欒功

[摘? ?要]走進(jìn)2019年高考題“云”之深處，探索命題本源，研究真題把握新高考趨勢，能更好地指導(dǎo)高三復(fù)習(xí)教學(xué).

[關(guān)鍵詞]高考題;全國卷Ⅲ;解法;復(fù)習(xí)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0001-03

正如唐代詩人杜牧在《山行》中寫道“遠(yuǎn)上寒山石徑斜，白云生處有人家”，2019年高考理科試題全國卷Ⅲ中一朵“云”引發(fā)了無數(shù)網(wǎng)友和考生的熱議，網(wǎng)上更是各種吐槽層出不窮.“我看到了一朵云……一朵云……我當(dāng)時大腦一片空白.”“完全不按套路出牌，練了那么多還是沒用.”“全國卷Ⅲ的云朵好凄美！”那么試題的本來面目究竟如何呢？讓我們一起走進(jìn)“云”朵深處，探索本源，細(xì)細(xì)思量.

題目：（2019年新課標(biāo)Ⅲ卷文理22）如圖1，在極坐標(biāo)系[Ox]中，[A2，0]，[B2，π4]，[C2，3π4]，[D2，π]，弧[AB，BC，CD]所在圓的圓心分別是[1，0]，[1，π2 ，1，π]，曲線[M1]是弧[AB]，曲線[M2]是弧[BC]，曲線[M3]是弧[CD].

（1）分別寫出[M1]，[M2]，[M3]的極坐標(biāo)方程;

（2）曲線[M]由[M1]，[M2]，[M3]構(gòu)成，若點[P]在[M]上，且[OP=3]，求[P]的極坐標(biāo).

一、試題解析

解：（1）由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點.

[M1： ρ=2cosθ? θ∈0，π4]，

[M2： ρ=2cos? θ-π2=2sinθ? θ∈π4，3π4]，

[M3： ρ=2cos（θ-π）=-2cosθθ∈3π4，π] .

（2）解方程[2cosθ=3θ∈0，π4]得[θ=π6]，此時[P]的極坐標(biāo)為[3，π6]，

解方程[2sinθ=3θ∈π4，3π4]得[θ=π3]或[θ=2π3]，此時P的極坐標(biāo)為[3，π3]或[3，2π3] .

解方程[-2cosθ=3θ∈3π4，π]得[θ=5π6]，此時[P]的極坐標(biāo)為[3，5π6].

故[P]的極坐標(biāo)為[3，π6]，[3，π3]，[3，2π3]，[3，5π6] .

評注： 試題源于教材，考查極坐標(biāo)的基礎(chǔ)知識和基本方法，屬于常規(guī)中檔題目.試題新穎之處是以“云”曲線的形式給出，表面給考生造成一定的心理壓力.若仔細(xì)分析，整體還是有利于考生發(fā)揮解答的.第（1）問以三段圓弧為載體，給出圓心和圓上的點，求三段圓弧的極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)方程的基本概念和求法，對于平時只刷題不仔細(xì)回扣課本概念的考生來說很容易在極角的范圍處出錯.第（2）問進(jìn)一步考查考生用極坐標(biāo)方程解決一些和極點有關(guān)的角度和長度問題的能力.試題的設(shè)計符合課程標(biāo)準(zhǔn)對極坐標(biāo)系內(nèi)容的教學(xué)要求.

二、本質(zhì)探源

《禮記》中記載道：“唯社丘乘粢盛，所以報本反始也.”由此可見，教師的教學(xué)和備考工作只有回歸本源，在根本處下功夫，與課本相伴，研究歷年真題的變化規(guī)律，方能讓學(xué)生取得好成績.

題根1：? 如圖2，半徑為[a]的圓的圓心坐標(biāo)為[Ca，0] [a>0]，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標(biāo)[ρ，θ]滿足的條件嗎？（人教A版選修4-4第12頁“圓的極坐標(biāo)方程探究”）

題根來源于圓的極坐標(biāo)方程的新課探究內(nèi)容.我們發(fā)現(xiàn)特殊地當(dāng)[a=1]和[a=-1]時，就是今年高考試題第22題中的曲線[M1]和[M3]，極坐標(biāo)方程分別為[ρ=2cosθ]和[ρ=-2cosθ].考生只需要根據(jù)題目給出圓弧加注極角范圍即可.

探究內(nèi)容不只是求出曲線[C]的極坐標(biāo)方程，還特別好地給出了求曲線的極坐標(biāo)方程的一般方法，即求曲線方程時，關(guān)鍵是找出曲線上的點滿足的幾何條件，將它用坐標(biāo)表示，再通過代數(shù)變換進(jìn)行化簡.與求圓的直角坐標(biāo)方程相比，求它的極坐標(biāo)方程更加簡便，因為在極坐標(biāo)系下，圓上點的坐標(biāo)[ρ，θ]所滿足的條件更容易表示，代數(shù)變換也更加直接.

題根2： 在極坐標(biāo)系中，求適合下列條件的圓的方程.（4）圓心在[a，π2]，半徑為[a]的圓.（人教A版選修4-4第15頁習(xí)題2.（4））

課本很及時地給出了圓心在[y]軸且過極點的圓的習(xí)題，可得[ρ=2asinθ].同時課本習(xí)題還給出了特殊地當(dāng)[a=1]時的方程[ρ=2sinθ]，讓畫出圖形.這就是原原本本的今年高考試題里的曲線[M2].看到這里，疑“云”已消散，“云”原來是課本探究和習(xí)題的完美組合，是考生學(xué)習(xí)新課時第一眼見到的“云”朵，正所謂“不忘初心，方得始終”.

三、細(xì)細(xì)思量

通過上述考題看我們的復(fù)習(xí)教學(xué)，筆者認(rèn)為復(fù)習(xí)忌大量刷題代替系統(tǒng)復(fù)習(xí)，忌題型訓(xùn)練代替課本回歸，應(yīng)該注重鞏固基礎(chǔ)知識和強化基本方法，盡可能地挖掘概念的內(nèi)涵和外延.例如，極坐標(biāo)與方程核心的概念就是極角[θ]和極徑[ρ]以及建立[ρ]和[θ]的聯(lián)系.相比直角坐標(biāo)系下的普通方程，極坐標(biāo)方程可以更方便、快捷地解決和極點有關(guān)的角度和長度問題，這也是我們復(fù)習(xí)的重點.

1.以課本為根本，深挖概念本質(zhì)

課本是考生學(xué)習(xí)的第一素材，是命題人命題的主要依據(jù).在高三的一輪復(fù)習(xí)中，忌一味刷題訓(xùn)練，教師要帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)課本，重溫數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，挖掘數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，建立知識之間的聯(lián)系，讓學(xué)生逐步體會、感知和學(xué)會運用課本滲透的數(shù)學(xué)思想和方法解題.

以上述考題為例，第（1）問求曲線的極坐標(biāo)方程，這是課本內(nèi)容的重點.新課探究中明確說明了一般求解程序，其中極角的范圍是考生的易錯點.對極角概念的考查在新課標(biāo)試卷中早已出現(xiàn).例如2014年新課標(biāo)Ⅱ卷22題：在直角坐標(biāo)系[xOy]中，以坐標(biāo)原點為極點，[x]軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓[C]的極坐標(biāo)方程為[ρ=2cosθ]，[θ∈0，π2].（1）求C的參數(shù)方程.