厲宏蘭，袁呂軍，徐節(jié)速，李 倩，康 燕

(1.中國科學院國家天文臺 南京天文光學技術(shù)研究所，南京 210042;2.中國科學院天文光學技術(shù)重點實驗室(南京天文光學技術(shù)研究所)，南京210042;3.中國科學院大學，北京 100049)

引言

離軸非球面具有大視場、無中心遮攔及像質(zhì)接近衍射極限等優(yōu)點，使其在空間光學系統(tǒng)的應用越來越廣泛[1]。由于對離軸非球面元件在口徑、波段、精度、質(zhì)量以及材料等方面的應用要求越來越高，實現(xiàn)離軸非球面元件的高精度光學檢驗是制造離軸非球面光學系統(tǒng)的核心[2-3]。

目前，零位補償法是大口徑離軸非球面終檢階段的常規(guī)方法[4]，常用的輔助光學元件有Offner補償器、Dall補償器及計算全息(CGH)等，但無論是使用補償透鏡還是二元衍射元件，面形圖都存在一定的面形特征位置偏移和尺寸畸變[5-6]。為了校正零位補償器引起的畸變，一般采用圖像校正法更為簡便，大致分為4種[7-11]：一是使用基準蒙片標定校正畸變，但是基準蒙片的制作和安裝過程比較復雜，容易破壞鏡面結(jié)構(gòu)；二是控制移動檢測平臺的移動來加入離焦項，通過離焦和球差的變化來反解檢測系統(tǒng)中的圖像畸變，該方法反解推導繁瑣且移動距離不易精確控制；三是通過仿射變換推導映射函數(shù)進行畸變校正，但是推導過程中利用的鏡面特征點較少，不能實現(xiàn)畸變校正結(jié)果與鏡面的高精度對準；四是利用干涉測量中的Fiducial功能標定畸變，此法采集的樣本點數(shù)量不夠多,校正精度不高。本文提出了一種在被測元件旋轉(zhuǎn)對稱情況下適用的簡單有效的畸變校正方法，通過在離軸非球面上標記等間距環(huán)帶并利用matlab算法對干涉儀采集到的圖像進行處理，確定圖像的畸變中心，然后對光線追跡數(shù)據(jù)進行擬合，重構(gòu)離軸鏡的面形誤差位置分布圖，從而實現(xiàn)非線性畸變校正，并用此法指導了520 mm×250 mm離軸非球面鏡的小磨盤數(shù)控拋光，數(shù)控精拋坐標準確，面形誤差收斂效果明顯。

1 Offner補償檢驗及畸變

1.1 Offner補償器的檢驗過程

通常情況下，為了簡化光路結(jié)構(gòu)和節(jié)約制作成本，將Offner補償器設(shè)計為兩片式，即補償鏡和場鏡。其中補償鏡起補償初級像差的作用，場鏡不僅將補償鏡成像在非球面上還承擔少部分的高級像差的補償[12]。離軸非球面鏡的檢驗光路由4D動態(tài)干涉儀、Offner補償器及離軸非球面反射鏡3部分組成，檢驗時由干涉儀發(fā)出的球面波光束射入Offner補償器，變成與待檢非球面匹配的非球面波前，沿法線入射的波前經(jīng)待檢非球面反射后再次經(jīng)補償器轉(zhuǎn)變成球面波進入干涉儀，與干涉儀的參考波前形成干涉檢驗，測得的面形誤差等高圖顯示了待檢非球面與所需表面之間的偏差[13-15]，檢驗光路示意圖如圖1(a)所示，實物圖如圖1(b)所示。

圖1 離軸非球面檢驗光路圖

1.2 畸變的產(chǎn)生及影響

本文中Offner補償器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，由光路設(shè)計結(jié)構(gòu)可知，整個檢驗光路較短，而被檢鏡口徑較大，第一面到第四面的半口徑縮小了2.5倍，使入射光線經(jīng)Offner補償器后急劇壓縮匯聚，光線發(fā)生大角度偏轉(zhuǎn)，引起各環(huán)帶面型特征非線性偏移，導致小磨頭拋光工作坐標點定位出現(xiàn)偏差，駐留時間計算不準確，收斂速度減慢等問題。

表1 補償器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)

針對本文中520 mm×250 mm離軸非球面鏡的補償器光路進行光線追跡，光線追跡的歸一化入瞳坐標范圍為：PX為[-0.7,0.7],PY為[-1,1]?；儺a(chǎn)生的影響如圖2所示，圖2(a)中的A1B1C1D1為由近軸光線追跡得出的理想像面的鏡面坐標，A2B2C2D2為由實際光線追跡得出的實際像面的鏡面坐標。很顯然，在同等坐標刻度和歸一化入瞳坐標下，實際像面存在較大的畸變，并且畸變圖關(guān)于光軸中心O點是完全對稱的，在畸變的對稱中心小范圍內(nèi)基本無畸變，畸變的大小與鏡面坐標點離對稱中心的距離有關(guān)，距離越遠畸變越大[16]，因此確定畸變中心是關(guān)鍵。本文中離軸非球面鏡補償光路的畸變主要考慮徑向畸變，相對畸變的大小可以表示為

(1)

式中：P表示相對畸變；Rreal表示實際坐標相對于畸變中心的徑向位置；Rparaxial表示近軸坐標相對于畸變中心的徑向位置。由于被測元件是旋轉(zhuǎn)對稱的，所以可以取整個像面坐標的1/4計算相對畸變的大小，即圖2(a)中OHB2I所圍成的部分。經(jīng)計算，整個母鏡實際像面的最大相對畸變約為30%，但由于離軸非球面鏡(離軸量為160 mm)只取了母鏡的一部分，即圖2(a)中DEFG所圍成的矩形，其最大近軸徑向位置為385.778 4 mm，因此該離軸鏡在補償器光路中產(chǎn)生的最大相對畸變約為15%左右，畸變曲線圖如圖2(b)所示。

圖2 畸變示意圖和曲線圖

2 非線性畸變校正

由圖1的光路圖可知，本文中的離軸非球面鏡與系統(tǒng)光軸有一定的夾角，所以鏡面坐標到干涉儀中的圖像坐標是一個很復雜的映射函數(shù)。設(shè)實際鏡面面形為fmirror(xm,ym),經(jīng)補償器光路一次折射后被檢鏡波前為fo(xo,yo)，干涉儀面形檢驗結(jié)果圖像為fimg(xi,yi)，標準面形圖為fstd(xs,ys)，則：

fmirror(xm,ym)=G*fo(xo,yo)

(2)

fimg(xi,yi)=β*fo(xo,yo)

(3)

式中：G為實際鏡面面形到一次折射后被檢鏡波前的映射函數(shù)；β為一次折射后被檢鏡波前到干涉儀面形檢驗結(jié)果的放大率，因此只要確定畸變中心和映射函數(shù)就可對干涉儀面形檢驗結(jié)果圖像進行映射變換，然后對其插值處理就可得到標準面形圖fstd(xs,ys)，畸變校正流程如圖3所示。

圖3 畸變校正流程圖

圖4 環(huán)帶示意圖

2.1 確定檢驗圖的畸變中心

在只考慮徑向畸變的情況下，對加工坐標系下的離軸非球面以離軸鏡母鏡頂點為圓心標記等間距環(huán)帶，含環(huán)帶標記的鏡面通過Offner補償器光路后經(jīng)干涉儀成像后發(fā)生旋轉(zhuǎn)和畸變，利用MATLAB算法對該圖像進行技術(shù)處理，提取各環(huán)帶的圓心坐標，尋找各環(huán)帶擬合的畸變中心的最佳位置，即該圖像的畸變中心。

設(shè)各環(huán)帶間隔為a，環(huán)帶數(shù)量為n，則各環(huán)帶的半徑分別為r1，r2，r3，…，rn，其中r2=r1+a,r3=r1+2a，…,rn=r1+na。在實際操作中，環(huán)帶間隔越小，環(huán)帶數(shù)量越多，對徑向畸變的描述越準確，鏡面環(huán)帶示意圖如圖4所示。經(jīng)補償檢驗后得到含環(huán)帶標記的干涉圖fimg(xi,yi)，利用MATLAB算法對其進行采樣處理，提取各環(huán)帶的圓心坐標。設(shè)畸變中心O點坐標為(x0,y0)，各環(huán)帶的圓心坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn),為了尋找畸變中心O點的最佳位置，設(shè)U={x1,x2,x3,…,xn}，V={y1,y2,y3,…,yn}，算法流程如圖5所示，求畸變中心的最佳縱坐標y0同理。

由于離軸非球面鏡檢驗光路的特殊性及工件擺放位置與干涉儀的CCD有相對旋轉(zhuǎn)，干涉圖不但存在畸變而且圍繞畸變中心O點發(fā)生旋轉(zhuǎn)，如圖6所示。設(shè)檢驗時鏡面繞系統(tǒng)光軸的夾角為θ，則干涉儀面形檢驗結(jié)果圖像也需繞畸變中心O點旋轉(zhuǎn)一個角度θ至圖像關(guān)于畸變中心對稱，旋轉(zhuǎn)變換的矩陣為

(4)

式中：x,y,z為圖像旋轉(zhuǎn)前的坐標；x′,y′,z′為圖像旋轉(zhuǎn)后的坐標；θ為圖像旋轉(zhuǎn)的角度。

圖5 算法流程圖

圖6 畸變邊界圖

2.2 確定映射函數(shù)

在大口徑、快焦比離軸非球面鏡的檢驗光路中，由于干涉儀采集的局部面形殘差位置與被測光學元件實際位置不對應，小磨頭拋光工作點定位出現(xiàn)偏差，影響拋光精度及效率，因此準確地描述映射函數(shù)至關(guān)重要。由于一次折射后被檢鏡波前fo(xo,yo)與干涉儀面形檢驗結(jié)果圖像fimg(xi,yi)是倍數(shù)關(guān)系，因此可以用fmirror(xm,ym)與fo(xo,yo)的擬合結(jié)果來表示映射關(guān)系G。本文利用光學設(shè)計軟件對其進行光線追跡，采樣間隔為0.01。設(shè)實際鏡面fmirror(xm,ym)的歸一化徑向位置為ρm，一次折射后被檢鏡波前fo(xo,yo)的歸一化徑向位置為ρo，采用多項式來擬合光線追跡結(jié)果，相應的映射關(guān)系可以表示為

(5)

歸一化擬合曲線圖和擬合誤差曲線圖分別如圖7和圖8所示。由圖8可知，多項式擬合誤差始終在1 μm以內(nèi)上下波動，滿足數(shù)控小磨盤拋光的精度要求。

圖7 歸一化擬合曲線圖

圖8 擬合誤差曲線圖

3 離軸鏡校正實例

本文中520 mm×250 mm離軸非球面鏡的主要參數(shù)有：頂點曲率半徑R為1 200 mm，離軸量為160 mm，倒圓角半徑為25 mm，圓錐曲線k為-1。利用上述校正方法對干涉儀成像產(chǎn)生的畸變圖進行畸變校正并對其進行二維插值處理，畸變校正結(jié)果如圖9所示，上方為初始面形圖及初始網(wǎng)格圖，下方為畸變校正圖及校正網(wǎng)格圖。與原始測量數(shù)據(jù)相比，經(jīng)過上述方法校正后的面形圖無論是在各環(huán)帶面形特征位置上還是在輪廓上都更接近被檢鏡面的真實形狀，但仍存在較小的畸變校正誤差[17]。由畸變校正結(jié)果可知，位于母鏡邊緣處的鏡面畸變最大，因此在鏡面邊緣處和局部面形殘差處取100個樣本點計算偏差大小。本文將畸變校正誤差定義為樣本點在畸變校正面形圖上的位置坐標與實際測量的鏡面位置坐標的偏差[18]，可以表示為

(6)

式中：(xD,yD)為畸變校正面形圖上樣本點的位置坐標；(xmirror,ymirror)為實際測得的鏡面上樣本點的位置坐標；Q為畸變校正誤差。經(jīng)計算，最大偏差為0.859 1 mm,偏差平均值為0.424 9 mm，偏差曲線圖如圖10所示。通過數(shù)控小磨盤拋光實驗，發(fā)現(xiàn)拋光工作點坐標吻合率在90%以上，滿足小磨盤拋光的工作要求。

圖9 畸變校正結(jié)果

為了驗證該校正方法指導小磨盤數(shù)控準點位置拋光的有效性，在終檢階段前半部分拋光周期中干涉儀檢驗結(jié)果圖直接用于拋光，在后半部分拋光周期中先對畸變圖進行校正和重構(gòu)后再指導拋光。圖11中前300 h的波動曲線呈現(xiàn)出一種效率低、收斂慢的趨勢，而后半部分的面形誤差呈現(xiàn)出明顯單調(diào)遞減趨勢，拋光位置坐標準確，有良好的收斂特性。其中，拋光的工藝參數(shù)如溫度、壓力、拋光周期、駐留時間等在這兩個拋光周期中幾乎是相同的[19-20]。

圖10 偏差曲線圖

圖11 拋光實驗收斂曲線

4 結(jié)論

針對大口徑、快焦比離軸非球面的零位補償檢驗過程中干涉儀檢驗結(jié)果圖像出現(xiàn)畸變和偏轉(zhuǎn)的問題，提出了一種基于同心環(huán)帶和光線追跡的畸變校正方法，首先利用同心圓標記和matlab算法確定畸變中心，再運用光學設(shè)計軟件的光線追跡結(jié)果描述映射關(guān)系G，校正后圖像的面形尺寸精度滿足數(shù)控小磨盤拋光時工作點的定位精度，同時該方法適用于各種自由曲面的面形尺寸校正，是一種簡單實用的畸變校正方法。運用此方法對某一光學系統(tǒng)的520 mm×250 mm離軸拋物面主鏡的補償檢驗結(jié)果圖進行坐標畸變校正，有效解決了各環(huán)帶的非線性壓縮變形問題，鏡面誤差收斂速度快，最終離軸拋物面主鏡的面形PVq值達到了0.151 28 λ，RMS值達到了0.024 3 λ。