江衛(wèi)華 韓晴晴 楊君霞

摘 要：為了進(jìn)一步研究非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的性質(zhì)，討論了帶有變號(hào)非線性項(xiàng)的（n-1，1）分?jǐn)?shù)階微分方程特征值問題正解的存在性，其中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是Riemann-Liouville型。首先利用給定邊值問題的Green函數(shù)，將微分方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程，然后在非線性項(xiàng)f（t，x）滿足Caratheodory條件（即任意選取變量x，非線性項(xiàng)f（t，x）為可測(cè)函數(shù)，對(duì)（0，1）區(qū)間內(nèi)幾乎所有t，非線性項(xiàng)f（t，x）為x的連續(xù)函數(shù)）下。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腂anach空間，運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理和Leray-Schauder非線性抉擇得出邊值問題正解存在的充分條件。結(jié)果表明，非線性項(xiàng)f（t，x）中的t可以在（0，1）區(qū)間內(nèi)任何點(diǎn)處具有奇性，同時(shí)還改變了使邊值問題的解存在的特征值λ的取值范圍。研究結(jié)果為現(xiàn)存結(jié)論的深入研究打下了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：常微分方程;不動(dòng)點(diǎn)定理;巴拿赫空間;格林函數(shù);正解;分?jǐn)?shù)階微分方程

中圖分類號(hào)：O175.8?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-1542（2019）04-0294-07

近年來，隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在物理、化學(xué)、工程等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，越來越多的學(xué)者意識(shí)到了它的重要性[1-7]，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題正解的存在性的研究成為熱點(diǎn)問題之一[8-24]。

3?結(jié)?論

筆者分別運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理和Leray-Schauder非線性抉擇，在非線性項(xiàng)f（t，x）不是連續(xù)函數(shù)的情況下，給出了具有特征值的分?jǐn)?shù)階微分方程兩點(diǎn)邊值問題正解存在的充分條件。使得非線性項(xiàng)f（t，x）中的t可以在（0，1）區(qū)間內(nèi)任何點(diǎn)處具有奇性，同時(shí)還改變了使邊值問題的解存在的特征值λ的取值范圍。研究結(jié)果為現(xiàn)存結(jié)論的深入研究打下了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)/References：

[1]?鐘承奎.非線性泛函分析引論[M]. 蘭州：蘭州大學(xué)出版社，2004.

[2]?鄭祖庥.分?jǐn)?shù)微分方程的發(fā)展和應(yīng)用[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，26（2）：1-10.

ZHENG Zuxiu.On the development and applications of fractional differential equations [J]. Journal of Xuzhou Normal University（Natural Science Edition），2008，26（2）：1-10.

[3]?王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]?蘇新衛(wèi)，穆曉霞.非線性分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性和唯一性[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，34（4）：9-12.

SU Xinwei， MU Xiaoxia. Existence and uniqueness of positive solutions for a system of nonlinear fractional differential equations [J]. Journal of Henan Normal University （Natural Science），2006，34（4）：9-12.

[5]?EIDELMAN S D， KOCHUBEI A N. Cauchy problem for fractional diffusion equations [J].Journal of Differential Equations，2004，199（2）：211-255.

[6]?BAI Zhanbing，GE Weigao，WANG Yifu. The method of lower and upper solutions for some fourth-order equations[J]. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics， 2004， 5（1）：124-131.

[7]?KILBAS A A， TRUJILLO J J. Differential equations of fractional order： Methods， results and problems.Ⅱ[J].Applicable Analysis， 2002， 81（2）：435-493.

[8]?YUAN C. Multiple positive solutions for （n-1，1）-type semipositione conjugate boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations， 2010，36：1-12.

[9]?劉靜.幾類非線性項(xiàng)變號(hào)的微分方程邊值問題解的存在性[D]. 曲阜：曲阜師范大學(xué)，2012.

LIU Jing. Existence of Solutions for Boundary Value Problems of Differential Equations with Several Kinds of Nonlinear Term Variations[D]. Qufu： Qufu Normal University，2012.

[10]王亞平，劉立山，吳永洪.帶有Riemann-Stieltjes積分邊界條件的非線性奇異分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2017，40（5）：752-769.

WANG Yaping， LIU Lishan， WU Yonghong. Existence of multiplicity of positive solutions for nonlinear singular fractional differential equation with Riemann-Stieltjes integral boundary conditions[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2017，40（5）：752-769.

[11]江衛(wèi)華，陳靜，郭彥平.具有變號(hào)非線性項(xiàng)的二階三點(diǎn)微分方程組的邊值問題的2組正解[J].中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，12（1）：95-98.

JIANG Weihua， CHEN Jing， GUO Yanping. Two positive solutions to a second-order and three-point boundary value problem with sign changing nonlinear term[J]. Journal of China Agricultural University，2007，12（1）：95-98.

[12]江衛(wèi)華，張強(qiáng)，郭巍巍.具有變號(hào)非線性項(xiàng)的脈沖微分方程邊值問題的正解[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34（1）：1-6.

JIANG Weihua， ZHANG Qiang， GUO Weiwei. Positive solutions of the boundary value problem for impulsive differential equations with sign-changing nonlinearterm[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology，2013，34（1）：1-6.

[13]姚慶六.帶變號(hào)系數(shù)的非線性二階兩點(diǎn)邊值問題的正解[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2007，39（1）：6-11.

YAO Qingliu. Positive solutions of a nonlinear second-order two-point boundary value problems with coefficient that changes sign[J]. Journal of Zhengzhou University （Natural Science Edition），2007，39（1）：6-11.

[14]杜睿娟.共振情形下二階多點(diǎn)邊值問題解的存在性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2015，45（24）：272-278.

DU Ruijuan. Existence of solutions for second-order multi-point boundary value problems at resonance[J]. Mathematics in Practice and Theory，2015，45（24）：272-278.

[15]田元生，李小平，葛渭高. p-Laplacian分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2018，41（4）：529-539.

TIAN Yuansheng， LI Xiaoping， GE Weigao. Existence of positive solutions to boundary value problems of fractional differential equation with p-Laplacian[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2018，41（4）：529-539.

[16]王威璇，翟成波.無窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)階微分方程m-點(diǎn)邊值問題的正解[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2018，56（6）：1315-1323.

WANG Weixuan， ZHAI Chengbo. Positive solutions of m-point boundary value problems for fractional differential equations on infinite intervals [J].Journal of Jilin University （Science Edition），2018，56（6）：1315-1323.

[17]廖秀，韋煜明，馮春華.一類無窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2018，56（6）：1299-1306.

LIAO Xiu， WEI Yuming， FENG Chunhua. Existence of positive solutions for a class of boundary value problems of fractional differential equations on infinite interval[J]. Journal of Jilin University （Science Edition），2018，56（6）： 1299-1306.

[18]劉元彬，梅雪暉，胡衛(wèi)敏.含p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程邊值問題的解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2018，48（20）：202-211.

LIU Yuanbin， MEI Xuehui， HU Weimin. Solutions of boundary value problems of fractional impulsive differential equations with p-Laplacian operator[J]. Mathematics in Practice and Theory，2018，48（20）：202-211.

[19]黃燕萍，韋煜明.一類分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問題的多解性[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，36（3）：41-49.

HUANG Yanping， WEI Yuming. Multiple solutions of multiple-points boundary value problem for a class of fractional differential equation[J]. Journal of Guangxi Normal University （Natural Science Edition），2018，36（3）：41-49.

[20]宋姝，周碧波，張玲玲.一類Caputo分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程的反周期邊值問題[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，39（4）：391-396.

SONG Shu， ZHOU Bibo， ZHANG Lingling. The anti-periodic boundary value problems for a class of impulsive differential equations of Caputo fractional order[J]. Journal of North University of China（Natural Science Edition），2018，39（4）：391-396.

[21]陳會(huì).非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，17（3）：205-211.

CHEN Hui. Existence of solutions for boundary value problems with nonlinear fractional differential equations[J]. Journal of Huaiyin Teachers College（Natural Science Edition），2018，17（3）：205-211.

[22]杜煒，許和乾.一類具有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，17（3）：189-193.

DU Wei， XU Heqian. Existence of positive solutions for boundary value problem with p-Laplacian operators of fractional differential equations[J]. Journal of Huaiyin Teachers College（Natural Science Edition），2018，17（3）：189-193.

[23]JIANG Weihua， SUN Bingzhi. Existence of solutions for functional boundary value problems of second-order nonlinear differential equations system at resonance[J]. Advances in Difference Equations， 2017， 2017（1）：269.

[24]CHEN Yi， TANG Xianhua. Positive solutions of fractional differential equations at resonance on the half-line[J]. Boundary Value Problems， 2012，2012： 64.