鄧小芳,高 銳,孫貴生

(1.貴州省電子信息技師學(xué)院 機(jī)械制造工程系,貴州 都勻 558000; 2.重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,重慶 401135)

隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展,并聯(lián)機(jī)械手被廣泛應(yīng)用于醫(yī)療、工程和航空等各個(gè)領(lǐng)域[1-2].并聯(lián)機(jī)械手的冗余一般分為運(yùn)動(dòng)冗余和驅(qū)動(dòng)冗余.當(dāng)機(jī)械手的移動(dòng)性大于所需的自由度時(shí)(Degree of Freedom,DOF),即為運(yùn)動(dòng)冗余.反之,當(dāng)機(jī)械手中的執(zhí)行器數(shù)目大于移動(dòng)性時(shí),即為驅(qū)動(dòng)冗余[3].然而,大多數(shù)的研究[4-5]都對(duì)驅(qū)動(dòng)冗余進(jìn)行了討論,在不增加移動(dòng)性的情況下,機(jī)械手控制的執(zhí)行器多于所需的執(zhí)行器.近年來,一些關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)冗余的研究已經(jīng)展開[6-7],這類冗余既可以提高機(jī)械手的靈活性,又可以擴(kuò)大機(jī)器人的工作空間.此外,通過有效地增加工作空間中的無奇異區(qū)域,運(yùn)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人被廣泛應(yīng)用于提高軌跡跟蹤性能.Wang等[8-9]研究了3種新型運(yùn)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人的奇異性,結(jié)果表明,與非冗余度機(jī)械手相比,無奇異結(jié)構(gòu)得到了明顯的改善.Cha等[10-11]提出了一種避免3-RRR機(jī)構(gòu)奇異性的運(yùn)動(dòng)冗余分解算法,并確定了給定軌跡處于無奇異區(qū)的運(yùn)動(dòng)冗余主動(dòng)移動(dòng)關(guān)節(jié)變量的允許范圍.大部分研究工作集中在運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)、工作空間和奇異性避免等方面,很少有作者研究運(yùn)動(dòng)冗余平面并聯(lián)機(jī)器人的受力能力.文獻(xiàn)[12-13]提出了一種在不考慮機(jī)械手路徑情況下,確定3-RPRR機(jī)械手受力能力的優(yōu)化方法,并與非冗余并聯(lián)機(jī)器人相比,取得了更好的效果.對(duì)此,為進(jìn)一步提高3-RPRR機(jī)械手的精確控制,減少末端執(zhí)行器的致動(dòng)力矩,本文對(duì)3自由度運(yùn)動(dòng)冗余3-PRRR平面并聯(lián)機(jī)械手進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,基于雅可比矩陣方法確定了各關(guān)節(jié)力矩的數(shù)學(xué)模型,為避免運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)奇點(diǎn),采用二進(jìn)制編碼遺傳算法對(duì)直線運(yùn)動(dòng)軌跡的機(jī)械手進(jìn)行了致動(dòng)力矩優(yōu)化.在Matlab/Simulink環(huán)境下對(duì)非冗余3-RRR機(jī)械手、1-DOKR、2-DOKR、3-DOKR冗余機(jī)械手進(jìn)行仿真和對(duì)比分析.仿真結(jié)果表明,采用冗余3-PRRR可有效避免奇點(diǎn)處的致動(dòng)力矩?zé)o限大問題,不同自由度下可進(jìn)一步減小致動(dòng)力矩的大小,實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)械手的平滑軌跡跟蹤.

1 3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

本文所研究的3自由度運(yùn)動(dòng)冗余3-PRRR平面并聯(lián)機(jī)械手可簡(jiǎn)化為如圖1所示的機(jī)械手構(gòu)形.該機(jī)構(gòu)由3條支鏈構(gòu)成,每條支鏈均由3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)和1個(gè)移動(dòng)副(P)組成,與基座固連的為驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副,與動(dòng)平臺(tái)(末端執(zhí)行器)相連的為被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副.移動(dòng)副沿著平臺(tái)上導(dǎo)軌AiOi(i=1,2,3)運(yùn)動(dòng),3個(gè)移動(dòng)副與水平面的夾角用αi(i=1,2,3)表示;最大允許移動(dòng)范圍用ρi表示.3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副之間通過驅(qū)動(dòng)連桿l1i(i=1,2,3)和被動(dòng)連桿l2i(i=1,2,3)相連,長(zhǎng)度均為l,兩連桿之間的角度用βi(i=1,2,3)表示,驅(qū)動(dòng)連桿與移動(dòng)副之間的角度表示為θi(i=1,2,3).

圖1 冗余3-PRRR機(jī)械手構(gòu)形Fig.1 Configuration of redundant 3-PRRR manipulator

如果點(diǎn)Ai與Oi(i=1,2,3)重合,則該構(gòu)造為非冗余3-RRR機(jī)械手.通過在3-RRR機(jī)械手的支臂上添加額外的移動(dòng)副關(guān)節(jié),推導(dǎo)出冗余3-PRRR機(jī)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu).增加的移動(dòng)副關(guān)節(jié)可以連接到任意的基關(guān)節(jié),運(yùn)動(dòng)冗余(1-DOKR)可在一定程度上減少3-RRR平面機(jī)械手的直接運(yùn)動(dòng)奇異點(diǎn)數(shù)[5].因此,在每種情況下,3-RRR機(jī)械手的每條分鏈都增加了一級(jí)運(yùn)動(dòng)冗余度,分別為1-DOKR，2-DOKR和3-DOKR.增加的運(yùn)動(dòng)冗余使機(jī)械手能夠避免運(yùn)動(dòng)奇異,提高操縱性,擴(kuò)大其可達(dá)的工作空間和靈巧度,并且減少執(zhí)行器靠近基座時(shí)重量導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)效應(yīng).

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)致動(dòng)力矩

雅可比矩陣表示了操作空間與關(guān)節(jié)空間之間速度與力的傳遞關(guān)系,是并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能分析與評(píng)價(jià)的基礎(chǔ).在分析冗余3-PRRR機(jī)械手構(gòu)形基礎(chǔ)上,為避免機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)奇異點(diǎn),采用雅可比矩陣方法獲得各關(guān)節(jié)力矩及驅(qū)動(dòng)力矩.

在靜態(tài)條件下,在機(jī)械手轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的速度已知時(shí),關(guān)節(jié)力/扭矩與末端執(zhí)行器之間的關(guān)系可表示為

(1)

對(duì)于式(1)中指定的末端執(zhí)行器作用力F,其廣義驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)力矩/力由下式給出:

(2)

2.1 非冗余3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣

首先對(duì)3-RRR非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了雅可比矩陣求解,在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)獲得3-PRRR冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣.

機(jī)械手雅可比矩陣的速度方程基于輸入q=[θ1,θ2,θ3]T(關(guān)節(jié)位移)和輸出x=[x,y,φ]T(末端執(zhí)行器姿態(tài))變量隨時(shí)間變化的微分非線性閉環(huán)方程f(q,x)=0獲得,可表示為

(3)

整體雅可比矩陣J可以表示為

(4)

式中:JX，Jq分別為正雅克比矩陣和逆雅克比矩陣.

在反位移[3]的基礎(chǔ)上,考慮圖1所示的非冗余3-RRR平面并聯(lián)機(jī)械手的幾何結(jié)構(gòu),通過定義沿遠(yuǎn)端連桿的單元矢量ni可獲得閉環(huán)方程.因此,每個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈都可以得到以下關(guān)系:

(5)

對(duì)式(5)的兩邊進(jìn)行平方并應(yīng)用余弦定律得

(6)

對(duì)式(6)求微分,可以獲得以下雅克比矩陣:

(7)

式中:Z為沿z方向的單位向量.

對(duì)機(jī)械手的3個(gè)支柱用矩陣形式表示為

(8)

上述式(8)類似于式(3),表示非冗余3-RRR平面并聯(lián)機(jī)械手的雅克比矩陣.

2.2 冗余3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣

基于3-RRR雅可比矩陣,根據(jù)圖1可獲得3-PRRR運(yùn)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)械手的閉環(huán)方程，即

對(duì)式(8)關(guān)于時(shí)間求微分,可以得到以下雅可比矩陣:

(11)

運(yùn)動(dòng)冗余機(jī)構(gòu)的所有3個(gè)支柱可以用矩陣形式表示為

1-DOKR:

(12)

2-DOKR:

(13)

3-DOKR:

(14)

式(12)～式(14)與式(3)類似,表示冗余3-PRRR平面并聯(lián)機(jī)械手的雅可比矩陣,并對(duì)雅可比矩陣進(jìn)行了維數(shù)均質(zhì)化[11].當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的速度已知時(shí),所建立的方程允許在非冗余和冗余的情況下，計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的速度.

3 遺傳算法優(yōu)化

根據(jù)上文得到的關(guān)節(jié)力矩變化矩陣,從而得到移動(dòng)關(guān)節(jié)力矩位置變化.同時(shí),為了能夠確定關(guān)節(jié)最佳運(yùn)動(dòng)位置,使得受可變約束的執(zhí)行器的力矩最小化,本文采用遺傳算法來實(shí)現(xiàn)最佳運(yùn)動(dòng)位置的優(yōu)化.通過采用遺傳算法中二進(jìn)制編碼字符串,以最小容錯(cuò)作為終止準(zhǔn)則,以最小化關(guān)節(jié)力矩作為優(yōu)化目標(biāo),獲得最佳的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)位置.

最小化關(guān)節(jié)力矩作為優(yōu)化的目標(biāo),根據(jù)第2部分力矩的求解方法,可將其表示為

(15)

關(guān)節(jié)移動(dòng)過程中,受到約束主要為機(jī)械手各關(guān)節(jié)連接的連桿之間是否存在軌跡干涉,約束條件可表示為

(16)

式中:ρi,min和ρi,max分別為保證機(jī)械手無連桿干涉軌跡的上、下關(guān)節(jié)極限.

由于關(guān)節(jié)力矩是關(guān)節(jié)變量的高度非線性函數(shù),目前,采用二進(jìn)制編碼遺傳算法來獲得與最小轉(zhuǎn)矩條件相對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu).

采用遺傳算法具體的優(yōu)化過程總共分為8個(gè)步驟:

步驟1對(duì)于給定姿態(tài),定義機(jī)械手幾何參數(shù);

步驟2定義軌跡;

步驟3從軌跡的初始點(diǎn)開始;

步驟4在邊界內(nèi)生成冗余移動(dòng)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)位置;

步驟5計(jì)算固定平臺(tái)頂點(diǎn)的新坐標(biāo);

步驟6用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算每點(diǎn)的雅可比行列式;

步驟7在末端執(zhí)行器上施加扭矩,根據(jù)式(14)計(jì)算所需的驅(qū)動(dòng)扭矩;

步驟8使用遺傳算法優(yōu)化程序,使函數(shù)f(ρ1,ρ2,ρ3)=τTτ最小化;

步驟9重復(fù)步驟4到步驟8的過程,直到軌跡完成.

設(shè)定算法的控制參數(shù)如下:種群大小為100，進(jìn)化迭代數(shù)為200,遺傳復(fù)制方法為輪盤賭法;交叉率為0.8;變異率隨著進(jìn)化代數(shù)的增加從0.1加速增加到0.2.

4 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證遺傳算法優(yōu)化的冗余3-PRRR并聯(lián)機(jī)械手對(duì)關(guān)節(jié)力矩的優(yōu)化效果,采用直線軌跡證明優(yōu)化的有效性,在Matlab/Simulink環(huán)境下分別對(duì)非冗余3-PRRR并聯(lián)機(jī)械手和冗余3-PRRR并聯(lián)機(jī)械手進(jìn)行了致動(dòng)力矩仿真研究,并進(jìn)行了對(duì)比分析,同時(shí)，分析了1-DOKR,2-DOKR和3-DOKR機(jī)械手的致動(dòng)力矩大小.

4.1 非冗余3-PRRR并聯(lián)機(jī)械手致動(dòng)力矩

假設(shè)機(jī)械手抓取平臺(tái)從工作空間中心向工作空間邊緣做直線移動(dòng),即從點(diǎn)(280 mm,150 mm)移動(dòng)到點(diǎn)(480 mm,150 mm),移動(dòng)步長(zhǎng)為1.0 mm.機(jī)械手恒定幾何參數(shù)為AiAj=500 mm和CiCj=200 mm,l1i=l2i=200 mm和σ=0°.在機(jī)械手平臺(tái)上施加與運(yùn)動(dòng)相反方向的恒力為52 N.

非冗余3-RRR機(jī)械手恒定工作空間內(nèi)的直線軌跡和奇異點(diǎn)如圖2所示.對(duì)應(yīng)的移動(dòng)過程中所需的致動(dòng)力矩如圖3所示.

圖2 3-RRR聯(lián)動(dòng)的工作空間和直線軌跡Fig.2 Workspace and linear trajectory of 3-RRR linkage

圖3 直線軌跡的3-RRR機(jī)械手致動(dòng)力矩Fig.3 Actuating torque of 3-RRR manipulator with linear trajectory

可以看出,機(jī)械手在移動(dòng)過程中,從點(diǎn)(405 mm,150 mm)移動(dòng)到點(diǎn)(480 mm,150 mm)通過奇異位形.理論上,關(guān)節(jié)扭矩在奇點(diǎn)處達(dá)到無窮大.圖3在奇點(diǎn)位置關(guān)節(jié)扭矩為有限值,在-600～450 N·m范圍內(nèi)變化,因?yàn)檫x擇的步長(zhǎng)為1.0 mm.如果采用更精細(xì)的位移步長(zhǎng),當(dāng)機(jī)械手完全處于奇異狀態(tài)時(shí),計(jì)算將失敗.從圖3中可以清楚地看出,非冗余機(jī)械手將無法執(zhí)行期望的軌跡,其需要在奇異點(diǎn)處獲得無限大的致動(dòng)力矩.

4.2 冗余3-PRRR并聯(lián)機(jī)械手致動(dòng)力矩

3-PRRR并聯(lián)機(jī)械手基礎(chǔ)關(guān)節(jié)的位移范圍為50～100 mm.當(dāng)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí),定向工作空間和奇異點(diǎn)也同時(shí)變化,移動(dòng)關(guān)節(jié)工作范圍的選擇方式為:對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)的所有位置,奇異點(diǎn)落在如圖2所示軌跡上的相同區(qū)域.

采用相同的直線軌跡,獲得了1-DOKR冗余3-PRRR機(jī)械手的移動(dòng)關(guān)節(jié)最優(yōu)位置和最優(yōu)致動(dòng)力矩，分別如圖4和圖5所示.其中直線軌跡的關(guān)節(jié)力矩在每一時(shí)間步長(zhǎng)上最小.

圖4 1-DOKR冗余3-PRRR機(jī)械手移動(dòng)關(guān)節(jié)最優(yōu)位置Fig.4 Optimal position of mobile joint of 1-DOKR redundant 3-PRRR manipulator

圖5 1-DOKR冗余3-PRRR機(jī)械手致動(dòng)力矩優(yōu)化Fig.5 Actuating torque optimization of 1-DOKR redundant 3-PRRR manipulator

在采用1-DOKR結(jié)構(gòu)時(shí),移動(dòng)關(guān)節(jié)的最佳位置為50 mm,奇異點(diǎn)處的最佳位置達(dá)到最大值100 mm.在奇異點(diǎn)處,基礎(chǔ)移動(dòng)關(guān)節(jié)的致動(dòng)力矩變化范圍為-200～150 N·m,對(duì)比圖3和圖5可以看出,冗余機(jī)械手的關(guān)節(jié)力矩遠(yuǎn)低于非冗余機(jī)械手,表明致動(dòng)力矩被進(jìn)一步優(yōu)化.冗余機(jī)械手在保持可行的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)力矩的同時(shí),很容易通過奇點(diǎn)結(jié)構(gòu).與非冗余機(jī)械手相比,這種避免奇點(diǎn)的能力是使用冗余機(jī)械手的主要優(yōu)點(diǎn)之一.

進(jìn)一步研究2-DOKR和3-DOKR冗余3-PRRR機(jī)械手的移動(dòng)關(guān)節(jié)最優(yōu)位置，如圖6和圖7所示，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)致動(dòng)力矩如圖8所示.

圖6 2-DOKR冗余3-PRRR機(jī)械手移動(dòng)關(guān)節(jié)最優(yōu)位置Fig.6 Optimal position of mobile joint of 2-DOKR redundant 3-PRRR manipulator

圖7 3-DOKR冗余3-PRRR機(jī)械手移動(dòng)關(guān)節(jié)最優(yōu)位置Fig.7 Optimal position of mobile joint of 3-DOKR redundant 3-PRRR manipulator

分析可知,在采用2-DOKR和3-DOKR結(jié)構(gòu)時(shí),相同位置處移動(dòng)關(guān)節(jié)的最佳位置相比1-DOKR發(fā)生明顯變化,且對(duì)應(yīng)的奇異點(diǎn)由(405 mm,150 mm)變化為(378 mm,150 mm),表明,并聯(lián)機(jī)械手的奇異位形并非固定不變,隨著自由度和結(jié)構(gòu)的變化而變化.此外,隨冗余度的增大,并聯(lián)機(jī)械手的致動(dòng)力矩進(jìn)一步減小,2-DOKR和3-DOKR結(jié)構(gòu)下致動(dòng)力矩差異較小,最大致動(dòng)力矩在-30～30 N·m范圍變化.與非冗余平面并聯(lián)機(jī)械手相比,致動(dòng)力矩僅為原來的5.7%,進(jìn)一步證明了本文提出的基于遺傳算法優(yōu)化冗余機(jī)械手的有效性.

圖8 冗余3-PRRR機(jī)械手致動(dòng)力矩優(yōu)化Fig.8 Optimizing actuating torque of redundant 3-PRRR Manipulator

5 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)3-RRR平面并聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過程中存在奇點(diǎn),導(dǎo)致致動(dòng)力矩?zé)o限大,無法實(shí)現(xiàn)平滑軌跡跟著的問題,采用平面3-PRRR冗余并聯(lián)機(jī)械手構(gòu)形.建立了兩種機(jī)械手的雅可比矩陣,獲得了機(jī)械手的驅(qū)動(dòng)力矩.采用遺傳算法對(duì)關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行了優(yōu)化,在Matlab/Simulink環(huán)境下對(duì)兩種機(jī)械手直線運(yùn)動(dòng)軌跡的致動(dòng)力矩進(jìn)行了仿真.結(jié)果表明：運(yùn)動(dòng)冗余機(jī)械手比非冗余機(jī)械臂具有更好的性能,冗余機(jī)械手執(zhí)行器所需的最優(yōu)力矩遠(yuǎn)低于非冗余機(jī)械手.為了避免選擇移動(dòng)節(jié)點(diǎn)變量邊界的復(fù)雜性,本文提出的方法可用靈巧度約束進(jìn)行擴(kuò)展.