聲波。以活塞中心為坐標原點，活塞所在的平面為xOy平面，過坐標原點且垂直于活塞平面的直線為z軸，建立坐標系如圖7所示。

圖7 圓面活塞換能器輻射示意圖Fig.7 Schematic diagram of circular piston transducer radiation

由瑞利公式可知，活塞聲源在空間任意一點處的聲壓可通過式(14)計算得出

(14)

式中：ρ0——聲場中傳播介質的密度；c0——聲場中傳播介質的聲速；k——波數(shù)；h——面元ds到點P的距離。

取圓面活塞換能器輻射面半徑a=2cm，工作頻率f=1MHz，距輻射面距離z=3cm。根據(jù)式(14)，對換能器的近場聲壓分布進行仿真，得到的原始聲場即換能器的近場聲壓分布三維及平面示意圖如圖8和圖9所示。

圖8 圓面活塞換能器的近場聲壓分布三維示意圖Fig.8 Schematic 3D view of near-field acoustic pressure distribution of a circular piston transducer

圖9 圓面活塞換能器的近場聲壓分布平面示意圖Fig.9 Near-field acoustic pressure distribution of a circular piston transducer

根據(jù)激光反射層析法的測量原理，設定測試步驟如下：在一個角度下，激光完成線性掃描后，將換能器旋轉至新的角度，在新的角度下繼續(xù)進行線性掃描，直至完成180個角度下的掃描投影；設定測試條件如下：測試在以換能器聲軸為對稱軸的(8×8)cm的平面上進行，激光在一個角度下進行457次掃描，掃描的步進間距為0.017 5cm，換能器在0°～180°范圍內進行旋轉，旋轉步進間距為1°。根據(jù)設定的測試步驟及測試條件，在Matlab中編寫程序，對仿真出的聲場進行Radon變換，得到的Radon變換結果如圖10所示。

圖10 仿真得到的Radon變換結果示意圖Fig.10 Radon transform result obtained by simulation

運用濾波反投影算法，對得到的投影數(shù)據(jù)進行Radon反變換，得到的聲場重建結果如圖11所示。

圖11 通過Radon反變換得到的聲場重建結果示意圖Fig.11 Acoustic field reconstruction results obtained by radon inverse transformation

取位于原始聲場與重建聲場中心線上的聲壓數(shù)據(jù)作對比，得到的對比結果如圖12所示。

圖12 原始聲場與重建聲場的聲壓數(shù)據(jù)對比曲線圖Fig.12 Comparison of original acoustic field and reconstructed acoustic field

由圖9和圖11可以看出，利用激光反射層析法可以精細地重建出換能器的聲場分布，重建出的換能器聲場能夠清晰地分辨出旁瓣位置，聲場特征與原始聲場基本一致。通過原始聲場與重建聲場的聲壓數(shù)據(jù)對比可以看出，激光反射層析法重建出的絕對聲壓量值與原始聲壓量值吻合良好，表明激光反射層析法能夠準確地確定出聲場中的絕對聲壓量值。

5 結束語

本文對激光反射層析法重建換能器聲場分布的原理及方法進行了詳細闡述與推導，并通過仿真計算，驗證了激光反射層析法測量換能器輻射聲場分布及聲場中絕對聲壓量值的可行性，為換能器的聲場重建及聲壓測量提供了一種準確、有效的方法。后期有待開展相關實驗，對激光反射層析法進行進一步的驗證，并研究信噪比、掃描步進間距以及投影角度數(shù)等因素對聲場及聲壓重建效果的影響。