孫鳳琪

(吉林師范大學 數(shù)學學院, 吉林 四平 136000)

0 引 言

對于一個實際的控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定方法有兩種, 即主動適應技術和被動適應技術。前者亦稱自適應控制, 是不需借助外力作用, 通過系統(tǒng)自身自動調(diào)節(jié)而達到的一種穩(wěn)定狀態(tài)。后者又叫做魯棒控制, 是需要人為的手段對一個控制系統(tǒng)進行外力強加控制, 使之達到預期的穩(wěn)定標準以及性能指標的一種控制方法。而魯棒鎮(zhèn)定或保性能控制, 所采取的手段就是控制器設計。

系統(tǒng)穩(wěn)定只是運行前提, 在實際系統(tǒng)應用領域是遠遠不夠的, 還需要在保證穩(wěn)定的基礎上對性能有更高的要求, 以便完成更加高效先進的控制工程任務。為此, 在前期時變時滯奇異攝動Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[1]研究基礎上, 筆者對文獻[1]中系統(tǒng)(1)進行狀態(tài)反饋控制器設計。在Lurie系統(tǒng)(1)穩(wěn)定基礎上, 加入控制輸入u(t), 構(gòu)造新的狀態(tài)反饋控制器, 然后求出狀態(tài)反饋控制律K。為該系統(tǒng)的深入研究奠定理論基礎。

1 預備知識

引理2[3]給定適當維數(shù)的矩陣Y,D和E, 其中Y是對稱陣, 不確定函數(shù)F(t), 滿足FΤ(t)F(t)≤I, 則

Y+EF(t)D+DΤFΤ(t)EΤ<0

成立的充要條件是, 存在一個常量η>0, 使

Y+ηEEΤ+η-1DΤD<0

考慮以下時變時滯奇異攝動Lurie控制系統(tǒng)

(1)

其中u(t)∈Rp是控制輸入, 非線性函數(shù)φ(t,z): [0,∞)×Rm→Rm屬于扇形區(qū)域[V1,V2], 即

[φ(t,z(t))-V1z]T[φ(t,z(t))-V2z]≤0, ?t≥0, ?z∈Rm

(2)

其他條件與文獻[1]中的系統(tǒng)(1)相同。

設計線性狀態(tài)反饋控制器

u(t)=Kx(t)

使閉環(huán)系統(tǒng)

(3)

是絕對穩(wěn)定的。具有這樣性質(zhì)的控制律u(t)稱為系統(tǒng)(1)的絕對穩(wěn)定化控制律[3]。

根據(jù)文獻[1]中的理論部分2.2, 可知欲使系統(tǒng)(1)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)絕對穩(wěn)定, 即證閉環(huán)系統(tǒng)(3)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)是絕對穩(wěn)定的。通過應用反饋環(huán)的變換, 閉環(huán)系統(tǒng)(3)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)的絕對穩(wěn)定性等價于系統(tǒng)

(4)

在扇形區(qū)域[0,V2-V1]內(nèi)的絕對穩(wěn)定性。

2 狀態(tài)反饋控制器設計

2.1 時滯依賴情形

(5)

(6)

其中

證明 根據(jù)文獻[1]的定理3, 通過應用引理1, 可知

(7)

其中

W11(ε)=(A+BK-DV1C)ΤZ(ε)+ZΤ(ε)(A+BK-DV1C)+Q

W41(ε)=τ(A+BK-DV1C)ΤM

成立時, 閉環(huán)系統(tǒng)(3)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)絕對穩(wěn)定。

將式(7)線性化, 把矩陣左乘和右乘對角矩陣diag{Z-Τ(ε),I,I,I,I,I}, 再定義

(8)

并應用引理2, 整理后得到

(9)

其中

2.2 時滯獨立情形

其中

證略。

3 算 例

考慮以下時變時滯奇異攝動Lurie控制系統(tǒng)

4 推 論

去掉系統(tǒng)(1)中的不確定性矩陣F(t), 則成為如下奇異攝動時變時滯Lurie控制系統(tǒng)

(10)

其中系數(shù)矩陣等條件均與Lurie系統(tǒng)(1)同。

閉環(huán)系統(tǒng)為

(11)

由定理1、定理2可分別推出如下推論, 證略。

其中

其中

注1 該狀態(tài)反饋控制器可以設計為記憶的[5-8], 亦可以設計為輸入倒數(shù)比例反饋形式[6-8]。

注2 系統(tǒng)控制器甚至可以設計成輸出狀態(tài)反饋控制器, 理論推導均與定理1方法類似[9-11], 以上情況均同。

5 結(jié) 語

筆者在絕對穩(wěn)定性定理基礎上, 應用反饋環(huán)節(jié)變換, 分別求出了使Lurie閉環(huán)系統(tǒng)在時滯依賴和獨立兩種情形下絕對穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制律。得出了在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)的時滯依賴和獨立兩種情況下狀態(tài)反饋控制器。

筆者是繼文獻[1]Lurie系統(tǒng)穩(wěn)定性分析后, 進行的控制器設計后期理論研究。對于時變時滯奇異攝動Lurie系統(tǒng), 就目前文獻研究資料, 報道較少。文獻[1]連同本文創(chuàng)新點在于, 研究了時變時滯奇異攝動以及魯棒控制下的Lurie系統(tǒng)穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題, 所涉及的系統(tǒng)是綜合性的非線性環(huán)節(jié)的Lurie控制系統(tǒng), 涵蓋了時滯、不確定性以及奇異攝動等, 該結(jié)果可以對非線性系統(tǒng)相應理論的進一步研究奠定理論基礎。

筆者所提方法不需要系統(tǒng)降階技術、系統(tǒng)分解, 可適用于標準和非標準情形, 可以為其他相關方向, 如H2、H∞控制提供理論參考。