王懷志，于開(kāi)平，張宗強(qiáng)，曾耀祥，王 旭

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱 150001；2.西安航天動(dòng)力測(cè)控技術(shù)研究所，西安 710025；3.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

火箭等飛行器在工作段要受到高頻、高聲壓級(jí)的外界環(huán)境噪聲作用，這對(duì)儀器艙以及其內(nèi)部有效載荷會(huì)產(chǎn)生很大影響，因此采用合適的方法對(duì)飛行器進(jìn)行中高頻的振動(dòng)環(huán)境預(yù)示是一項(xiàng)非常有意義的工作。目前對(duì)于中高頻的聲振環(huán)境預(yù)示，尤其是復(fù)雜結(jié)構(gòu)的預(yù)示，采用最多的是統(tǒng)計(jì)能量分析方法(Statistical Energy Analysis,SEA)，但是該方法由于對(duì)響應(yīng)進(jìn)行了空間平均無(wú)法得到結(jié)構(gòu)局部或者關(guān)注位置的響應(yīng)預(yù)示結(jié)果，目前有一些研究來(lái)解決SEA方法的上述缺陷，能量有限元方法就是其中的一種。

EFEA(Energy Finite Element Analysis)最早衍生于功率流類方法[1]，Nefske等[2]最早運(yùn)用波動(dòng)理論建立了簡(jiǎn)單梁結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程，Wohlever等[3-6]研究并得到了桿、梁、板以及膜的能量有限元控制方程，Cho等[7]提出了將能量有限元方法應(yīng)用于包括板、膜、聲場(chǎng)的耦合振動(dòng)系統(tǒng)的思路，Zhang等[8-9]對(duì)周期加筋板和圓柱殼問(wèn)題進(jìn)行了研究，解妙霞等[10]推導(dǎo)了圓柱殼的在彎曲振動(dòng)下能量密度平衡方程，Yan[11]得到了復(fù)合材料層合板的能量有限元控制方程，Kong等[12]推導(dǎo)得出了能量有限元方法求解的上限頻率，Wang等[13]得到了板在考慮熱效應(yīng)下的能量有限元方法。此外，EFEA方法也在商業(yè)軟件中得到一定的關(guān)注，如MSC公司的Nastran軟件集成了EFEA分析模塊，可通過(guò)修改bdf卡片進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的聲振耦合分析[14-15]。

目前能量有限元方法在國(guó)內(nèi)也得到了一些應(yīng)用，如孫麗萍等[16]將某護(hù)衛(wèi)艦的機(jī)座結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化然后采用能量有限元方法進(jìn)行了相關(guān)的研究，徐?；踇17]采用能量有限元方法研究了齒輪箱結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，林毅[18]將某導(dǎo)彈艙體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化并進(jìn)行了研究。

對(duì)于儀器艙的振動(dòng)環(huán)境預(yù)示，目前一般采用SEA方法進(jìn)行相關(guān)的聲振環(huán)境預(yù)示，如劉小平[19]對(duì)某飛行器駕駛儀艙采用SEA方法進(jìn)行了預(yù)示，孫目等[20]采用SEA方法對(duì)某導(dǎo)彈儀器艙進(jìn)行了振動(dòng)環(huán)境預(yù)示并得到符合工程要求的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，曾耀祥等[21]采用SEA對(duì)某火箭儀器艙進(jìn)行了分析并對(duì)結(jié)構(gòu)的內(nèi)損耗因子進(jìn)行了修正。

總的來(lái)說(shuō)，能量有限元在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用還十分有限，尤其是對(duì)于航天領(lǐng)域的復(fù)雜結(jié)構(gòu)如儀器艙結(jié)構(gòu)的應(yīng)用還尚未見(jiàn)到，本文針對(duì)某儀器艙結(jié)構(gòu)，基于能量有限元方法，建立了其EFEA模型，并借助于NASTRAN的EFEA模塊，對(duì)該復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)環(huán)境預(yù)示，并得到了符合預(yù)期的預(yù)示結(jié)果。

1 板的能量有限元理論

對(duì)于一般的薄板結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)方程可以表述為

(1)

(2)

對(duì)于板來(lái)說(shuō)，其彎矩和剪力可以表述為

(3)

對(duì)于式(1)來(lái)說(shuō)，其通解可以寫為

wff=(A1e-jKxx+B1ejKxx)×
(A2e-jKyy+ByejKyy)ejωt

(4)

系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能以及動(dòng)能密度分別為

(5)

(6)

e=T+V

(7)

兩個(gè)方向的功率流可以表述為

(8)

(9)

首先對(duì)能量密度以及功率流做單位周期內(nèi)時(shí)間上的平均得到平均后的能量密度〈e〉和平均后的功率流〈q〉，然后分別對(duì)〈e〉和〈q〉在單位波長(zhǎng)內(nèi)進(jìn)行平均，根據(jù)由以上公式，可以得到系統(tǒng)的動(dòng)能密度和功率流的表達(dá)式為

(10)

(11)

(12)

在穩(wěn)態(tài)下，單元體的能量流平衡方程[22]為

(13)

(14)

根據(jù)Galerkin加權(quán)余量方法，可以得到能量有限元方法的方程

[Ke]{ee}+{Qe}={Fe}

(15)

假設(shè)權(quán)函數(shù)為Ni(i=1,…,m)，則

(16)

(17)

而{Qe}則代表了從單元邊界上流出的能量，根據(jù)邊界上的功率流平衡[23]，可以得到

{Qe}=[JCe]{ee}

(18)

式中：[JCe]的表達(dá)式為[24]

(19)

2 儀器倉(cāng)的EFEA建模

EFEA同時(shí)兼具有限元以及SEA的一些特性，在建模步驟上，EFEA需要先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元網(wǎng)格的劃分，建立耦合連接等，而結(jié)構(gòu)材料屬性和參數(shù)則與SEA對(duì)材料參數(shù)的定義保持一致。據(jù)此，能量有限元的建模分析的基本流程，如圖1所示。

圖1 EFEA分析流程圖Fig.1 EFEA analysis flow chart

2.1 結(jié)構(gòu)及能量流動(dòng)關(guān)系

本文中分析對(duì)象為某飛行器的儀器艙，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。該儀器艙由艙段和六個(gè)氣瓶組成，氣瓶通過(guò)支架連接在加強(qiáng)框上，加強(qiáng)框與艙段直接連接，蒙皮結(jié)構(gòu)為加筋板，蒙皮上有兩個(gè)艙門結(jié)構(gòu)，其中相對(duì)較大的為蜂窩板結(jié)構(gòu)，另外一個(gè)為化銑的鋁合金口蓋，氣瓶部分為復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)。

圖2 儀器艙幾何模型Fig.2 The geometric model of the instrument cabin

對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行能量傳遞的分析，可以得到各個(gè)子系統(tǒng)之間的能量傳遞關(guān)系，如圖3所示。

圖3 子系統(tǒng)間的能量流動(dòng)示意圖Fig.3 The schematic diagram of the energy flow during subsystems

在上述傳輸路徑分析中，未標(biāo)注子系統(tǒng)內(nèi)部的能量損耗。

2.2 能量有限元模型

在實(shí)驗(yàn)中，儀器艙由鑄鋁的支座支撐，并在上下口處用木蓋板封閉。將結(jié)構(gòu)進(jìn)行能量有限元建模，得到結(jié)構(gòu)模型如圖4所示。

圖4 儀器艙有限元模型Fig.4 The finite element model of the instrument cabin

對(duì)結(jié)構(gòu)的能量有限元建模需要注意的問(wèn)題包括以下幾個(gè)方面：

(1)對(duì)于氣瓶的簡(jiǎn)化，其簡(jiǎn)化過(guò)程為，保留氣瓶的直徑特征，將氣瓶簡(jiǎn)化為圓柱體，在質(zhì)量等效的前提下，確定氣瓶的長(zhǎng)度，簡(jiǎn)化了兩端的半球狀部分，對(duì)于氣瓶支架，從結(jié)構(gòu)上來(lái)說(shuō)，氣瓶與支架之間等效與固接，因此將氣瓶支架直接與氣瓶采用固接的方式，據(jù)此建立的氣瓶模型如圖5所示。需要注意的是，這種簡(jiǎn)化思路下，支架部位的耦合損耗因子需要較為精確的測(cè)量。

圖5 氣瓶結(jié)構(gòu)的建模Fig.5 Modeling the cylinder structure

(2)聲腔與結(jié)構(gòu)部分的耦合在模型層面上即為有限元模型節(jié)點(diǎn)的耦合，因此在劃分有限元網(wǎng)格的時(shí)候需要將結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格和聲腔的網(wǎng)格在接觸面上劃分的完全一致(即節(jié)點(diǎn)位置重復(fù)但不相同)，這樣耦合連接生成程序會(huì)自動(dòng)將結(jié)構(gòu)和聲腔連接部分建立相應(yīng)的耦合連接。

(3)加筋板以及加強(qiáng)框部分的建模與有限元中類似，即簡(jiǎn)化為梁或殼單元。

(4)對(duì)于網(wǎng)格劃分，結(jié)構(gòu)部分采用三角形單元單元網(wǎng)格，聲腔部分使用四面體單元單元網(wǎng)格。這種網(wǎng)格劃分方法主要是考慮到結(jié)構(gòu)和聲腔系統(tǒng)之間耦合連接的生成需要對(duì)應(yīng)位置節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

(5)在結(jié)構(gòu)中，艙段為加筋板結(jié)構(gòu)，采用EFEA的加筋板屬性進(jìn)行建模，口蓋為蜂窩板結(jié)構(gòu)，采用蜂窩板等效理論，將口蓋簡(jiǎn)化為正交各向異性板，賦予正交各向異性的屬性。

(6)氣瓶部分為復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)，采用NASTRAN的EFEA模塊的復(fù)合材料卡片賦予結(jié)構(gòu)復(fù)合材料層合板屬性。

蒼頡作書，史皇作圖，容成作歷，大撓作甲子，羲和作占日，恒羲作占月，后益作占?xì)q，隸首作數(shù)，燧人氏鉆木出火，黃帝作火食，神農(nóng)作耒，古者垂作耒耜，黃帝作冕，神農(nóng)作琴，蚩尤作兵……[注]孫馮翼：《世本八種》，北京：中華書局，2008年，第3頁(yè)。

在建完有限元模型以后，為了得到能直接使用NASTRAN的EFEA模塊進(jìn)行分析的模型，還需要對(duì)上述有限元模型生成的bdf文件進(jìn)行修改，具體修改的部分包括：

(1)用SUBCASE添加工況ID；

(2)利用PWAVE命令添加外部的擴(kuò)散場(chǎng)，來(lái)模擬混響場(chǎng)激勵(lì)；

(3)通過(guò)FREQ命令添加分析頻帶；

(4)用MPALTE添加各向同性材料，MAT12添加正交各向異性材料等，用PLATE賦予結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的材料屬性；

(5)用PACOUS定義聲腔的屬性；

(6)用DTABLE定義與頻帶相關(guān)的表，與材料參數(shù)隨頻率變化關(guān)系一致；

具體參數(shù)的定義可以參考NASTRAN對(duì)應(yīng)的EFEA模塊的幫助手冊(cè)。

2.3 統(tǒng)計(jì)能量模型

將建立的有限元模型導(dǎo)入VA One軟件中，并綜合考慮結(jié)構(gòu)的能量傳輸路徑(見(jiàn)圖3)，建立統(tǒng)計(jì)能量模型如圖6所示。

圖6 儀器艙的SEA模型Fig.6 The SEA model of the instrument cabin

在模型中，外部艙段、儀器艙蓋、上下蓋板等子系統(tǒng)與半無(wú)限大聲場(chǎng)連接，以模擬儀器艙與外部聲場(chǎng)之間的能量輻射，混響場(chǎng)激勵(lì)采用VA one中的散射場(chǎng)進(jìn)行建模。

該模型由EFEA模型劃分的有限元網(wǎng)格導(dǎo)入，其材料、載荷和內(nèi)損耗因子設(shè)置與EFEA完全一致。

3 響應(yīng)預(yù)示結(jié)果

在EFEA與SEA中，一個(gè)重要的參數(shù)就是結(jié)構(gòu)(子系統(tǒng))的阻尼損耗因子，該參數(shù)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式測(cè)得，在本模型中，結(jié)構(gòu)的內(nèi)損耗因子設(shè)置參考了曾耀祥研究中的公式。

耦合損耗因子等參數(shù)分別由VA One和EFEA程序進(jìn)行自動(dòng)求出，VA One和EFEA程序在進(jìn)行計(jì)算耦合損耗因子采用的算法是相同的，因此可以保證耦合損耗因子的一致性。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，結(jié)構(gòu)置于混響場(chǎng)內(nèi)，其聲壓級(jí)的頻帶分布如圖7所示。

圖7 結(jié)構(gòu)所受到的外部激勵(lì)的聲壓級(jí)Fig.7 The sound pressure level of the external excitation acting on the structure

將建立的能量有限元模型，利用NASTRAN的EFEA模塊進(jìn)行分析，可以得到結(jié)構(gòu)的能量密度分布以及聲腔的聲壓級(jí)分布。

取采用EFEA預(yù)示的內(nèi)部聲腔的聲壓級(jí)結(jié)果，與SEA的預(yù)示結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行比較，得到圖8所示的結(jié)果。其中EFEA取與測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置的聲壓級(jí)，而SEA只能得到整個(gè)聲腔的平均聲壓級(jí)響應(yīng)。

圖8 實(shí)驗(yàn)與EFEA，SEA聲腔聲壓級(jí)對(duì)比Fig.8 Comparison during EFEA SEA and experimental data of the acoustic duck’s sound pressure level

通過(guò)圖8的比較可知，基于完全相同的模型，EFEA和SEA的結(jié)果整體上較為接近。而與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比，在63～2 000 Hz的頻域內(nèi)，EFEA的結(jié)果相比更接近于實(shí)測(cè)結(jié)果。在較低頻率時(shí)，兩種方法都產(chǎn)生了一定的誤差，這是由于在低頻時(shí)結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度很低，能量類方法在公式里引入了對(duì)空間和頻率的統(tǒng)計(jì)平均會(huì)引入較大誤差，本文的結(jié)果也進(jìn)一步證實(shí)了兩種方法不太適合作為低頻的預(yù)示方法。其中，能量有限元方法在高頻也產(chǎn)生了一定的誤差，這從實(shí)驗(yàn)角度驗(yàn)證了能量有限元方法在較高頻帶內(nèi)應(yīng)用的局限性。

在SEA中有一種根據(jù)帶寬內(nèi)的模態(tài)數(shù)N對(duì)中頻域進(jìn)行的定義[25]，即若系統(tǒng)的模態(tài)密度為n(f)，系統(tǒng)在帶寬Δf內(nèi)的模態(tài)數(shù)N(N=n(f)·Δf),則，當(dāng)N≤1時(shí)，系統(tǒng)為低頻域；當(dāng)N≥5時(shí)，系統(tǒng)為高頻域；當(dāng)1

對(duì)結(jié)構(gòu)部分的預(yù)示結(jié)果進(jìn)行處理，可以得到關(guān)注部位氣瓶的加速度響應(yīng)的均方根值，如表1所示。

表1 氣瓶的加速度均方根值Tab.1 The acceleration’s RMS of the gas cylinder g

實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與EFEA方法以及SEA方法的結(jié)果對(duì)比，如圖9所示。

圖9 氣瓶加速度均方根值對(duì)比Fig.9 The acceleration’s RMS of the gas cylinder

從理論上來(lái)說(shuō)，SEA方法計(jì)算耗時(shí)取決于子系統(tǒng)的個(gè)數(shù)與計(jì)算的頻帶個(gè)數(shù)，而EFEA計(jì)算的時(shí)間消耗則與結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目相關(guān)，表2給出了對(duì)于三種尺度模型的兩種方法計(jì)算耗時(shí)的比較。

表 2 兩種方法計(jì)算耗時(shí)比較Tab.2 Comparison of the time cost between two methods

通過(guò)對(duì)兩種方法計(jì)算耗時(shí)的比較可知，在本文中，如果不考慮軟件的響應(yīng)時(shí)間以及計(jì)算設(shè)備硬件的影響，SEA方法計(jì)算耗時(shí)取決于子系統(tǒng)的個(gè)數(shù)，而EFEA則與結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目關(guān)系很大，且隨著結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加以及結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的增加，計(jì)算時(shí)間增加很大。

在響應(yīng)結(jié)果比較中，SEA方法得到的是氣瓶子系統(tǒng)的整體平均響應(yīng)信息，而EFEA方法可以得到響應(yīng)的空間分布，這里取了實(shí)測(cè)點(diǎn)最接近節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)結(jié)果。通過(guò)圖9的比較可知，在結(jié)構(gòu)加速度的預(yù)示上，EFEA的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值的誤差基本保持在10%以內(nèi)，相對(duì)于SEA的結(jié)果，除了個(gè)別位置，能量有限元方法預(yù)示的結(jié)果更接近于實(shí)測(cè)值，且考慮到EFEA可以得到結(jié)構(gòu)的能量密度以及均方根速度分布，因此可以更好的對(duì)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)環(huán)境的預(yù)示工作。

圖10給出了響應(yīng)的云圖分布，在實(shí)際處理時(shí)生成云圖需要借助PATRAN的后處理模塊。

圖10 均方根速度分布云圖(去掉頂蓋)Fig.10 The distribution of the structural velocity’s RMS

4 結(jié) 論

建立了某儀器艙結(jié)構(gòu)的能量有限元模型，并采用NASTRAN的EFEA模塊對(duì)其進(jìn)行了振動(dòng)環(huán)境的預(yù)示，建立了相應(yīng)的SEA模型，并將EFEA，SEA方法的預(yù)示結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，能量有限元方法在一定的頻段內(nèi)可以對(duì)結(jié)構(gòu)較好的預(yù)示，而且在該頻段內(nèi)，EFEA方法的結(jié)果相對(duì)SEA方法更接近于實(shí)測(cè)值，驗(yàn)證了EFEA方法存在預(yù)示的頻率上限，同時(shí)相比SEA方法，EFEA可以得到預(yù)示結(jié)果的空間分布。此外，本文給出了基于NASTRAN中EFEA模塊進(jìn)行能量有限元建模的方法，并將EFEA方法運(yùn)用到較為復(fù)雜的實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，這可以為后續(xù)該方法在航天工程中實(shí)際應(yīng)用提供一定的借鑒意義。