王妍 李卓

摘要：通過研究極小曲面的造型結(jié)構(gòu)在多個(gè)類別設(shè)計(jì)下的應(yīng)用，為其進(jìn)一步的發(fā)展和實(shí)踐提供啟發(fā)和借鑒。從建立極小曲面的數(shù)字方法和物理方法提出極小曲面造型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)。進(jìn)一步選取應(yīng)用案例進(jìn)行分析論證其可行性，并從兩大類、五個(gè)不同的角度就其應(yīng)用前景展開討論。在計(jì)算機(jī)數(shù)字技術(shù)背景的支持下、參數(shù)化設(shè)計(jì)手段的實(shí)現(xiàn)和輔助下、3D物理打印技術(shù)的保障下極小曲面可以突破自身復(fù)雜數(shù)學(xué)原理屬性的局限性，在設(shè)計(jì)創(chuàng)新和設(shè)計(jì)導(dǎo)向方面均體現(xiàn)出重要的應(yīng)用價(jià)值和發(fā)展前景。

關(guān)鍵詞：極小曲面 GAGD 3D打印 Grasshopper

中圖分類號：TB47文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-0069（2019）09-0029-03

引言

極小曲面是一類非常重要的數(shù)學(xué)曲面，自1774年拉格朗日（Lagrange）最早提出極小曲面方程以來一直作為幾何學(xué)中一個(gè)重要的研究方向，得到了眾多學(xué)者的研究。近年來隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的日益發(fā)展，使得極小曲面造型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)可以進(jìn)一步突破數(shù)學(xué)公式理論的局限性以應(yīng)用到更多領(lǐng)域的設(shè)計(jì)產(chǎn)物之中。通過各行各業(yè)設(shè)計(jì)實(shí)踐案例的分析和延展，對于極小曲面優(yōu)美變幻的造型和優(yōu)良的數(shù)理物理屬性所蘊(yùn)藏的巨大應(yīng)用潛能提出了新的思考。

一、極小曲面概述

（一）極小曲面是一個(gè)古老而有趣的研究課題，也是一類非常重要的曲面。在經(jīng)典的微分幾何理論中，極小曲面是指插值給定邊界曲線的面積最小的曲面，其平均曲率處處為O圓。極小曲面是微分幾1可領(lǐng)域中的一類重要的特殊曲面。

從經(jīng)典的普拉托實(shí)驗(yàn)了解到將金屬絲閉合成無缺口的封閉曲線，放入肥皂水溶液中后取出，在金屬絲的表面可以看到源于表面張力作用所形成的表面積最小的薄膜，如圖1。在數(shù)學(xué)上將這種表面積最小的膜稱為極小曲面。

極小曲面可能在科學(xué)和工程應(yīng)用領(lǐng)域都富有研究潛力，因此長久以來一直是很多學(xué)者研究的課題之一。Euler早在1744年就曾提出過類似極小曲面的問題，但通常認(rèn)為，最早分析討論極小曲面問題的是Lagrange。他利用變分的方法將一個(gè)非線性的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為了一個(gè)偏微分方程問題，并由此得到了一個(gè)二階橢圓偏微分方程。之后，幾何學(xué)家J.B.Meusnier于1776年給出了極小曲面方程的幾何解釋，即曲面上每點(diǎn)的平均曲率均為0。繼往開來，在后續(xù)的兩百多年間極小曲面學(xué)者普遍開展了廣泛而深刻的理論探究和數(shù)學(xué)實(shí)證，在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、泛函數(shù)、拓?fù)淅碚?、物理學(xué)、生物學(xué)等多個(gè)學(xué)科中均有與之相關(guān)的研究，且在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)上均取得了成果性進(jìn)展，為其進(jìn)一步應(yīng)用于廣大實(shí)踐型行業(yè)打下了極為重要的理論依據(jù)和科學(xué)基礎(chǔ)。

（二）性質(zhì)特征。

1.優(yōu)美有趣的造型。極小曲面通常有著豐富而優(yōu)美的造型，因公式回環(huán)所形成的孔洞給人們帶來強(qiáng)烈的視覺感受和靈活多變的趣味體驗(yàn)。不僅單體形態(tài)豐富、觀察角度多樣，其組合形式也多種多樣，組合效果千變?nèi)f化。集聚式的組合模型具有強(qiáng)大的造型潛力，如圖2。

2.牢固穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。極小曲面在數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)背景的基礎(chǔ)下其平均曲率處處為O，這樣的曲面具有能量穩(wěn)定、勢能最小、受力條件下載荷分布均勻的優(yōu)良數(shù)理性質(zhì)，使其在豐富造型的同時(shí)還因具有的優(yōu)秀力學(xué)結(jié)構(gòu)性能而受到了越來越多譬如分子晶體、仿生科技、材料加工、機(jī)械制造、輪船設(shè)計(jì)、環(huán)境建筑、航空航天等行業(yè)領(lǐng)域的關(guān)注和青睞，如圖3。

二、極小曲面造型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)

（一）實(shí)現(xiàn)極小曲面造型結(jié)構(gòu)的數(shù)字方法。

1.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的進(jìn)步。在金文標(biāo)，汪國昭的論文中首次把極小曲面引入計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)領(lǐng)域（CAGD）以來，極小曲面造型問題得到了眾多研究學(xué)者的關(guān)注，在實(shí)際工程領(lǐng)域的生產(chǎn)實(shí)踐中具有巨大意義。CAGD主要側(cè)重于計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)和制造（CAD/CAM）的數(shù)學(xué)理論和幾何體的構(gòu)造方面，其應(yīng)用于極小曲面造型的方法有兩類：一類是逼近求解，另一類是精確表示。一般工業(yè)設(shè)計(jì)以及建筑設(shè)計(jì)領(lǐng)域中并不需要十分精確的數(shù)學(xué)意義上的極小曲面，近似求解得到的極小曲面便可以滿足設(shè)計(jì)者的要求，所以極小曲面的逼近算法的研究便獲得了很多CAGD學(xué)者的重視，誕生出一系列可依據(jù)可參照的方式方法。

2.參數(shù)化設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)。極小曲面的建?？梢酝ㄟ^復(fù)雜地使用Rhinoceros+Grasshopper來實(shí)現(xiàn)。該平臺具有編程化、邏輯化、可視化、動態(tài)化等優(yōu)勢優(yōu)點(diǎn)，并且以編程基礎(chǔ)可兼容多方面功能插件，是近年來參數(shù)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域一重要數(shù)字模型生成平臺，其以卓越的編程軟件基礎(chǔ)和對于強(qiáng)大處理插件的包容性為極小曲面的參數(shù)化視覺表示提供了幫助。它打破了傳統(tǒng)極小曲面數(shù)字建模以圖面推演手工仿制的設(shè)計(jì)思維模式，創(chuàng)造性地將極小曲面數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)直接介入設(shè)計(jì)可視化過程，使得上下游技術(shù)人員都可參與到這一以開放、協(xié)作為思想基礎(chǔ)的開放式設(shè)計(jì)之中，縮短了周期，促進(jìn)了最終結(jié)果的優(yōu)化生成。目前Grasshopper參數(shù)化軟件平臺上已經(jīng)研發(fā)出了成熟工具可以輔助設(shè)計(jì)師進(jìn)行數(shù)學(xué)公式對應(yīng)下的極小曲面視覺化處理，配合Rhinoceros建模軟件主體可以進(jìn)一步完成計(jì)算機(jī)建形、找形、變形的功能，結(jié)合產(chǎn)品設(shè)計(jì)要求完成精度高、完整性好的設(shè)計(jì)產(chǎn)品，這對于極小曲面的實(shí)際應(yīng)用有著巨大的現(xiàn)實(shí)意義，如圖4。

（二）實(shí)現(xiàn)極小曲面造型結(jié)構(gòu)的物理方法。極小曲面設(shè)計(jì)產(chǎn)品均具有曲面連續(xù)性強(qiáng)、曲率變化明顯、中空結(jié)構(gòu)居多等特點(diǎn)，一些復(fù)雜形體還具有表皮鏤空的處理，應(yīng)用一般產(chǎn)品加工方式很難進(jìn)行加工。而3D打印技術(shù)的日益成熟在材料、尺寸、精度、可靠性方面不斷取得進(jìn)步，加工方法靈活多變。3D打印材料來源多種多樣且在進(jìn)一步拓展，其結(jié)合多種塑料、金屬等材料的液態(tài)、粉狀、線制等狀態(tài)進(jìn)行加工，采用片層增疊的方法一體式完美呈現(xiàn)復(fù)雜形態(tài)作品，減少了材料的消耗和產(chǎn)品裝配間的容錯(cuò)差值，完成度甚至可媲美古代“失蠟法”技術(shù)的復(fù)雜效果，為極小曲面產(chǎn)品的實(shí)踐落地和設(shè)計(jì)反思提供了技術(shù)保障，如圖5。

三、極小曲面造型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的應(yīng)用案例與前景展望

（一）以賦能造型為指引的應(yīng)用案例與前景展望。

1.流動造型的規(guī)律引導(dǎo)?；跇O小曲面造型流動變化的豐富性和可塑性，產(chǎn)品設(shè)計(jì)在擺脫傳統(tǒng)幾何形態(tài)束縛的前提下開始嘗試發(fā)掘這一美妙形體賦形功能的審美特質(zhì)，利用產(chǎn)品本身的流動形態(tài)屬性與目標(biāo)產(chǎn)品的功能屬性相適應(yīng)，創(chuàng)造性的賦予形態(tài)以新的指導(dǎo)，并將其連同用戶需求、情感表現(xiàn)等因素有機(jī)地結(jié)合起來，誕生出既優(yōu)化了產(chǎn)品功能屬性又滿足了用戶審美、使用、個(gè)性等要求的優(yōu)秀作品。

以Gyroid Zonohedron極小曲面燈具為例。其通過極小曲面本身形態(tài)的規(guī)律流動使得光線可以充分且均勻地進(jìn)行擴(kuò)散，在滿足照明功能的同時(shí)，與情感需求、人機(jī)需求三者有機(jī)而合理地結(jié)合在一起，成為一件眾多設(shè)計(jì)師所追求的優(yōu)良設(shè)計(jì)。似與Poul Henningsen的“PH”系列燈具有異曲同工之妙，它以Gyroid極小曲面為原型的設(shè)計(jì)本質(zhì)充分運(yùn)用了形態(tài)褶皺的流動性和韻律感，以規(guī)律變化賦能造型的方式既滿足了自然擴(kuò)散、反射光線的需要，又以其本身獨(dú)特的造型形態(tài)為用戶帶來別致的場景體驗(yàn)和心理感受，使得產(chǎn)品形態(tài)、功能和環(huán)境有機(jī)的結(jié)合起來，如圖6。

上述案例是對于極小曲面形態(tài)的—次有趣嘗試，也客觀反映出這一形式超過視覺復(fù)雜享受之外的功能性潛能。極小曲面的多孔結(jié)構(gòu)并不是無意識的，其對于空間流動管理的背后閃耀著科學(xué)的光亮：空間內(nèi)介質(zhì)的流動、循環(huán)與交換促成了一系列反應(yīng)作用，而空間形態(tài)的引導(dǎo)在這個(gè)應(yīng)用機(jī)理中起到了決定性作用。似與燈具結(jié)構(gòu)對于光線的規(guī)律引導(dǎo)實(shí)現(xiàn)了漫反射柔光有相似的應(yīng)用機(jī)理，其他介質(zhì)如水、空氣等也可以通過極小曲面結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)有效接觸面積最大的滲透性、吸附性及其他實(shí)用目的，有關(guān)極小曲面流動造型規(guī)律引導(dǎo)方面的探索還存在著更多的發(fā)展空間。

2.有機(jī)造型的空間體驗(yàn)。極小曲面有機(jī)未來的造型以及空間的流動屬性，激發(fā)了眾多設(shè)計(jì)師們探索的熱情。MINIMAIMAXIMA空間裝置在2017年世博會上首次展出，它以有機(jī)未來的造型吸引了許多游客駐足觀看并親身體驗(yàn)。從游玩參觀的旁觀者到置身其中親身感受的主人公，它扭轉(zhuǎn)美妙的形式結(jié)構(gòu)將人們帶入了一個(gè)奇幻世界，在那里人們感受到了探索視覺漫游的樂趣和沖動。進(jìn)入它就好像被運(yùn)送到一個(gè)奇異的未來，一個(gè)科幻小說世界中，當(dāng)人將身體依靠在基座的褶皺內(nèi)，讓身體曲線形狀與結(jié)構(gòu)本身相匹配時(shí)，注意力將會從現(xiàn)實(shí)世界中轉(zhuǎn)移開來，并在內(nèi)部感受到一種身心的融合，這樣獨(dú)特的空間體驗(yàn)感也正是極小曲面有機(jī)造型本身所擁有的神秘魅力。另外，這個(gè)裝置通過0.6mm超薄、自我支持的鋁板以極小曲面表面積最小的薄膜原理完成搭建，減少了材料的消耗，消除了對柱子和橫梁的需求，如圖7。

如上述案例中展現(xiàn)的那樣，極小曲面有機(jī)未來的造型不僅帶給了人們奇幻的視覺體驗(yàn)，更與人本身建立起美妙親切的心理聯(lián)系。這樣的非物理功能并不是極小曲面造型形態(tài)偶然閃現(xiàn)的可能魅力，這源于極小曲面背后數(shù)學(xué)邏輯本質(zhì)蘊(yùn)藏在自然規(guī)律、自然表達(dá)中的緊密聯(lián)系。肥皂泡的實(shí)驗(yàn)即可說明極小曲面本身即來源于自然，有著天然有機(jī)的生物、物理屬性且與自然的相適性極高。在生態(tài)環(huán)境問題日益嚴(yán)峻的當(dāng)今社會，極小曲面的作品—方面在建造耗材上具有更加高效的潛質(zhì)，另—方面來源于自然的形象或許也可為生態(tài)文明建設(shè)注入新的心理層面的潛在影響。

3.生物適配的醫(yī)學(xué)應(yīng)用。極小曲面的天然本質(zhì)與良好的生物適配性在醫(yī)學(xué)治療領(lǐng)域也具有應(yīng)用空間。極小曲面開放式的多孔有機(jī)結(jié)構(gòu)具有為細(xì)胞提供活動空間的同時(shí)又保持了良好的力學(xué)性能的優(yōu)勢，在人類一些組織器官，如骨剖面的微觀多孔結(jié)構(gòu)中與其具有相似性。這樣的結(jié)構(gòu)可為部分醫(yī)學(xué)藥物、種子細(xì)胞等提供吸附和物質(zhì)交換的場所，通過對于空間邊界的限制建?？梢詣?chuàng)造出具有極高應(yīng)用價(jià)值的醫(yī)學(xué)方案模型。利用這一特質(zhì)也為異性支架、靶向治療等醫(yī)學(xué)治療領(lǐng)域提供了新的思路。

（二）以力型結(jié)構(gòu)為向?qū)У膽?yīng)用案例與前景展望。

1.力學(xué)結(jié)構(gòu)的情感化表現(xiàn)。極小曲面作為同時(shí)擁有優(yōu)美形態(tài)和優(yōu)質(zhì)性能的一類曲面，一直以來廣受建筑設(shè)計(jì)師的青睞，這與建筑設(shè)計(jì)通常需要設(shè)計(jì)師同時(shí)具備良好的藝術(shù)美感和工程力學(xué)知識有著密不-可分的關(guān)系。極小曲面實(shí)際多應(yīng)用于局部索膜結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)之中，雖然充滿表現(xiàn)張力，但并沒有凸顯出其真正的力學(xué)結(jié)構(gòu)性能優(yōu)勢，直到伊東豐雄所設(shè)計(jì)的臺中歌劇院才將這力與形的結(jié)合與統(tǒng)一感性的表達(dá)出來。

臺中歌劇院作為極小曲面形態(tài)表達(dá)明確的一個(gè)代表，突破了一直以來極小曲面在建筑設(shè)計(jì)中作為膜結(jié)構(gòu)的一強(qiáng)大找形工具的存在，創(chuàng)造性地將極小曲面形態(tài)和結(jié)構(gòu)貫穿到整個(gè)設(shè)計(jì)之中，通過曲面載力凸顯出極小曲面的力學(xué)優(yōu)勢，使其真正作為建筑主體而存在。設(shè)計(jì)師完整保留了極小曲面感性有機(jī)的空間特征，并依托極小曲面奇幻有趣的空間結(jié)構(gòu)賦予其合理的布置和美的意義。它不僅以情感化的曲面立構(gòu)作為主框架打破了傳統(tǒng)幾何框架的束縛，且其內(nèi)部的孔洞特征模糊了空間的界限，以豐富曲面塑造了極為生動的情感力表現(xiàn)，使走入其中的人們產(chǎn)生一種獨(dú)特奇妙的情感共鳴?！奥曇舻暮础边@一設(shè)計(jì)主題也將內(nèi)容主體和情感形式完美地結(jié)合在了一起，表現(xiàn)出極小曲面不同于其他框架結(jié)構(gòu)的情感化表現(xiàn)優(yōu)勢，如圖8。

如上述案例所示，由于極小曲面兼有的力學(xué)結(jié)構(gòu)和感性曲面特質(zhì)使其相較于一般幾何框架結(jié)構(gòu)具有了更加豐富的情感化表現(xiàn)。這不僅是對現(xiàn)階段個(gè)性、未來、有機(jī)等潮流形式的回應(yīng)，也是極小曲面內(nèi)部流動的空間于人在形式上的強(qiáng)烈吸引與情感共鳴。置于極小曲面所打造的情感化表達(dá)空間內(nèi)，人們可以感受到自身與環(huán)境所建立起的聯(lián)系，在空間的交錯(cuò)中遇見同伴，感受整個(gè)過程的新奇和有趣。極小曲面的空間中交互行為的發(fā)生隨機(jī)自然且?guī)в袕?qiáng)烈的主動意識，這種突破常規(guī)線性幾何的感性結(jié)構(gòu)具有實(shí)際力學(xué)構(gòu)建的基礎(chǔ)，于建筑設(shè)計(jì)等空間藝術(shù)領(lǐng)域具有更多的開拓前景。

2.集聚狀態(tài)的結(jié)構(gòu)式應(yīng)用。極小曲面在無邊界條件的限制下可在空間內(nèi)進(jìn)行無限循環(huán)式的增長，這樣的集聚式表現(xiàn)和分子晶體理論中的一些案例具有非常相似的生長模式和結(jié)構(gòu)表現(xiàn)，且由于極小曲面同時(shí)具有的優(yōu)秀力學(xué)性能，其集聚式狀態(tài)在給定邊界的情況下更具有多種用途的可能。

Futurecraft 4D跑鞋是adidas聯(lián)合科技公司carbon 3D利用最新Digital Light Synthesis技術(shù)帶來的一款革命性中底跑鞋，如圖9。該跑鞋的核心中底技術(shù)正是依托于分子晶體理論原型和極小曲面的集聚構(gòu)成形態(tài)進(jìn)行研究和設(shè)計(jì)、利用光學(xué)4D打印技術(shù)進(jìn)行實(shí)際生產(chǎn)的。通過運(yùn)動仿生實(shí)驗(yàn)研究，人員抓取實(shí)驗(yàn)者在奔跑時(shí)的腳掌受力曲線與區(qū)域應(yīng)力圖，通過參數(shù)化技術(shù)的模擬干擾，對給定邊界下的結(jié)構(gòu)密度進(jìn)行了調(diào)整，以更好地發(fā)揮結(jié)構(gòu)效能。這種結(jié)構(gòu)在受到?jīng)_擊時(shí)可以為運(yùn)動員提供良好的緩沖和及時(shí)回彈，創(chuàng)造了更加舒適的服務(wù)體驗(yàn)。這雙跑鞋兼顧了科技、有機(jī)的未來式造型特點(diǎn)和良好的力學(xué)功能性，正應(yīng)和了極小曲面集聚狀態(tài)結(jié)構(gòu)在造型和結(jié)構(gòu)雙重評價(jià)體系下的優(yōu)勢。

從上述案例中進(jìn)一步延伸，極小曲面的集聚式組合方式具有密度低、力學(xué)性能好的優(yōu)勢特點(diǎn)，若以胞元體塊的方式進(jìn)行包覆和邊界化處理，以材料單元的形式進(jìn)行應(yīng)用，理論上具有既可實(shí)現(xiàn)原有力學(xué)性能，又達(dá)到了輕量化目的的可能。目前以蜂窩輕量胞元的蜂窩鋁材料得到了許多行業(yè)的實(shí)際應(yīng)用，且取得了不錯(cuò)的效果，若以同樣的設(shè)計(jì)構(gòu)思將極小曲面作為研究對象探討其集聚式結(jié)構(gòu)在材料輕量化方向的發(fā)展，將在傳統(tǒng)的建筑建材和其他工業(yè)制造領(lǐng)域有著非常重要的實(shí)際意義。

結(jié)語

目前極小曲面造型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的應(yīng)用一直處于探索狀態(tài)，不少領(lǐng)域，諸如建筑、產(chǎn)品、服裝、首飾、公共藝術(shù)等都對于極小曲面的實(shí)際應(yīng)用開展了積極嘗試。然而極小曲面奇特造型和優(yōu)質(zhì)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)特點(diǎn)還存在著許多潛能有待人們?nèi)ヌ綄?，在未來，隨著學(xué)科交流融合的進(jìn)一步加深和生產(chǎn)制造技術(shù)的進(jìn)一步升級促進(jìn)，極小曲面的造型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有望在個(gè)性定制、生物醫(yī)療、介質(zhì)導(dǎo)向、空間布局、材料輕量等更多領(lǐng)域具有更加廣闊的發(fā)展前景。