江蘇省太倉高級中學(xué) (郵編：215411)

安徽省馬鞍山市第二中學(xué) 盧建軍 (郵編：243000)

近日，筆者對一道市級高三模擬考試題展開解法探究與教學(xué)思考，以期對高三習(xí)題教學(xué)有所啟發(fā)．

試題(2019年馬鞍山市高三模擬考理科第16題)在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在線段BC上，且BC=3BD，AD=2，則△ABC面積的最大值為．

這是一個(gè)三角形面積的最值問題，試題平和樸實(shí)、內(nèi)涵深刻，給人以“題在書外，根在書內(nèi)”的感覺，并自然地將等與不等、消元思想、數(shù)形結(jié)合思想等融為一體，考查學(xué)生綜合運(yùn)用解三角形的相關(guān)知識(shí)和方法，以及平面向量、不等式、平面幾何的相關(guān)知識(shí)和分析問題、解決問題的能力，較好地檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)潛能．

1 解法探究

圖1

①

②

評析該解法屬解三角形問題的通性通法，激活余弦定理和基本不等式的相關(guān)知識(shí)，教學(xué)中關(guān)鍵要引導(dǎo)學(xué)生“由已知看可知，再由未知看需知”．針對多變量代數(shù)式的處理體現(xiàn)了消元的思想，解法自然，學(xué)生易于想到.最后關(guān)注取等條件，同時(shí)激活了角平分線定理等知識(shí)．

9AD2=4AB2+AC2+4AB·ACcos60°≥4AB·AC+2AB·AC，即6AB·AC≤36，即bc≤6. 下同解法一．

由2S△ABD=S△ACD可得，

③

④

解析該解法激活了三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，用角α來表示邊b,c，最終將面積表示成關(guān)于α的三角函數(shù)式，進(jìn)而求出最值，體現(xiàn)了利用函數(shù)思想求最值.

解法四由斯特瓦爾特定理可知，AB2·CD+AC2·BD-AD2·BC=BC·CD·BD，

解析該解法激活了平面幾何等相關(guān)知識(shí)，其本質(zhì)同解法一，只不過建立三邊關(guān)系式的途徑不同而已.

圖2

解析從本質(zhì)上看解三角形也是平面幾何的知識(shí)，我們知道像這一類動(dòng)態(tài)三角形的問題都有著幾何背景，通過平面幾何知識(shí)將該問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)基本問題：已知三角形中的一邊及其對角，求面積的最大值. 巧用外接圓，妙解三角形. 體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，讓學(xué)生感受到任何一道難題都可以轉(zhuǎn)化為我們曾經(jīng)熟悉的問題．

2 問題推廣

對試題進(jìn)行一般化的推廣探究，是學(xué)習(xí)解題的重要法寶之一.通過一般化探究，去除問題中非本質(zhì)屬性，執(zhí)問題的牛耳.

當(dāng)且僅當(dāng)AD為∠BAC(或其外角)平分線時(shí)取得最大值．

圖3

當(dāng)λ<0或λ>1時(shí)，

3 變式訓(xùn)練

題1 (2014年高考全國1卷理科第16題)已知a、b、c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為.

題2 (2018年高考江蘇卷第13題)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC與點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為．

題3 在△ABC中，∠BAC=30°，點(diǎn)D在線段BC上，且BC=3CD，BC=3，則AD的最大值為．

題4 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a2+2b2+3c2=1，求△ABC面積的最大值.

4 教學(xué)思考

上述三點(diǎn)可以看作是習(xí)題教學(xué)中教師備課的內(nèi)容，從典型例題的選擇，到解法的探究與推廣，再到后期提供給學(xué)生的變式訓(xùn)練，經(jīng)歷了“選題——講題——練題”三步曲．

作為教師，我們在試題研究中做到以上幾點(diǎn)，對錘煉自身內(nèi)功是大有裨益的，而且唯有課前深入備課，方能課中精彩演繹．一題多解就是在挖掘每個(gè)數(shù)學(xué)問題的“營養(yǎng)價(jià)值”，不能“入寶山而空返”，看似在講解一道題，殊不知以及豐富聯(lián)想、激活串講了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如此達(dá)到“以少勝多”、“舉一反三”、“融會(huì)貫通”的功效，學(xué)生的能力素養(yǎng)在潛移默化中得到提升．

我們也經(jīng)常聽到這樣的質(zhì)疑聲：課堂上如果這樣玩一題多解，會(huì)不會(huì)耽誤教學(xué)進(jìn)度，有的解法需要教給學(xué)生嗎，需要給學(xué)生講授一般化推廣嗎？這些思考與質(zhì)疑不無道理，如果我們拋開學(xué)生，孤芳自賞，展示解法，那就好比“一個(gè)壯漢在秀肌肉”，其教學(xué)效果可見一斑．但我們也不能“因噎廢食”，誠然，不是所有的題目都適合一題多解，也不是所有學(xué)生都適合一題多解，最根本的是要因材施教，以學(xué)定教，多關(guān)注學(xué)生的表現(xiàn)和感受，講解習(xí)題時(shí)做到“關(guān)注學(xué)情、充滿激情”．

不同學(xué)生，不同時(shí)期，我們所教的知識(shí)側(cè)重點(diǎn)應(yīng)有所區(qū)別，尤其在高三后期的習(xí)題教學(xué)中，學(xué)生在已經(jīng)掌握通性通法的階段，我們要盡可能多地傳遞解題思路、滲透思想方法、揭示問題本質(zhì)．讓我們的課堂“少一點(diǎn)套路，多一些理性”，讓我們的學(xué)生擁有更多的問題視角，突破思維定勢，從容自如地應(yīng)對各種新問題，成為一個(gè)善于思考、獨(dú)具個(gè)性的學(xué)習(xí)者，而不是知識(shí)的容器，這就是教育成功的最大收獲．