陳孟臻

摘? 要：在四旋翼無人機飛行控制環(huán)路中，歐拉角便于終端輸出，適合人的直觀觀察和理解，方便人為調(diào)整姿態(tài)控制參數(shù)，進而調(diào)整四旋翼飛行姿態(tài)，但是占用內(nèi)存較大。而四元數(shù)占用內(nèi)存少，且方便在環(huán)路控制中實現(xiàn)插值操作，因此可提高機器運算速度，實現(xiàn)快速參數(shù)設定，因此研究四元數(shù)與歐拉角之間的轉換方式具有一定的研究意義。

關鍵詞：無人機;姿態(tài);四元數(shù);歐拉角

1 四元數(shù)

四元數(shù)（Quaternions）是簡單的超復數(shù)，由愛爾蘭數(shù)學家哈密頓在1843年提出的數(shù)學概念，總所周知復數(shù)是由實數(shù)加上虛數(shù)單位i組成，其中。相似地，四元數(shù)都是由實數(shù)加上三個虛數(shù)單位i、j、k 組成，而且它們有如下的關系：

四元數(shù)一般可表示為a+bi+cj+dk，其中a、b、c、d是實數(shù)，稱為四元數(shù)的模。為了說明是a+bi+cj+dk怎么和三維旋轉結合在一起的，使用如下式子來表示一個四元數(shù)：

q =（x，y，z），w）=（v，w），其中：其中v是向量，w是實數(shù)。使用一個四元數(shù)：，來執(zhí)行一個旋轉，即把空間中一個P點繞著單位向量軸u=（x，y，z）表示旋轉軸旋轉角度θ，當把P點擴展到四元數(shù)空間，即p=（P，0），旋轉后新的點對應的新坐標為：。

2.從歐拉角到四元數(shù)

歐拉旋轉是最接近自然理解的一種旋轉方式，日常生活中常這些軸稱為前、后、左、右、上、下、這意味著在旋轉之前需要指明一個順序。其按照一定的坐標軸順序（例如先x、再y、最后z）、每個軸旋轉一定角度來變換坐標或向量，它實際上是一系列坐標軸旋轉的組合。給定一個旋轉順序（例如z、x、y），以及它們對應的旋轉角度（φ，θ，ψ），不同的坐標選擇結果不一樣。歐拉旋轉的數(shù)學實現(xiàn)常見使用3×3矩陣：

在四旋翼無人機飛行控制中，規(guī)定航空次序歐拉角為：Z軸（yaw，ψ），Y軸（pitch，θ），X軸（roll，φ），其中，pitch是圍繞X軸旋轉，也叫做俯仰角;yaw是圍繞Y軸旋轉，也叫偏航角;roll是圍繞Z軸旋轉，也叫翻滾角。導航坐標系（N系）X軸指向正東方向，機頭也朝向正東方向;導航坐標系Y軸指向正北方向，機左翼指向正北方向;導航坐標系Z軸垂直地表指向天空，垂直機體指向天空。每個軸都以逆時針旋轉的角度為正角度。

3.結束語

歐拉角容易理解，也有利于將旋轉分解為單個自由度，但按歐拉角旋轉時，必須做三次旋轉并將它們相乘，內(nèi)存消耗大。在實踐中使用四元數(shù)更高效，因為四元數(shù)只是一個旋轉，同時計算機已經(jīng)編碼了正弦值和余弦值，因此它更便于計算機進行運算，解決了歐拉角運算速度的問題，所以從四元數(shù)到矩陣的轉換是非常有效的。

參考文獻

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