蔡偉 許友安 楊志勇 苗麗瑤 趙鐘浩

1) (火箭軍工程大學,兵器發(fā)射理論與技術國家重點學科實驗室,西安 710025)

2) (光電控制技術重點實驗室,洛陽 471000)

對順磁性材料磁光特性和維爾德常數(shù)的研究通常采用量子理論,但傳統(tǒng)的量子理論僅考慮了電子躍遷偶極矩的影響,難以對維爾德常數(shù)進行全面系統(tǒng)的描述.本文在考慮躍遷偶極矩影響的基礎上,以受迫振動對電偶極矩修正的方式計入外磁場與光電場對電子運動的影響.首先從微觀層面分析了順磁性材料磁光效應及維爾德常數(shù)的內在機理,而后通過經典電子動力學理論和量子理論分別分析了電子的能級躍遷和外場作用下非躍遷位移對電偶極矩的貢獻,進而推導得到順磁性材料的極化率,構建了維爾德常數(shù)的解算模型.以典型順磁性磁光材料鋱鎵石榴石為例,量子計算了Tb3+離子在自旋-軌道耦合、晶場及有效場作用下的能級及波函數(shù),最終分別定量求解得到傳統(tǒng)量子理論和本文方法下的維爾德常數(shù).對比分析發(fā)現(xiàn)：相比傳統(tǒng)量子理論,利用本文方法計算得到的結果與實驗數(shù)據(jù)更為吻合,具有一定的優(yōu)越性.

1 引 言

1845 年,法拉第發(fā)現(xiàn)在外磁場作用下,入射的線偏振光經過某些特定材料后偏振面會發(fā)生偏轉,具有這種磁致旋光效應的磁光材料被用于磁光調制器、光纖電流傳感器及光信息處理等各項領域[1-4].磁光材料主要分為順磁性和抗磁性兩類,其中順磁性磁光材料具有較高的維爾德常數(shù),應用更為廣泛.

維爾德常數(shù)是偏轉角與外磁場及材料長度之間的比例系數(shù),表征材料的磁光性能.根據(jù)介質的色散特性,Becquerel[5]提出了一種描述維爾德常數(shù)的經典表達式,由經典電磁場理論,文獻[6]推導了磁性介質中磁光效應的基本關系式,結合介電常量張量和麥克斯韋方程,利用宏觀理論解釋了磁光效應的物理過程[7].這些經典理論對大多數(shù)抗磁性材料適用性較好,但在計算順磁性材料的維爾德常數(shù)時將出現(xiàn)較大偏差[8].

順磁性磁光材料中通常含有大量的Tb3+,Pr3+,Nd3+等稀土離子,離子中不成對的電子極易發(fā)生4f → 5d的能級躍遷,利用量子理論對維爾德常數(shù)進行求解具有更高的精確性.van Vleck-Hebb和Hebb[9]提出了維爾德常數(shù)的量子表達式及與溫度之間的依賴關系,文獻[10]從分子-軌道能級的角度出發(fā),在微觀層面解釋了磁光效應,文獻[11]分析了順磁性材料中的多種相互作用對維爾德常數(shù)的影響.但傳統(tǒng)的量子理論只考慮電子能級躍遷的影響,忽略了外磁場與光電場作用下電子非躍遷位移所產生的電偶極矩.

文獻[8]采用主導波長躍遷模型思想,通過實驗數(shù)據(jù)擬合得到了順磁性維爾德常數(shù)的量子理論表達式,進而得到波動躍遷性貢獻下的維爾德常數(shù).但該方法僅將維爾德常數(shù)視為波動性和躍遷性兩部分的簡單疊加,未闡明維爾德常數(shù)的內在機理,理論依據(jù)不足.

針對現(xiàn)有理論的不足,本文從微觀機理層面進行分析,在電子能級躍遷的基礎上,考慮了外磁場和光電場對電子運動的影響,分別討論了能級躍遷和非躍遷位移所產生的電偶極矩,從而構建了更為精確的維爾德常數(shù)解算模型.以鋱鎵石榴石(TGG)晶體為例,通過定量計算驗證了本文方法的優(yōu)越性.

2 理論及模型構建

2.1 傳統(tǒng)量子理論

量子理論認為,順磁性磁光材料中存在具有非零軌道角動量的簡并基態(tài)MJ,在沿z軸正向的外磁場作用下,分裂成MJ=± 1的兩個基態(tài)子能級Em1,Em2,當溫度T遠高于居里溫度Tc且外部磁場He不太強時,兩個子能級上均有一定概率的電子分布[12].線偏振光可分解為左旋(LCP)和右旋(RCP)兩束圓偏振光,其攜帶的左旋光子和右旋光子在z分量的自旋角動量分別為 ? 和 -?.根據(jù)角動量守恒定理,當線偏振光通過外磁場作用下的磁光材料時,LCP和RCP的光子及其所具有的自旋角動量可以分別被Em1能級上的軌道左旋電子和Em2能級上的軌道右旋電子吸收,軌道左旋電子和右旋電子分別躍遷至激發(fā)態(tài)n,如圖1所示.

圖1 順磁性磁光材料中的能級躍遷Fig.1.Energy level transition in paramagnetic magneto-optical materials.

對于圖1所示的順磁性磁光材料,電子左旋躍遷與右旋躍遷的振動強度大小不等,這種躍遷的不均勻性正是磁光效應及維爾德常數(shù)產生的根源.

基于量子理論,van Vleck-Hebb求得了順磁性材料的維爾德常數(shù)表達式[9]：

式中,g為Lande因子,μB=he/(4πmc)為玻爾磁子,c為光速,h為普朗克常量,e和m分別為電子電量的絕對值和電子質量,ω為入射光的頻率,χ為磁化率,Cmn代表發(fā)生ωmn頻率躍遷的幾率.由于磁化率是溫度的函數(shù),所以順磁性磁光材料的維爾德常數(shù)同時與入射光波長和溫度有關.

(1)式表明順磁性材料的維爾德常數(shù)是一系列躍遷作用的總和,式中Cmn,ωmn等參數(shù)往往需要通過實驗擬合方法來獲得.該方法的缺點是：將法拉第磁光效應僅僅歸因于基于實驗數(shù)據(jù)擬合得到的量子躍遷模型,這種擬合方法可能實際掩蓋了除電偶極躍遷外的其他因素對維爾德常數(shù)的影響,且擬合結果的正確性無法自證.此外,由于各躍遷幾率互不相同且具有微觀不確定性,導致各種參數(shù)難以直接擬合得到.文獻[13]引入主導波長躍遷模型思想,即只考慮對維爾德常數(shù)起主導作用的躍遷,同時考慮入射光波長λ和溫度T的影響,得到TGG維爾德常數(shù)的擬合模型為[13]

式中λ0為TGG的主導躍遷波長; Tw為居里-外斯溫度; B,C,D為實驗擬合得到的常數(shù).在文中所述的溫度和波長范圍內,雖然各樣本的維爾德常數(shù)測試曲線的相似性很高,但擬合得到的各種待定常數(shù)卻有顯著的差別.以第二項中的常數(shù)B為例,文中4個TGG陶瓷樣本中B的擬合結果分別為-252,-262,-175,-115,最大差別超過127%,顯然這樣的擬合模型對每個樣本都不相同,普適性較差.

2.2 維爾德常數(shù)解算模型

(1)式只考慮了電子的能級躍遷,亦即躍遷偶極矩的影響,而忽略了外磁場和光電場對電子回旋運動的影響.本文認為：入射偏振光在磁光材料中傳播時,光電場對所有電子均產生影響,引起非躍遷偶極矩; 與此同時,電子可分別吸收左旋光子或右旋光子,產生能級躍遷,引起相應的躍遷偶極矩.兩者共同作用于順磁性磁光材料的維爾德常數(shù).

2.2.1 電偶極矩

1)外磁場和光電場引起的非躍遷偶極矩

線偏振光的電場可描述為

式中E0為振幅,波矢其大小為波數(shù),s為波矢方向的單位矢量,n為介質的折射率,c為真空中的光速,ω 為入射光頻率,z為觀測點的z軸坐標乘以z軸方向的單位矢量,Re{ψ} 為取 ψ 實部的算子.

磁光旋轉的典型應用中,線偏振光的波矢方向平行于外部磁場方向,沿z軸正向傳播,故s·z=z,并設E0平行于x軸.考慮在介質中LCP和RCP具有不同的折射率 nL和 nR,左旋電場和右旋電場可分別表示為

由于 nL和 nR相差很小,在許多運算中可以忽略其差別.

在任意固定時刻,沿光傳播方向即z軸正向來看,RCP和LCP各自對應的電場矢量分別呈現(xiàn)為兩個繞z軸順時針和逆時針旋轉的空間曲面; 但如果固定于z軸上一點來觀察,則RCP和LCP各自對應電場在該點處垂直于z軸的XY平面內的旋轉方向恰好相反,分別為逆時針和順時針旋轉.這種現(xiàn)象可以解釋為“空右時左”或“空左時右”.

由核外電子與正電中心組成的電偶極子在外電場中受力矩作用而旋轉,使其感應電偶極矩轉向外電場方向,也可理解為受迫振動.以正電中心為圓心繪制電子受力及運動情況如圖2所示.

圖2 電子運動及受力分析Fig.2.Electronic motion and force analysis.

由圖2可見,電子受到正電中心吸引力F0、光電場作用力FE及洛倫茲力FB的共同作用.忽略阻尼項的影響,電子的受力與運動方程為

式中,r為電子相對于正電中心的位移矢量,ω0為電子運動的固有頻率,E為介質中光波電場強度,Bi為介質中的有效磁場.注意到LCP和RCP電場分別驅動左旋電子和右旋電子[14],通過方程(5)可分別求得軌道左旋電子與右旋電子的位移為

磁光旋轉中,光波頻率與電子運動固有頻率通常在同一個量級上,為 1015rad/s ,在LCP和RCP的電場作用下,順磁材料中的束縛電子將跟上光波頻率,在XY平面內產生兩種方向相反的圓周運動方式,角頻率由 ω0變?yōu)?ω?ωL.因此由外磁場和光電場引起的非躍遷偶極矩為

(8)式采用了文獻中常用的表示方法,“+”,“-”分別表示右旋和左旋.

2)躍遷偶極矩

根據(jù)量子理論,磁光材料中的右旋與左旋電子吸收相應光子后引起能級躍遷,躍遷偶極矩為

式中 ψm,ψn分別為基態(tài)與激發(fā)態(tài)的波函數(shù).

3)總電偶極矩

入射光通過磁光材料時,電子的能級躍遷及非躍遷位移同時存在,總電偶極矩應是兩者的疊加,即如圖3所示.

2.2.2 單粒子系統(tǒng)在光場作用下的極化率

維爾德常數(shù)主要取決于離子最外層電子的運動, 而單粒子系統(tǒng)容易受環(huán)境的影響, 系統(tǒng)的哈密頓量難以精確獲知, 且波函數(shù) |Ψ〉 的初值也難以給定. 因此引入密度算符=|Ψ〉〈Ψ| 及統(tǒng)計算法,則可觀測量的平均值可表示為

圖3 總電偶極矩Fig.3.Total electric dipole moment.

式中波函數(shù) |Ψ〉 通過能量表象 {|ψn〉} 來表示; 而ρnm,Fnm分別是該表象中的矩陣元.

介質在光場作用下,系統(tǒng)的哈密頓量可表示為

選擇能量表象,本征函數(shù) |uk〉 滿足H0|uk〉=Ek|uk〉,以本征函數(shù)為基矢,則0的矩陣元是對角的,得

引入弛豫速率 γnm,(12)式右邊的第三項可表示為

當粒子與光的作用不是特別強的情況下,Hint?H0,可以采用微擾理論對其進行處理.引入表征光場微擾程度的微小項η,系統(tǒng)與光場的相互作用可表示為將密度矩陣元展開成η的冪級數(shù)

考慮電子在光電場作用下的受迫運動,系統(tǒng)與光場的相互作用為

不失一般性,分析z=0處的情況,

利用標準方法求解微分方程(17),得

介質的電極化強度表示為

極化率張量 α 為

α為二階張量,其分量形式為

由于總電偶極矩 P±為復數(shù),根據(jù)厄米算符的復共軛特征,可解得極化率的分量形式為

2.2.3 法拉第旋轉角及維爾德常數(shù)

法拉第旋轉角及維爾德常數(shù)的求解通常從磁光材料的介電常數(shù)張量入手,本文重點討論立方晶系以上的磁光材料,此時z軸方向與x/y軸方向的介電特性互不影響,而x軸與y軸方向存在對稱性.根據(jù)厄米特性,介電張量可寫成如下形式[15]：

其中矩陣對角元 εxx與介質的折射率n相關,假定介質無吸收,εxx=n2; 矩陣非對角元εxy=4πNaij則引起了磁光材料的法拉第旋轉.

單位長度上引起的法拉第旋轉角為[10]

γnm?ω可忽略不計,則考慮磁場和光電場作用下的電子受迫運動后,可得到順磁性材料的維爾德常數(shù)為

3 數(shù)據(jù)驗證

選取典型順磁性磁光材料TGG晶體為研究對象,其維爾德常數(shù)主要取決于晶體中Tb3+離子由4f→5d的能級躍遷.下文通過計算Tb3+離子的能級及波函數(shù),分別得到傳統(tǒng)量子理論及本文方法下的維爾德常數(shù)并進行對比分析,進而驗證本文方法的可行性.

3.1 Tb3+離子能級及波函數(shù)

Tb3+離子在晶體中受諸多作用的影響,總哈密頓量為

式中 ψi1,ψj1為未微擾的本征波函數(shù); Em1為自旋-軌道耦合和晶場引起的基態(tài)能級位移,En1為激發(fā)態(tài)能級位移.考慮4f及5d多重態(tài)的耦合,以4f基準態(tài)7F6為能級零點,計算得到的部分能級位移如表1所列.

表2 有效場作用下的能級分裂(單位為cm-1)Table 2.Energy level splitting under the action of effective field (in cm-1).

根據(jù)塞曼定理,當存在與z軸平行的外部磁場時,原子磁矩與有效場相互作用引起的能量將導致能級的進一步分裂.將代入下列久期方程,得到有效場作用下的能級位移及波函數(shù),

考慮附加磁場 Hν=νM 只作用于自旋,且有效場對激發(fā)態(tài)能級的影響可忽略不計,在一級近似下,基態(tài)能級位移為

式中 ψi2,ψj2為晶場及自旋-耦合作用后的基態(tài)波函數(shù).玻爾茲曼常數(shù) kB=1.3807×10-23,室溫下kBT≈200cm-1,因此表2中Tb3+離子的第1-4個基態(tài)能級上都有一定概率的電子分布,由(33)式計算得到的基態(tài)能級分裂列于表2.

基態(tài)的最終能級為 Em=Em1+Em2,Tb3+離子5d激發(fā)態(tài)與4f基態(tài)之間的能級間距為38462 cm-1[16],因此激發(fā)態(tài)的最終能級為En=En1+38462cm-1.Tb3+離子能級的分裂過程如圖4所示.

3.2 維爾德常數(shù)計算

根據(jù)表1和表2中的能級位移及由(31),(32)式求得的波函數(shù),可解算得到左右圓偏振光激發(fā)下Tb3+離子全部的48個躍遷矩陣元TGG晶體的中心波長 λ0=258nm[17],共振頻率ω0=2πc/λ0=7.307×1015rad/s,拉莫爾進動頻率其中e≈1.60217662×10-19C,m≈ 9.109383×10-31kg,μ0≈1.2566370614×10-6H/m,由此可計算得出非躍遷矩陣元

分裂后,基態(tài)能級的簡并度為1,因此電子在各能級上的分布概率可由下列方程求解獲得

圖4 Tb3+離子的能級分裂過程Fig.4.Energy level splitting process of Tb3+ ions.

結合(34)式及(27)式可知,維爾德常數(shù)表達式的各項參數(shù)中,只有拉莫爾進動頻率 ωL與外磁場相關,由于 ωL?ω ,因此弱磁場條件下的維爾德常數(shù)與外磁場大小無關.

本文方法理論上適用于所有波長,但短波長下,TGG晶體的磁光特性極為復雜,光的非線性、雙折射及其他光學效應將對維爾德常數(shù)的測量及計算造成較大影響,目前暫未見到闡述內在機理及試驗測量的相關報道; 同時各類磁光調制的實際應用中往往采用400 nm以上的可見光波段或近紅外波段.由于缺乏實驗數(shù)據(jù)的支撐,且短波長下晶體內部的復雜作用尚不清晰,為保證研究結果的正確性及嚴謹性,本文只考慮TGG晶體實際工作波長范圍(400-1500 nm)內的計算結果.

TGG晶體的離子密度N=1.274×1022cm-3,磁化率 χ=Ng2J(J+1)μ20/[3kB(T-Tc)],式中有效玻爾磁子數(shù) p=g[J(J+1)]1/2=9.72[17],J為內量子數(shù),Tc=0.227 K為居里常數(shù)[18].取溫度T=298 K,分別得到不同波長下利用van Vleck-Hebb傳統(tǒng)量子理論及本文方法進行解算時的維爾德常數(shù),如表3.

分析維爾德常數(shù)隨波長的變化情況,如圖5所示.圖5中,Ve表示實驗數(shù)據(jù),Vt表示利用van Vleck-Hebb傳統(tǒng)量子理論進行計算得到的值,Vw-t表示本文方法的計算值.由圖5可見,由于躍遷偶極矩對維爾德常數(shù)的貢獻為負,而非躍遷偶極矩的貢獻為正,兩者效果相反.因此計入電子回旋運動引起的非躍遷偶極矩后,本文方法計算得到的維爾德常數(shù)Vw-t均低于傳統(tǒng)躍遷模型的維爾德常數(shù)Vt,與實驗數(shù)據(jù)更為相符.同時隨著波長的增大,傳統(tǒng)量子理論的計算值逐漸接近實驗值,這是由于隨著波長的增大,非躍遷偶極矩變小,而躍遷偶極矩的值基本不變,對維爾德常數(shù)貢獻的比重進一步加大,起決定性作用.

綜上分析可知,Vw-t與實驗數(shù)據(jù)Ve更為吻合,說明相比傳統(tǒng)量子理論,本文方法具有一定的優(yōu)越性.但Vw-t與Ve之間還存在誤差,這是由于在模型構建及計算過程中,忽略了哈密頓微擾的高級修正項、磁偶極子之間的相互作用及電場引起的Stark位移等微觀參數(shù)對維爾德常數(shù)的影響.

表3 不同理論下的維爾德常數(shù)(單位為 rad/(m·T))Table 3.Verdet constant under different theories (in rad/(m·T)).

圖5 維爾德常數(shù)隨波長變化情況Fig.5.Verdet constant varies with wavelength.

4 結 論

本文從微觀層面分析了順磁性材料中磁光效應和維爾德常數(shù)的產生機理及現(xiàn)有理論的不足,并由此引入外磁場與光電場對電子運動的影響,認為維爾德常數(shù)是躍遷偶極矩及非躍遷偶極矩共同作用的結果.通過量子計算,分別得到傳統(tǒng)量子理論及本文方法下TGG晶體的維爾德常數(shù),與實驗數(shù)據(jù)對比分析發(fā)現(xiàn)：在一定程度上,利用本文方法能夠更為精確地求解順磁性磁光材料的維爾德常數(shù).這也為進一步探索順磁性材料磁光效應的內在機理提供了參考借鑒.