北京豐臺二中 (郵編：100071)

一年一度的高考是考生、老師、家長、學校乃至全社會關注的重點話題．2019年的高考已塵埃落定，筆者作為一名高中數學老師，也抓緊時間認真鉆研了本年度的高考數學真題(文理共計13套，其中上海、浙江文、理同卷，江蘇文、理除附加題外同卷)，發(fā)現了它們有試題常規(guī)(多考計算)、情景新穎、杜絕偏怪等特點，這也與新課改之精神、教育乃培養(yǎng)人的活動、數學本來應當是人人能夠喜愛的美的科學合拍．但筆者發(fā)現有14道高考題在表述上欠嚴謹：雖然原題不會太影響考生正確答題，但作為高考題的權威性及引用的廣泛性，還是要注意表述上的嚴謹．

筆者發(fā)表的文獻[1]-[5]分別對2014～2018年的高考題在表述上欠嚴謹之處也作了商榷.

1 全國卷I

圖1

A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190cm

流行解法B.頭頂至脖子下端的長度為26cm，說明頭頂到咽喉的長度小于26cm.

又因為肚臍至足底的長度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長度大于105×0.618≈65(cm)，即該人的身高大于65+105=170(cm).

綜上所述，可得身高在170cm-178cm之間．因而選B．

正確解答解答本題必須要得到相應的不等式，不能由近似計算來求解.

再結合選項，可知選B.

商榷“咽喉”指喉嚨，包括咽、食管上部、喉及氣管的通向胃和肺的通道，頸的前方上部緊接面頰的部分.因而“咽喉”不是一個點，所以題1中的“頭頂至咽喉的長度”、“ 咽喉至肚臍的長度”說法均不通.

另外，因為題1運算量較大且涉及的量較多，所以建議把題1放置在試卷中選擇題倒數第二題或倒數第一題的位置(因為這份試卷第5～12題都很基礎常規(guī)，且運算量均不太大).

圖2

題2 (2019年高考全國卷I文科第19題與理科第18題的綜合表述)如圖2，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

(1)證明：MN∥平面C1DE；

(2)(文)求點C到平面C1DE的距離；

(理)求二面角A-MA1-N的正弦值.

商榷現行高中數學教材(比如普通高中課程標準實驗教科書《數學2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版)(下簡稱《必修2》))中均沒有給出“直四棱柱”的概念(給出了“四棱柱”的概念)，因而建議把題2題設中的“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形”改為“四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，側棱A1A與底面垂直”.

題3 (2019年高考全國卷I文科第21題)已知點A，B關于坐標原點O對稱，│AB│=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．

(1)若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

(2)是否存在定點P，使得當A運動時，│MA│-│MP│為定值？并說明理由．

商榷因為現行關于平面解析幾何的高中數學教科書(比如《必修2》)中均沒有使用過符號“⊙”，所以建議把題3中的第一處“⊙M”改為“圓M(點M是其圓心，下同)”，把題3中的第二處“⊙M”改為“圓M”.

2 全國卷II

題4 (2019年高考全國卷II文科、理科第4題)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

商榷(1)題4以物理知識萬有引力定律為背景，突出了數學的應用，宣傳了我國航天事業(yè)的發(fā)展及取得的重大成就.但此題既沒有考查物理也沒有考查閱讀(題目冗長，且第一段文字對解題沒有任何幫助，逐字逐句研讀完后會大呼上當，會使考生對于應用題不會再看這些無用的文字(又不會排除漏看了有用的信息)的壞習慣，數學考題給出的主要信息應是數學)，數學閱讀的意義應體現在用數學知識進行等價轉化.

(3)因為題4運算量較大且涉及的字母較多，所以建議把題4放置在試卷中選擇題倒數第二題的位置(因為文科試卷第5～11題都很基礎常規(guī)，且運算量均不太大).

A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin 2x│

C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│

圖3

圖4

題6 (2019年高考全國卷II文科、理科第16題)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖3).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖4是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有____個面，其棱長為____.(本題第一空2分，第二空3分.)

商榷建議把該題6中的后四處“半正多面體”均應添上雙引號.

題7 (2019年高考全國卷II文科、理科第22題)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.

商榷建議把題7第(2)問中的“P點”改為“點P”.

因為現行教材中的有關表述均是“點P”，從來沒有出現過“P點”，比如《必修2》、普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修1-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版)及普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下簡稱《選修2-1》).

另外，把“|x|”讀作“絕對值x”、“a”讀作“a向量”均不對，應分別讀作“x的絕對值”、“向量a”.其理由源于教材，比如普通高中課程標準實驗教科書《數學4·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第2版)中的《第二章 平面向量》.

3 全國卷III

題8 (2019年高考全國卷III文科第12題即理科第11題)設f(x)是定義域為R的偶函數，且在(0,+∞)單調遞減，則( )

商榷建議把題8中的“為R的偶函數”、“在(0,+∞)單調遞減”分別改為“為R上的偶函數”、“在(0,+∞)內單調遞減”.

①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點

②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點

其中所有正確結論的編號是( )

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

4 北京卷

題10 (1)(2019年高考北京卷文科第6題)設函數f(x)=cosx+bsinx(b為常數)，則“b=0”是“f(x)為偶函數”的( )

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

商榷(1)建議把這兩個小題的前三個選項分別改為“A.充分不必要條件、B.必要而不充分條件、C.充要條件”，這樣與《選修2-1》第11頁習題1.2A組第3題的答案一致.對于2019年高考天津卷文科第3題及理科第3題，也應有這樣的改動.

(2)若把題設“設點A,B,C不共線”去掉，則答案是A.另外，建議把題目中的“點A,B,C不共線”改為“三點A,B,C不共線”.

圖5

(1)求證：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值;

題12 (2019年高考北京卷理科第18題)已知拋物線C:x2=-2py經過點(2,-1).

(1)求拋物線C的方程及其準線方程；

(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點A和點B，求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩上定點.

商榷在題12第(2)問的解法中用不到到條件“斜率不為0”，所以把該條件去掉后所得結論仍然成立.事實上，當“直線l的斜率為0”時，可得點M與點A(或點B)重合，其坐標是(-2,-1)；點N與點B(或點A)重合，其坐標是(2,-1)，進而可求得以AB為直徑的圓的方程是x2+(y+1)2=4，它也經過y軸上的兩個定點(0,-3)與(0,1).

因而建議去掉第(2)問中的“斜率不為0的”.

5 江蘇卷

圖6

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求點E的坐標．

題14 (2019年高考江蘇卷第23題)在平面直角坐標系xOy中，設點集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，Bn={(0,1),(n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)},n∈N*.

令Mn=An∪Bn∪Cn.從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.

(1)當n=1時，求X的概率分布；

(2)對給定的正整數n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示).

商榷建議把題中的“求X的概率分布”改為“求X的概率分布列”，因為在普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2-3·A版》(人民教育出版社2009年第3版)的“第二章 隨機變量及其分布”中表述的都是“求X的概率分布列”.

關于2019年高考天津卷(文、理)、上海卷、浙江卷，筆者沒有發(fā)現值得商榷之處.