(長(zhǎng)江科學(xué)院 水利部巖土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430010)

1 研究背景

土性參數(shù)具有較大的變異性，近年來(lái)在堤防風(fēng)險(xiǎn)管理中越來(lái)越受到關(guān)注。趙壽剛等[1]認(rèn)為黃河大堤的復(fù)雜性和不確定性主要在于堤身和堤基土壤材料特性，將土壤滲透系數(shù)和密度視為隨機(jī)變量，分析了不同淤背寬度的堤防滲流穩(wěn)定性。土性參數(shù)的變異性可能也是堤基管涌險(xiǎn)情發(fā)展具有一定程度不確定性的原因之一。

然而多數(shù)研究沒(méi)有考慮土性參數(shù)的空間自相關(guān)性，僅將參數(shù)作為純隨機(jī)變量處理。實(shí)際上,土體在形成和改造過(guò)程中，受多種因素影響，具有顯著的空間變異性，表現(xiàn)為土的性質(zhì)既有隨機(jī)性又有一定的空間相關(guān)性，這種空間變異性可用隨機(jī)場(chǎng)[2]來(lái)描述。Griffiths等[3]研究了隨機(jī)土體滲透系數(shù)對(duì)擋水建筑物下承壓滲流場(chǎng)的影響，夏均民等[4]通過(guò)承壓流算例分析了滲透系數(shù)的變異性對(duì)隨機(jī)滲流場(chǎng)水頭分布的影響。這些研究將滲透系數(shù)作為隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行滲流分析，考慮了滲透系數(shù)的空間相關(guān)性，但主要是針對(duì)承壓流，而堤防滲流是有自由面的。

本文考慮滲透系數(shù)的空間變異性，將其作為隨機(jī)場(chǎng)，采用蒙特卡羅方法分析堤防的滲流場(chǎng)分布及滲透穩(wěn)定可靠性。

2 土體滲透系數(shù)的空間變異性

土層在形成過(guò)程中既呈現(xiàn)出一定的宏觀結(jié)構(gòu)規(guī)律性，又表現(xiàn)出局部隨機(jī)性。在一定尺度范圍內(nèi)采取的土樣中存在孔隙大小及團(tuán)粒結(jié)構(gòu)等方面的差異。土的顆?；蚩紫对诳臻g上隨機(jī)排列，同時(shí)存在不確定性的顆粒間作用力等[5]，使土體介質(zhì)及其土工參數(shù)存在非均勻性和隨機(jī)性。

土工參數(shù)在空間上的分布具有一定程度的自相關(guān)性，直觀地說(shuō)，如果2個(gè)測(cè)量位置比較接近，那么得到的參數(shù)相近的可能性也較大；如果這2個(gè)位置相隔較遠(yuǎn)，那么測(cè)量參數(shù)之間可能沒(méi)有相關(guān)性。從數(shù)學(xué)角度而言，可以通過(guò)空間相關(guān)函數(shù)或變異函數(shù)[6]來(lái)反映這種相關(guān)性。與相關(guān)函數(shù)緊密聯(lián)系的是相關(guān)距離。在相關(guān)距離以內(nèi)土工參數(shù)可認(rèn)為是相關(guān)的，在相關(guān)距離以外土工參數(shù)則可認(rèn)為是相互獨(dú)立的。

Freeze[7]統(tǒng)計(jì)大量野外觀測(cè)滲透系數(shù)空間變異性的結(jié)果，認(rèn)為滲透系數(shù)可以用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)描述，該結(jié)論被后來(lái)的研究者在隨機(jī)水文地質(zhì)研究中證實(shí)和廣泛采用。Sudicky[8]在加拿大Borden含水層進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，經(jīng)過(guò)分析得出滲透系數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論。蔡樹(shù)英等[9]在40×36 m2的壤土田塊中對(duì)滲透系數(shù)進(jìn)行了90個(gè)點(diǎn)的測(cè)量，經(jīng)分析認(rèn)為該田塊中滲透系數(shù)為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，方差為1.1，在此較小的測(cè)量范圍內(nèi)，滲透系數(shù)測(cè)量結(jié)果相差達(dá)到2個(gè)數(shù)量級(jí)。筆者等[10]對(duì)堤后200 m×100 m范圍內(nèi)表層砂性土滲透系數(shù)的空間變異性進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)細(xì)砂滲透系數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，空間相關(guān)結(jié)構(gòu)可用指數(shù)模型描述。根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)[11-12]報(bào)道的含水層或土壤的滲透系數(shù)空間變異研究成果，對(duì)平面取樣尺度在1 000 m以內(nèi)的相關(guān)尺度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)，水平方向最大為39 m，垂直方向最小為0.1 m，一般情況下水平方向的相關(guān)尺度大于垂直方向的相關(guān)尺度，反映了土體成層沉積的層狀結(jié)構(gòu)特征。

3 堤基滲流隨機(jī)模擬方法

為了反映土體的空間變異性對(duì)滲流場(chǎng)的影響，可將滲透系數(shù)等參數(shù)作為隨機(jī)場(chǎng)，如Vanmarcke[2]提出的土性剖面的隨機(jī)場(chǎng)模型在巖土工程中得到較大應(yīng)用。將參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)和反映物理規(guī)律的微分方程相結(jié)合并發(fā)展相應(yīng)的數(shù)值方法，是進(jìn)行隨機(jī)分析的有力工具。當(dāng)將滲透系數(shù)作為隨機(jī)場(chǎng)時(shí)，滲流控制方程就成為隨機(jī)偏微分方程，它的解不再是確定性的值，而是具有一定概率分布的隨機(jī)函數(shù)。由于解析方法還不能求解復(fù)雜問(wèn)題，因此從實(shí)用角度出發(fā)，本文采用蒙特卡羅(Monte-Carlo)方法進(jìn)行計(jì)算分析。

首先，將滲透系數(shù)隨機(jī)場(chǎng)離散為隨機(jī)場(chǎng)單元，采用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的轉(zhuǎn)動(dòng)帶法[13]抽樣模擬得到這些單元的滲透系數(shù)若干個(gè)樣本模擬值，模擬值由下式確定，即

(1)

式中:ys為隨機(jī)場(chǎng)模擬值；x為模擬域內(nèi)的位置向量；yi為第i條線上的一維模擬值；ui為第i條線的方向向量；L為線的條數(shù)。然后，將他們作為確定性有限元方程各個(gè)單元的輸入?yún)?shù)，求解滲流方程。采用有限元方法計(jì)算滲流場(chǎng)，穩(wěn)定滲流場(chǎng)控制方程和定解條件通過(guò)有限元離散后可得到如下代數(shù)方程組，即

[K]{h}={B} 。

(2)

式中:[K]為滲透矩陣；{h}為未知水頭列向量；{B}為邊界列向量。

求解方程組(2)后可得到水頭和滲透比降的抽樣值，每一次滲透系數(shù)樣本模擬值的輸入都產(chǎn)生與其對(duì)應(yīng)的水頭和滲透比降的有限元解。最后，對(duì)所有計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，設(shè)總的抽樣模擬數(shù)為N，則計(jì)算域內(nèi)各結(jié)點(diǎn)水頭和滲透比降的統(tǒng)計(jì)量即均值和方差可按以下統(tǒng)計(jì)公式計(jì)算，即

(3)

式中:μ為均值；σ2為方差；σ為標(biāo)準(zhǔn)差；x為統(tǒng)計(jì)對(duì)象，如水頭。

當(dāng)滲流產(chǎn)生的滲透比降J大于土體的臨界比降Jc后就會(huì)引起土體的滲透變形破壞，據(jù)此可以建立滲透穩(wěn)定可靠性分析的功能函數(shù)，即

在心功能改善方面，觀察組LVESD、LVEDD及LVEF評(píng)分明顯更高，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05），見(jiàn)表2。

Z=Jc-J。

(4)

當(dāng)Z>0時(shí)，堤基土體處于滲透穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)Z=0時(shí)，處于極限狀態(tài)；當(dāng)Z<0時(shí)，則處于失穩(wěn)或破壞狀態(tài)。每次抽樣模擬計(jì)算得到的功能函數(shù)值為Zi，若Zi<0的次數(shù)為m，則滲透失穩(wěn)概率用下式估算，即

Pf=m/N。

(5)

式中Pf為滲透失穩(wěn)概率。

4 算例分析

4.1 計(jì)算模型

下面結(jié)合具體算例進(jìn)行計(jì)算分析。長(zhǎng)江中下游某堤防斷面如圖1所示，由地勘資料可概化為4個(gè)滲透性分區(qū)：堤身及堤后平臺(tái)為人工填土、堤基表層為砂壤土、堤基中部為粉質(zhì)壤土、堤基下部為黏土。

圖1 滲流計(jì)算斷面示意圖

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)，各土層滲透系數(shù)均值分別取為：人工填土9.0×10-6cm/s，砂壤土2.3×10-4cm/s，粉質(zhì)壤土4.75×10-5cm/s，黏土5.25×10-6cm/s。堤基表層土臨界比降為0.84。為簡(jiǎn)化分析，各計(jì)算參數(shù)的變異系數(shù)CV=σ/μ均取為30%。

根據(jù)已有研究，可以認(rèn)為滲透系數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。由于將滲透系數(shù)作為隨機(jī)場(chǎng)，空間2個(gè)位置上的滲透系數(shù)值之間有一定程度的相關(guān)性，本文采用指數(shù)模型來(lái)描述這種相關(guān)性，即

ρ(τ)=e-2|τ|/θk。

(6)

式中:τ是兩點(diǎn)之間的位置向量；θk是相關(guān)距離。

包承綱等[14]研究表明，對(duì)于一般的沉積土層，垂直相關(guān)距離約在0.2～2.0 m之間，而水平方向的相關(guān)距離可達(dá)到20～50 m。本文分析中，垂直方向和水平方向的相關(guān)距離分別取為1.5 m和30 m。

4.2 滲透系數(shù)隨機(jī)場(chǎng)分布

對(duì)滲透系數(shù)隨機(jī)場(chǎng)和滲流場(chǎng)進(jìn)行了5 000次抽樣模擬，圖2為其中一次滲透系數(shù)抽樣的空間分布。

圖2 滲透系數(shù)空間分布的一次抽樣模擬

由圖2可見(jiàn)，計(jì)算域內(nèi)各單元上的滲透系數(shù)值均有所差異，體現(xiàn)了滲透性的空間變異，而傳統(tǒng)的確定性滲流計(jì)算都將同一土層視為均質(zhì)體，滲透系數(shù)作為常數(shù)，無(wú)法反映土體固有的空間變異性。圖2中的滲透系數(shù)并不是雜亂無(wú)章的堆砌，而是滿足一定的概率分布和空間相關(guān)性，在本文中采用了對(duì)數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)結(jié)構(gòu)模型，對(duì)于不同的問(wèn)題也可根據(jù)具體試驗(yàn)資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

對(duì)于滲透系數(shù)隨機(jī)場(chǎng)的每一次抽樣，即認(rèn)為是對(duì)計(jì)算域內(nèi)土體滲透系數(shù)空間分布的一次預(yù)測(cè)，以此作為模型輸入所進(jìn)行的滲流模擬，就是對(duì)該區(qū)域內(nèi)滲流場(chǎng)可能出現(xiàn)結(jié)果的一次預(yù)估。圖2中給出了相應(yīng)的浸潤(rùn)線和等勢(shì)線計(jì)算結(jié)果。由于每次的滲透系數(shù)分布都不一樣，故每次的滲流模擬結(jié)果也有一定的差異。對(duì)于少量次數(shù)的抽樣模擬，無(wú)法說(shuō)明哪一次的計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確。那么對(duì)隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行大量抽樣，然后對(duì)所有結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得出滲流模擬結(jié)果的均值和方差等統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)一步可以計(jì)算滲流模擬結(jié)果出現(xiàn)的概率，并以此進(jìn)行可靠性分析，以使計(jì)算分析在統(tǒng)計(jì)意義上更準(zhǔn)確。

4.3 抽樣次數(shù)對(duì)隨機(jī)模擬收斂性的影響

為了檢驗(yàn)?zāi)M結(jié)果的收斂性，統(tǒng)計(jì)堤內(nèi)腳下方人工填土的水頭均值和方差，如圖3所示，其中橫坐標(biāo)表示統(tǒng)計(jì)計(jì)算的抽樣數(shù)，采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)。

圖3 水頭均值和方差統(tǒng)計(jì)結(jié)果隨抽樣次數(shù)的變化

由圖3可見(jiàn)，水頭均值和方差在模擬次數(shù)較少時(shí)具有較大的波動(dòng)性，隨著模擬次數(shù)的增加，水頭的統(tǒng)計(jì)值逐漸趨于穩(wěn)定，水頭均值比方差收斂得要快。

堤內(nèi)腳縱向軸線上的水頭均值和方差分布如圖4所示。水頭均值除在接近堤腳位置有所減小其余位置幾乎為常數(shù)，該軸線基本上是一條等勢(shì)線。由于在滲流計(jì)算中堤腳作為出逸邊界條件處理，水頭是確定性的量，因此該處的水頭方差為0，而在堤基下部土層中水頭方差近似為常數(shù)。水頭均值和水頭方差的分布基本上呈對(duì)應(yīng)關(guān)系，說(shuō)明水頭分布的變異性與滲流場(chǎng)分布有較大相關(guān)性。

圖4 堤內(nèi)腳縱向軸線上水頭均值和方差分布

由于堤基土體臨界比降的空間變異性統(tǒng)計(jì)資料尚不多見(jiàn)，考慮到隨機(jī)場(chǎng)可以看作是空間上不同位置的隨機(jī)變量的集合體，對(duì)于計(jì)算域內(nèi)某一確定的位置，隨機(jī)場(chǎng)退化為隨機(jī)變量，因此本次將堤腳處的臨界比降作為隨機(jī)變量，也認(rèn)為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，由此可對(duì)堤腳處的臨界比降進(jìn)行抽樣模擬，同時(shí)聯(lián)合滲流場(chǎng)模擬得到的滲透比降，統(tǒng)計(jì)計(jì)算堤基滲透失穩(wěn)概率。

圖5 堤基滲透失穩(wěn)概率隨抽樣次數(shù)的變化

圖5為不同抽樣次數(shù)下的滲透失穩(wěn)概率計(jì)算值，隨模擬次數(shù)的增加，堤基滲透失穩(wěn)概率趨向收斂于11.7%。

采用確定性滲流模型對(duì)上述算例進(jìn)行計(jì)算，堤腳出逸比降達(dá)到0.42，小于其允許比降0.56，由此可能認(rèn)為堤基沒(méi)有滲透穩(wěn)定問(wèn)題。從可靠度理論出發(fā)，堤防發(fā)生滲透失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)是存在的，但是具有一定的出現(xiàn)概率，因此，采用失穩(wěn)概率作為安全評(píng)價(jià)依據(jù)具有一定科學(xué)性。需要指出的是，本文沒(méi)有考慮洪水出現(xiàn)的概率，而將上游水位作為確定值，因此計(jì)算結(jié)果應(yīng)該視為設(shè)計(jì)洪水位下堤防滲透失穩(wěn)的條件概率。

圖6 滲透失穩(wěn)概率隨滲透系數(shù)變異系數(shù)的變化

4.4 隨機(jī)參數(shù)對(duì)滲透失穩(wěn)概率的影響

滲透失穩(wěn)概率隨滲透系數(shù)的變異系數(shù)的變化如圖6所示，隨著變異系數(shù)的增大，滲透失穩(wěn)概率基本呈線性增長(zhǎng)。滲透系數(shù)的變異性越大，土層的滲透性能越不均勻，土層中滲透比降的空間分布也越不均勻，可能造成局部滲流集中現(xiàn)象，從而導(dǎo)致滲透失穩(wěn)概率增加。

圖7給出了滲透失穩(wěn)概率隨臨界比降變異系數(shù)變化的情況。由圖7可見(jiàn)，滲透失穩(wěn)概率隨變異系數(shù)的增大而增大，但增加幅度隨變異系數(shù)的增加逐漸變緩。臨界比降的變異性越大，土層的抗?jié)B性能越不均勻，在土層的薄弱環(huán)節(jié)可能造成局部滲流集中現(xiàn)象，從而導(dǎo)致滲透失穩(wěn)概率增加。

圖7 滲透失穩(wěn)概率隨臨界比降變異系數(shù)的變化

5 結(jié) 論

(1)將滲透系數(shù)作為隨機(jī)場(chǎng)，使得土性的空間變異性在工程滲流計(jì)算分析中能夠較好體現(xiàn)。本文研究了考慮土體滲透系數(shù)空間變異性的堤防滲透穩(wěn)定分析方法，可為堤防工程風(fēng)險(xiǎn)管理提供有效分析工具。

(2)結(jié)合堤防實(shí)例計(jì)算分析表明，隨著滲透系數(shù)或臨界比降的變異系數(shù)的增大，滲透失穩(wěn)概率不斷增大。這主要是由于土體空間變異性越大，其滲透性或抗?jié)B強(qiáng)度的不均勻程度越大，容易造成局部滲流集中現(xiàn)象，從而引發(fā)堤基管涌等險(xiǎn)情。