李小芳, 王志梅

(1.中北大學(xué)信息商務(wù)學(xué)院， 山西 晉中 030600;2.太原師范學(xué)院 物理系， 山西 晉中 030619)

0 引 言

角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本守恒定律之一，大到宇宙天體，小到原子內(nèi)部都服從這一定律，它在生產(chǎn)、生活、工程技術(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用。

1 角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量定理的微分式為

對(duì)一固定點(diǎn)O或轉(zhuǎn)軸,當(dāng)物體不受力矩或所受的合外力矩M=0時(shí)，物體的角動(dòng)量L保持不變，這個(gè)結(jié)論就叫角動(dòng)量守恒定律[1]。

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)，角動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式為

L=r×mv=常矢量,

對(duì)于剛體，角動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式為[1]

L=Jω=常矢量。

2 角動(dòng)量守恒定律在天體運(yùn)動(dòng)方面的應(yīng)用

2.1 證明開普勒第二定律

開普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律，也稱面積定律，指的是對(duì)任一行星，太陽(yáng)和該行星的連線(矢徑)在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。現(xiàn)用角動(dòng)量守恒定律證明。

行星對(duì)太陽(yáng)角動(dòng)量的大小為

L=rmvsinθ,

(1)

式中：m----行星的質(zhì)量;

θ----矢徑r與速度v之間的夾角，行星速率

則

(2)

式(2)中

rsinθds=r⊥ds=2dA,

(3)

其中，dA為行星矢徑在dt時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積，因此

(4)

由于太陽(yáng)和行星之間的萬(wàn)有引力為有心力，它對(duì)力心的力矩為零，故行星的角動(dòng)量守恒，即L=常量，因此

從而證明了行星的矢徑在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相同。事實(shí)上，開普勒第二定律與角動(dòng)量守恒定律等價(jià)。

2.2 證明太陽(yáng)在焦點(diǎn)位置

開普勒第一定律：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上?，F(xiàn)用角動(dòng)量守恒定律及牛頓力學(xué)理論證明太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

設(shè)橢圓方程為

式中：a----長(zhǎng)軸;

b----短軸。

焦點(diǎn)位置為(0,±c)，且a2-c2=b2。

行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，行星所受的力矩為零，角動(dòng)量守恒。由角動(dòng)量守恒定律，得

r1mv1=r2mv2,

(5)

式中:v1,r1----分別為行星處于遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速率及距太陽(yáng)的距離;

v2,r2----分別為行星處于近日點(diǎn)時(shí)的速率及距太陽(yáng)的距離。

由式(5)得

(6)

由于萬(wàn)有引力為保守力，只有保守力做功時(shí)，機(jī)械能守恒。由機(jī)械能守恒定律，得

(7)

整理上式得

(8)

由向心力公式，得

(9)

式(9)中長(zhǎng)軸端點(diǎn)弧元的曲率半徑

(10)

由式(6)、式(8)～式(10)得

r1r2=aρ0=b2，

(11)

又因?yàn)?/p>

r1+r2=2a,

(12)

聯(lián)立式(11)和式(12)得

r2=a-c,

(13)

證明了太陽(yáng)的位置為橢圓的焦點(diǎn)。

2.3 定性解釋星系的扁平狀旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)

對(duì)于很多星系來(lái)說(shuō)，它們都是扁平狀旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)家拉普拉斯的“星云說(shuō)”指出，星系旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)的成因是角動(dòng)量守恒。對(duì)于星系來(lái)說(shuō)，其一開始是一個(gè)緩慢旋轉(zhuǎn)的球狀氣體云，具有初始角動(dòng)量。在垂直于軸向的徑向上，星系由于引力作用慢慢向內(nèi)收縮，因?yàn)橐橛行牧?，因此星系?duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量L=rmv守恒，當(dāng)星系半徑減小時(shí)，其速率增大，離心力也隨之增大，當(dāng)離心力增大至與引力恰好平衡時(shí)，星系停止收縮。對(duì)于軸向不存在離心力，則星系持續(xù)收縮，最終在引力的作用下，軸向變得非常扁平。因此星系形成了具有一定半徑大小的扁平狀旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)[2]。

圖1 天體的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)

3 角動(dòng)量守恒定律在工程技術(shù)方面的應(yīng)用

3.1 進(jìn)動(dòng)陀螺儀

陀螺儀有兩個(gè)特性：進(jìn)動(dòng)性和定軸性，這兩種特性都是建立在角動(dòng)量守恒的原則下[3]。

3.1.1 陀螺的進(jìn)動(dòng)

陀螺在繞自身對(duì)稱軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，其對(duì)稱軸繞經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這種高速自轉(zhuǎn)物體的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象叫做進(jìn)動(dòng)[4]。

陀螺的旋進(jìn)如圖2所示。

(a) 自轉(zhuǎn)陀螺的對(duì)稱軸同時(shí)繞OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)

(b) 陀螺的對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角位移圖2 陀螺的旋進(jìn)

圖2(a)中，質(zhì)量均勻?qū)ΨQ分布的陀螺在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量為

L=Jω，

(14)

式中：J----陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

ω----自轉(zhuǎn)角速度。

L的方向沿對(duì)稱軸，由于陀螺質(zhì)量對(duì)稱分布，此角動(dòng)量就是陀螺對(duì)自身對(duì)稱軸的角動(dòng)量。高速旋轉(zhuǎn)的陀螺，在傾斜狀態(tài)時(shí)，由于進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量遠(yuǎn)小于其本身對(duì)稱軸的角動(dòng)量，可將總角動(dòng)量近似為對(duì)其自身對(duì)稱軸的角動(dòng)量。

以O(shè)點(diǎn)為參考點(diǎn)，只有重力產(chǎn)生力矩，重力的力矩

(15)

式中：dm----陀螺上小質(zhì)元的質(zhì)量;

r----質(zhì)元相對(duì)于O點(diǎn)的位置矢量。

整理上式，得

(16)

式中：rC----質(zhì)心相對(duì)于O點(diǎn)的位置矢量。

由于rC與L同向，因此重力對(duì)O點(diǎn)的力矩M始終與角動(dòng)量L垂直。

在重力矩的作用下，dt時(shí)間內(nèi)，陀螺自旋角動(dòng)量的增量

dL=Mdt=mrC×gdt。

(17)

方向垂直于紙面向里，與L方向垂直。所以在重力矩的作用下，陀螺的自旋角動(dòng)量大小不變，只改變方向，L的末端軌跡為圓。

圖2(b)中，陀螺對(duì)稱軸與豎直軸之間的夾角為θ，dt時(shí)間內(nèi)，陀螺對(duì)稱軸轉(zhuǎn)過(guò)的角位移為dφ，自旋角動(dòng)量的增量大小

|dL|=Lsinθdφ。

(18)

陀螺重力矩的大小

(19)

因此,陀螺的進(jìn)動(dòng)角速度為

(20)

將式(16)代入式(20)，得

(21)

即進(jìn)動(dòng)角速度ωp與陀螺自轉(zhuǎn)角速度成反比，與角度θ無(wú)關(guān)。ωp隨自轉(zhuǎn)角速度的增大而減小，自轉(zhuǎn)角速度越大，陀螺越容易穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)。當(dāng)陀螺的自轉(zhuǎn)角速度不夠大時(shí)，則除了自轉(zhuǎn)和進(jìn)動(dòng)外，陀螺的對(duì)稱軸還會(huì)在鉛垂面內(nèi)上下擺動(dòng)，稱為章動(dòng)[2]。

3.1.2 陀螺儀

陀螺儀如圖3所示。

圖3 陀螺儀

從圖3可以看出，陀螺儀的轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)、外環(huán)都可以繞著各自的轉(zhuǎn)動(dòng)軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸正交于轉(zhuǎn)子質(zhì)心，在忽略摩擦和空氣阻力的情況下，這種設(shè)計(jì)保證了轉(zhuǎn)子所受的合外力矩為零，轉(zhuǎn)子的角動(dòng)量L=Jω守恒。陀螺儀的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J不隨時(shí)間變化，若將陀螺儀的轉(zhuǎn)軸指向某方向，當(dāng)轉(zhuǎn)子繞自身對(duì)稱軸以角速度ω高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，不管如何改變框架的方位，其中心軸的空間取向都始終保持不變，因而具有導(dǎo)航能力[5-6]。

高速轉(zhuǎn)動(dòng)的陀螺儀受到一定的干擾力矩后，轉(zhuǎn)子的對(duì)稱軸會(huì)在初始方位附近產(chǎn)生幅度很小的短時(shí)高頻章動(dòng)，保證對(duì)稱軸的方向基本不變，因此具有極強(qiáng)的穩(wěn)定性。但是如果陀螺儀持續(xù)受到干擾力矩的話，對(duì)稱軸的指向會(huì)隨時(shí)間產(chǎn)生誤差。

我國(guó)的WS-35型155 mm口徑制導(dǎo)炮彈，其最大射程可達(dá)到100 km，且精確度高，使用“北斗”衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行GPS/慣性制導(dǎo)(INS)。慣性制導(dǎo)的核心部件為三軸陀螺儀，其抗干擾能力和自主性強(qiáng)，但是存在導(dǎo)航精度隨時(shí)間不斷降低的問(wèn)題。利用GPS的長(zhǎng)期穩(wěn)定性與適中精度可以不斷對(duì)INS加以校準(zhǔn)，消除INS積累的誤差[7]。

3.2 直升飛機(jī)螺旋槳

直升飛機(jī)一般都有兩個(gè)螺旋槳。當(dāng)直升機(jī)靜止在地面時(shí)，受到重力及地面給它的支持力，兩力產(chǎn)生的合外力矩為零，直升機(jī)的角動(dòng)量守恒。飛機(jī)靜止在地面時(shí)，初始角動(dòng)量為零，當(dāng)直升飛機(jī)的主螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí)，機(jī)身必然會(huì)朝著反方向旋轉(zhuǎn)。為了阻止機(jī)身旋轉(zhuǎn)，需要另一個(gè)螺旋槳來(lái)產(chǎn)生阻力矩，使其與主螺旋槳產(chǎn)生的力矩相抵消。大多數(shù)直升機(jī)通過(guò)在尾部安裝一個(gè)螺旋槳來(lái)阻止機(jī)身轉(zhuǎn)動(dòng)，但也有直升機(jī)采用反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙旋翼來(lái)阻止機(jī)身旋轉(zhuǎn)，“共軸雙槳”與“縱列式雙槳”的直升機(jī)分別如圖4和圖5所示。

圖4 俄羅斯制造的卡50直升機(jī)

圖5 雪地降落的支努干飛機(jī)

4 角動(dòng)量守恒定律在游戲和體育方面的應(yīng)用

4.1 扔水瓶挑戰(zhàn)

“扔水瓶挑戰(zhàn)”是一個(gè)風(fēng)靡于社交網(wǎng)站的游戲，向空中旋轉(zhuǎn)扔出一個(gè)裝有部分水的瓶子，瓶子在空中翻一個(gè)跟頭后，可以平穩(wěn)垂直地站立在桌面或地面上。下面分析一下“扔水瓶挑戰(zhàn)”背后所蘊(yùn)含的物理知識(shí)。

在忽略空氣阻力的情況下，水瓶被扔出去之后，只受重力，且重力通過(guò)質(zhì)心，因此系統(tǒng)所受的合外力矩為零，角動(dòng)量L=Jω守恒。由于水具有流動(dòng)性，當(dāng)瓶子在空中旋轉(zhuǎn)時(shí)，瓶?jī)?nèi)的水并不會(huì)隨著瓶子旋轉(zhuǎn)，而是沿著瓶子晃動(dòng)，導(dǎo)致水的質(zhì)量沿著瓶子重新分布，從而改變了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

文獻(xiàn)[7]構(gòu)建了一個(gè)簡(jiǎn)單的一維模型來(lái)研究在空中旋轉(zhuǎn)的水瓶，導(dǎo)出了系統(tǒng)的質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(22)

(23)

式中:hCM----系統(tǒng)質(zhì)心的位置;

J----系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

Jb、Jw----分別為瓶子和水的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

mb----瓶子的質(zhì)量;

mw----瓶中水的質(zhì)量;

H----瓶子的高度;

h----瓶中水的高度。

水瓶在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，水的高度h時(shí)刻變化，因此,系統(tǒng)的質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也隨時(shí)變化。水在瓶中晃動(dòng)的時(shí)候，由于水的質(zhì)量沿著瓶子分散分布，導(dǎo)致系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大[8-9]。

根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，當(dāng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大時(shí)，其旋轉(zhuǎn)角速度會(huì)減小。因此水瓶在落地時(shí)角速度較小，可以平穩(wěn)垂直地站立在桌面或地面上。若游戲中使用空瓶子或裝滿水的瓶子，則挑戰(zhàn)很難成功?？掌孔踊蜓b滿水的瓶子在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中可看成剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，水瓶旋轉(zhuǎn)時(shí)角速度就會(huì)保持不變，水瓶落地時(shí)旋轉(zhuǎn)角速度大，導(dǎo)致挑戰(zhàn)失敗。

“扔水瓶挑戰(zhàn)”成功的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是盡量減小落地的角速度；二是盡可能降低系統(tǒng)的重心，重心越低系統(tǒng)越穩(wěn)定。挑戰(zhàn)時(shí)，瓶中的水不能太少也不能太多。水太少，系統(tǒng)的重心雖低，但其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大不明顯；水太多，系統(tǒng)重心不僅高，而且水在瓶中晃動(dòng)不明顯，對(duì)改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量沒(méi)有太大貢獻(xiàn)。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)和分析[8-9]，當(dāng)瓶中的水為1/3～1/4時(shí)，“扔水瓶挑戰(zhàn)”最容易成功。

4.2 體育賽事

體育賽事中的許多運(yùn)動(dòng)，同樣是通過(guò)改變運(yùn)動(dòng)員自身的質(zhì)量分布來(lái)改變旋轉(zhuǎn)時(shí)的角速度，從而使表演更具有觀賞性。

跳水運(yùn)動(dòng)員、花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員經(jīng)常會(huì)做一些旋轉(zhuǎn)動(dòng)作，這些運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)速度可以通過(guò)改變肢體動(dòng)作來(lái)實(shí)現(xiàn)。在阻力可以忽略不計(jì)的情況下，不論運(yùn)動(dòng)員在地面上旋轉(zhuǎn)還是空中旋轉(zhuǎn)，所受的合外力矩都為零，因此角動(dòng)量守恒。當(dāng)運(yùn)動(dòng)員收攏雙臂或腿時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小，旋轉(zhuǎn)速度增大；當(dāng)運(yùn)動(dòng)員伸開雙臂或腿時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大，旋轉(zhuǎn)速度減小。

5 結(jié) 語(yǔ)

角動(dòng)量守恒定律在諸多領(lǐng)域都有體現(xiàn)，是一個(gè)非常重要的理論，除了文中介紹的應(yīng)用外，生活中很多常見現(xiàn)象也蘊(yùn)含著角動(dòng)量守恒定律的知識(shí)，因此角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用研究非常重要。