姜科 王忠康

（第七一五研究所，杭州，310023）

水聲信號(hào)的處理中，無論是對水下目標(biāo)進(jìn)行定位還是成像都離不開波束形成。波束形成根據(jù)目標(biāo)信號(hào)的距離，可以分為遠(yuǎn)場波束形成和近場聚焦波束形成。常規(guī)波束形成通常采用時(shí)延相加法[1]，對各個(gè)陣元接收的信號(hào)進(jìn)行時(shí)延或相移補(bǔ)償，使各個(gè)陣元接收信號(hào)達(dá)到相同相位，同相相加后極大值輸出，估計(jì)出目標(biāo)信號(hào)的方位。在水下近場成像應(yīng)用中，目標(biāo)位于近場，波束形成中的時(shí)延差是方位和距離的二元函數(shù)，因此需要掃描的點(diǎn)數(shù)會(huì)大大增加，從而計(jì)算量也變得很大。在三維成像領(lǐng)域波束形成的計(jì)算量和存儲(chǔ)量問題更為突出。近年來，三維成像技術(shù)得到廣泛關(guān)注[2-5]。多波束三維成像可以通過兩種方式實(shí)現(xiàn)：首先利用一維線陣獲取目標(biāo)的二維數(shù)據(jù)，然后對所有數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，生成三維圖像；第二種利用二維平面陣直接獲取目標(biāo)的三維圖像。前者成像速率低，不適合對移動(dòng)物體成像；后者需要大量的數(shù)據(jù)處理及多次波束形成，在實(shí)踐中很難實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[6]提出一種利用FFT動(dòng)態(tài)聚焦的三維成像方法，可以降低計(jì)算復(fù)雜度，改善固定深度聚焦的局限性。文獻(xiàn)[7]提出了一種非周期稀疏陣列的優(yōu)化合成方法，克服了與硬件成本和信號(hào)處理計(jì)算量相關(guān)的問題。文獻(xiàn)[8]提出了分級聚焦波束形成算法，大大減少了波束形成的計(jì)算量和存儲(chǔ)量；但是當(dāng)目標(biāo)位于極近場時(shí)，會(huì)出現(xiàn)旁瓣增加，算法性能下降。根據(jù)幾何模型，每個(gè)子陣抽取不同的波束序號(hào)進(jìn)行近場聚焦波束形成可以更好的抑制旁瓣，但是其計(jì)算量和存儲(chǔ)量明顯增加。文獻(xiàn)[9,10]提出了利用CZT波束形成及其擴(kuò)展方法，可用于三維遠(yuǎn)場數(shù)字波束形成和三維近場數(shù)字波束形成，且計(jì)算量低于實(shí)時(shí)圖像生成的傳統(tǒng)頻域和時(shí)域波束形成方法。文獻(xiàn)[11]對三維成像聲吶頻域波束形成算法進(jìn)行了優(yōu)化，得到了與傳統(tǒng)算法相同的波束強(qiáng)度矩陣，減小了相移參數(shù)的存儲(chǔ)空間。本文提出基于CZT的分級聚焦波束形成算法，當(dāng)子陣的陣元數(shù)目比較多的時(shí)候，采用CZT進(jìn)行遠(yuǎn)場波束形成，用Matlab對后者進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 模型、算法理論分析

1.1 常規(guī)近場聚焦波束形成

當(dāng)目標(biāo)位于遠(yuǎn)場，接收到的回波聲線基本平行，可以看成平面波；當(dāng)目標(biāo)位于近場，聲波按照球面波的形式擴(kuò)展，不能近似為平面波。一般認(rèn)為聲源到陣列距離r滿足以下條件即可認(rèn)為是遠(yuǎn)場：

式中，D表示基陣孔徑長度，λ為信號(hào)的波長?？稍O(shè)置臨界條件為[12]

圖1為近場聚焦定位模型。設(shè)有M個(gè)陣元等間距分布線陣，陣元間距d，目標(biāo)到陣中心的距離為r，方位角為θ，目標(biāo)發(fā)射為窄帶信號(hào)，信號(hào)中心頻率fc，聲速c?？梢郧蟮妹總€(gè)陣元到目標(biāo)的距離：

式中，xi表示每個(gè)陣元到中心參考點(diǎn)的距離，則以陣中心為參考點(diǎn)，每個(gè)陣元接收信號(hào)的時(shí)間延遲為：

每個(gè)陣元的相位延遲可以表示為exp(j2πfcτi)。常規(guī)近場聚焦波束形成，即對長度為Q的第i個(gè)陣元的時(shí)域信號(hào)做FFT，得到Xfi(k)，其中k表示頻率索引值，fk=kfs/Q，fs為采樣頻率，得到第k個(gè)頻率的波束輸出為：

式中，ai表示對第i個(gè)信號(hào)的加權(quán)系數(shù)，本文設(shè)置該加權(quán)系數(shù)為1。

圖1 基于近場聚焦波束形成的定位模型

1.2 分級聚焦波束形成原理

分級聚焦波束形成（除了第一級）是在前一級各個(gè)子陣之間進(jìn)行的，前一級子陣陣元數(shù)目較少，波束寬度較大，可以形成較少的波束，且只在最后一級進(jìn)行聚焦波束形成，大大減少了數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)量和計(jì)算量。本節(jié)以一個(gè)M元等間距線陣的二級聚焦波束形成在不考慮插值的情況下說明其基本原理。如圖2所示，先將M個(gè)陣元?jiǎng)澐譃镹2個(gè)子陣，每個(gè)子陣的陣元數(shù)目為N1，首先對第一級子陣做遠(yuǎn)場波束形成，預(yù)形成p個(gè)波束。然后根據(jù)這N2個(gè)子陣的波束輸出做第二級的近場聚焦波束形成，得到K=p個(gè)方位的波束輸出。

用Matlab進(jìn)行仿真，驗(yàn)證分級聚焦波束形成的可行性。仿真條件：半波長等間距線陣，陣元數(shù)目48，陣元間距d=6 mm，信號(hào)中心頻率為125 kHz，聲速1 500 m/s，信號(hào)采樣頻率為1 MHz，劃分12個(gè)子陣，第一級子陣的臨界距離為0.1 m，整個(gè)線陣的臨界距離為26.5 m，此時(shí)分級聚焦波束形成的作用距離范圍為0.1 m＜＜R＜＜26.5 m，假設(shè)角度掃描范圍為（-90°，90°），距離掃描范圍為（0.5 m，50 m），掃描181個(gè)點(diǎn)，目標(biāo)方位為（0.8 m，45°），掃描300個(gè)點(diǎn)，滿足分級聚焦波束形成條件。此時(shí)仿真結(jié)果見圖3。

圖2 分級聚焦波束形成原理圖

圖3 目標(biāo)位于（0.8 m，45°）時(shí)三種方法波束形成結(jié)果

與常規(guī)聚焦波束形成對比，近場條件下，常規(guī)的分級聚焦波束形成會(huì)出現(xiàn)-16 dB的旁瓣，使目標(biāo)方位上的能量泄漏到其他方位。這是因?yàn)槌Ｒ?guī)的分級聚焦波束形成在做近場補(bǔ)償?shù)臅r(shí)候，抽取上一級子陣波束形成輸出的波束序號(hào)是相同的；但是當(dāng)目標(biāo)距離過近時(shí)，目標(biāo)相對每個(gè)子陣的方位是不同的，導(dǎo)致誤差變大，無法估計(jì)目標(biāo)方位。

在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)目標(biāo)實(shí)際幾何模型，選取合適的波束序號(hào)來抑制近場條件下相同波束造成的高旁瓣。抽取波束序號(hào)可以預(yù)先計(jì)算存儲(chǔ)。改進(jìn)后的結(jié)果如圖4所示（目標(biāo)方位：0.8 m, 45°)，根據(jù)幾何模型進(jìn)行波束抽取，再進(jìn)行第二級聚焦波束形成之后，旁瓣明顯得到抑制。目標(biāo)方位上的幅度也明顯增加。為了進(jìn)一步減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量，在做遠(yuǎn)場處理的時(shí)候使用CZT快速算法[13]。

圖4 波束抽取修正前后的結(jié)果對比

1.3 頻域遠(yuǎn)場波束形成

假設(shè)陣元間距為d，信號(hào)入射方向θ(線陣法線和信號(hào)入射所在直線的夾角)，假設(shè)表示第n個(gè)陣元接收到的時(shí)域采樣序列，其中0≤n≤N1-1，i表示采樣數(shù)據(jù)的時(shí)間下標(biāo)。將每個(gè)陣元的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行分段截取，每段采樣信號(hào)序列長度為Q，相鄰兩段時(shí)間序列信號(hào)允許重疊。然后對截取的時(shí)間采樣序列做FFT，得到其中k表示頻率索引，對應(yīng)的頻率值fk=kfs/Q，fs為采樣頻率。最后對每個(gè)頻率做頻域波束形成，得到：

式中，wn是權(quán)系數(shù)，用于控制旁瓣，設(shè)置權(quán)系數(shù)為1。

文獻(xiàn)[14]中介紹了五種計(jì)算式（6）的方法，本文只涉及其中兩種算法，分別為直接法和CZT。前者直接進(jìn)行復(fù)數(shù)點(diǎn)積運(yùn)算。我們假設(shè)已經(jīng)執(zhí)行了wnXn(k)加窗操作，則每次點(diǎn)積計(jì)算需要N1次復(fù)乘法和N1-1次復(fù)加法，預(yù)先存儲(chǔ)N1個(gè)由式（6）中后面相位延遲項(xiàng)計(jì)算得到值。

1.4 CZT算法原理

CZT算法可用于計(jì)算復(fù)平面上一般輪廓上的多項(xiàng)式。具體來說，CZT可用于求多項(xiàng)式在點(diǎn)zm=AW-m處的值，其中A和W分別定義為

CZT算法每次計(jì)算只需預(yù)先存儲(chǔ)A和W兩個(gè)值。式（6）可以重新寫成多項(xiàng)式的形式

式中，an=wnXn，并且省略下標(biāo)k。

當(dāng)式（6）中的sinθ等間隔分布，即

且令

式中，θf為終點(diǎn)角度，θi為起點(diǎn)角度，Nb為預(yù)成波束數(shù)，zθ用zm代替，因此CZT可以用于計(jì)算當(dāng)sinθ等間隔分布時(shí)的波束形成，變換后得到

該算法需要N+L+Nb次復(fù)數(shù)乘法（步驟1、3、5）和2次L=2N點(diǎn)的復(fù)數(shù)FFT（步驟2、4），一次L點(diǎn)的復(fù)數(shù)FFT需要(L/2)lbL個(gè)蝶形結(jié)構(gòu)，每個(gè)蝶形結(jié)構(gòu)需要10次實(shí)數(shù)操作，所以總計(jì)算量在實(shí)際算術(shù)運(yùn)算中為：

2 存儲(chǔ)量和計(jì)算量分析

2.1 存儲(chǔ)量分析

常規(guī)分級聚焦波束形成算法中，第一級頻域遠(yuǎn)場波束形成所需要的相位補(bǔ)償參數(shù)先計(jì)算好并存儲(chǔ)。對于M個(gè)陣元的線陣，每個(gè)子陣陣元數(shù)目N1，劃分為N2個(gè)子陣，第一級預(yù)形成B1個(gè)方向上的波束，第二級近場聚焦波束形成在角度上預(yù)形成Ba2個(gè)波束。那么在確定距離上直接進(jìn)行頻域分級波束形成所需要的存儲(chǔ)量為N1×B1+N2×Ba2，而使用CZT波束形成算法所需的相位補(bǔ)償參數(shù)的存儲(chǔ)量為2+N2×Ba2。顯然，使用CZT波束形成算法所需的存儲(chǔ)量低于頻域分級波束形成的計(jì)算量，且隨著第一級子陣陣元數(shù)和波束數(shù)的增加，后者算法的存儲(chǔ)優(yōu)勢越明顯。

2.2 計(jì)算量分析

假設(shè)預(yù)形成Nb個(gè)波束，Nb=N1-1，確定的距離下，對單個(gè)頻率波束形成的計(jì)算量進(jìn)行分析，直接法的第一級遠(yuǎn)場波束形成的計(jì)算量為(8N1-2)Nb，使用CZT算法的第一級遠(yuǎn)場波束形成的計(jì)算量是38N1+6Nb+20N1lbN1[14]，以上兩種波束形成的第二級波束形成計(jì)算量相同，其計(jì)算量為(8N2-2)Nb，常規(guī)聚焦波束形成的計(jì)算量為(8N1N2-2)Nb。下面取2≤Nb≤1 024，N2=2，對常規(guī)聚焦波束形成、常規(guī)分級聚焦波束形成和基于CZT的分級聚焦波束形成三種算法的計(jì)算量進(jìn)行對比，見圖5。當(dāng)波束數(shù)小于16，使用CZT算法的計(jì)算量大于直接算法的計(jì)算量；隨著陣元數(shù)增加，使用CZT法比直接法更有優(yōu)勢。而常規(guī)波束形成在波束數(shù)大于8的時(shí)候，計(jì)算量始終大于常規(guī)分級聚焦波束形成和基于CZT的分級聚焦波束形成。

圖5 不同陣元數(shù)三種算法的計(jì)算量，N2=2

3 仿真驗(yàn)證分析

為了驗(yàn)證本文算法在子陣的陣元數(shù)較多情況下具有的優(yōu)勢，把陣元數(shù)增加到640，劃分10個(gè)子陣；第一級子陣遠(yuǎn)場條件，11.9 m；基陣遠(yuǎn)場條件，122.46 m；假設(shè)角度掃描范圍（-90°，90°），距離掃描范圍（11.9 m, 300 m），劃分181個(gè)點(diǎn)，目標(biāo)方位（30 m, 0°），掃描300個(gè)點(diǎn)。計(jì)算機(jī)仿真軟件硬件參數(shù)見表1。從圖6和表2中可以看出，基于CZT的分級聚焦波束形成得到的方位估計(jì)結(jié)果和常規(guī)分級聚焦波束形成得到的結(jié)果一致，計(jì)算耗費(fèi)時(shí)間明顯減少，但是在幅值上有1.3 dB損失，其原因是使用CZT計(jì)算遠(yuǎn)場波束形成上有損失。證明基于CZT的分級聚焦波束形成算法是可行的。若因遠(yuǎn)場近似導(dǎo)致在目標(biāo)方位上能量的衰減過大(以1 dB損失為門限)，可以通過減少子陣陣元的數(shù)目，以減小遠(yuǎn)場近似帶來的損失。

圖6 兩種算法波束形成結(jié)果對比，目標(biāo)位置（30 m, 0°）

表1 計(jì)算機(jī)仿真軟件硬件參數(shù)

表2 不同方法進(jìn)行分級聚焦波束形成的平均計(jì)算時(shí)間

4 結(jié)論

本文將CZT應(yīng)用到分級聚焦波束形成中，子陣中陣元數(shù)較多的遠(yuǎn)場波束形成用CZT去計(jì)算。和常規(guī)分級聚焦波束形成相比，計(jì)算量和存儲(chǔ)量都得到改善，子陣的陣元數(shù)越多，優(yōu)勢越明顯。目標(biāo)位于近場時(shí)，根據(jù)幾何模型抽取第二級波束，導(dǎo)致計(jì)算量增加，雖然使用CZT計(jì)算遠(yuǎn)場波束形成可以優(yōu)化計(jì)算量和存儲(chǔ)量，但還是比常規(guī)分級聚焦計(jì)算量大。在實(shí)際應(yīng)用中可以對掃描范圍進(jìn)行劃分，當(dāng)目標(biāo)位于極近場時(shí)才對近場聚焦波束根據(jù)幾何模型抽取，并且使用基于CZT的分級聚焦波束形成算法進(jìn)行計(jì)算。