李 江 李慶春 唐 文

(①中煤科工集團(tuán)西安研究院有限公司，陜西西安 710077； ②長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西西安 710154； ③西安石油大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，陜西西安 710065)

0 引言

隨著波動(dòng)方程疊前偏移方法的發(fā)展，利用波場(chǎng)的聚焦效果評(píng)估背景速度對(duì)波場(chǎng)傳播的影響更為有效[1-3]。聚焦之后的局部成像結(jié)果包含速度信息，以此可以形成基于共成像點(diǎn)道集的偏移速度分析方法[4-5]。因此，共成像點(diǎn)道集的精度及其對(duì)速度的敏感性決定著偏移速度分析的可行性，也影響著偏移速度分析的收斂速度和效果[6]。

由于射線多路徑問(wèn)題的影響，常規(guī)CMP道集或炮檢距域共成像點(diǎn)道集存在不同程度的構(gòu)造假象，而角道集對(duì)射線多路徑具有自適應(yīng)性，通過(guò)波動(dòng)方程偏移提取的角度道集(ADCIG)不存在假象[7-8]，而且其偏移深度僅是局部入射角的函數(shù)，影響速度分析的變量因素少，適合于做偏移速度分析[9-10]。Biondi等[11]分析了ADCIG上的入射角與剩余時(shí)差關(guān)系； 劉守偉等[12-13]推導(dǎo)了波動(dòng)方程炮檢距域共成像點(diǎn)道集(ODCIG)和ADCIG與偏移速度的關(guān)系，分析了剩余時(shí)差對(duì)偏移速度誤差的敏感性，并基于ADCIG推導(dǎo)了水平層狀介質(zhì)條件下的速度更新公式，統(tǒng)一了常用的深度聚焦分析和剩余曲率分析的速度判別準(zhǔn)則； Zhang等[14]基于剩余曲率速度分析的原理，利用ADCIG建立了入射角與偏移深度之間的聯(lián)系，以此進(jìn)行剩余速度分析修正、更新偏移速度； 徐嘉亮等[15]分析了角度域剩余深度對(duì)剩余速度的敏感性，為偏移速度分析中初始模型的選擇提供了依據(jù)； 任芳等[16]基于微分相似優(yōu)化速度反演方法的原理，利用ADCIG建立了目標(biāo)泛函判定速度的準(zhǔn)確性； 秦寧等[17]將角度道集作為輸入數(shù)據(jù)，在剩余曲率法速度更新的基礎(chǔ)上建立了相應(yīng)的層析速度建模方程，為角度道集用于速度分析開(kāi)辟了新途徑。

前人研究表明，ADCIG對(duì)速度誤差非常敏感，且可以更為準(zhǔn)確、直觀地進(jìn)行速度判別，非常有利于速度分析。但目前基于ADCIG的速度分析方法多以水平層狀介質(zhì)為基礎(chǔ)，且研究?jī)?nèi)容集中于建立偏移深度與速度誤差之間的函數(shù)關(guān)系，以此探討ADCIG用于速度分析的可行性和優(yōu)越性。面對(duì)實(shí)際地層復(fù)雜的構(gòu)造特征，有必要推導(dǎo)實(shí)用性更強(qiáng)的傾斜界面或復(fù)雜構(gòu)造情況下的ADCIG更新方程。另外，ADCIG作為偏移速度分析的一種輸入，如何直觀定量地判別速度誤差也是提高速度分析建模精度的重要研究?jī)?nèi)容。

本文基于波動(dòng)方程疊前偏移過(guò)程中波場(chǎng)角度域轉(zhuǎn)化的運(yùn)動(dòng)學(xué)屬性，推導(dǎo)了傾斜地層情況下ADCIG的剩余深度方程，拓展了ADCIG用于速度分析的適用性。為了準(zhǔn)確判斷速度誤差，本文在相關(guān)法速度分析[18]的基礎(chǔ)上，通過(guò)道集信噪比的估計(jì)發(fā)展了匹配相關(guān)的剩余曲率譜計(jì)算方法，從而可以定量拾取剩余曲率值進(jìn)行速度更新。理論模型和實(shí)際資料試算表明，本文匹配相關(guān)算法提高了剩余曲率譜的分辨率和抗噪能力，可以更為準(zhǔn)確地拾取剩余曲率值，提高速度分析的精度。

1 ADCIG剩余深度方程

基于ADCIG的運(yùn)動(dòng)學(xué)屬性可知，當(dāng)偏移速度不準(zhǔn)確時(shí)，波動(dòng)方程偏移無(wú)法使波場(chǎng)在零炮檢距處聚焦，這時(shí)波場(chǎng)的角度域轉(zhuǎn)換將沿著與局部炮檢距正交方向移動(dòng)成像點(diǎn)，即角度轉(zhuǎn)換將成像點(diǎn)從不同位置的炮檢距域(Ixh、Izh、I0)變換到同一位置處的角度域(Iβ)，也就是法向移動(dòng)校正了炮檢距方向?qū)Τ上顸c(diǎn)位置的影響[11]，其幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 速度偏小時(shí)角度域轉(zhuǎn)換的幾何關(guān)系

此時(shí)角度域偏移的成像點(diǎn)(Iβ)位于視地層傾角法線方向，且穿過(guò)震源S0和檢波器R0的射線交點(diǎn)I。由圖中幾何關(guān)系可知，角度域轉(zhuǎn)換引起的沿反射層的法線移動(dòng)量為Δnβ

Δnβ=Δnh0tan2β

(1)

式中： Δnh0=nh0/tanβ表示地層傾角域的成像點(diǎn)法線移動(dòng)量；β為入射角；h0表示半炮檢距距；n為地層界面法向。由零炮檢距處波場(chǎng)聚焦引起的全部法向移動(dòng)量為

(2)

根據(jù)式(2)，利用三角關(guān)系和Fermat定理，可以推出Δntotal和由速度誤差引起的旅行時(shí)擾動(dòng)間的關(guān)系為

(3)

式中：vm是成像點(diǎn)附近的偏移速度； Δt為背景旅行時(shí)和擾動(dòng)旅行時(shí)的差值。傾斜地層情況下任意入射角時(shí)的波場(chǎng)傳播旅行時(shí)表達(dá)式為[19]

(4)

式中：z為反射點(diǎn)深度；v為波場(chǎng)傳播速度。相應(yīng)地，在速度不準(zhǔn)確的情況下(偏移速度為vm)，可得波場(chǎng)旅行時(shí)

(5)

定義剩余曲率p=vm/v，可得vm引起的波場(chǎng)傳播旅行時(shí)時(shí)差為

(6)

將式(6)代入式(3)，可得

(7)

式中zm為成像深度。剩余深度描述了成像點(diǎn)任意入射角β與法線入射方向時(shí)(β=0)的深度之差。由式(7)可得

ΔnRMO=Δntotal(β)-Δntotal(0)

(8)

式中ΔnRMO為沿地層法向的剩余深度。速度分析利用垂直方向的深度剩余量，因此，需將沿地層法向的剩余深度投影到垂向，即

(9)

式中ΔzRMO為垂向剩余深度。為更一般性地表示地下反射點(diǎn)深度z，可以用zm=zp近似替換，則

(10)

上式即為地層任意傾角情況下ADCIG上的深度剩余量計(jì)算公式。當(dāng)α=0°時(shí)，上式退化為水平層狀介質(zhì)的公式。圖2為z=2000m、α=10°時(shí)用式(10)計(jì)算的剩余深度隨剩余曲率的變化曲線。同一入射角時(shí)不同剩余曲率引起不同的剩余深度量，通過(guò)剩余曲率掃描得到一系列剩余深度進(jìn)行道集更新。當(dāng)同相軸拉平時(shí)對(duì)應(yīng)的剩余曲率值就可以用作速度修正

(11)

式中：vupdate示第i層更新后的速度；vi是初始偏移速度；pi是拾取的剩余曲率值。由上式可以看出，速度更新對(duì)拾取的剩余曲率值pi較為敏感，因此需要在空間上先進(jìn)行一定的平滑和插值，然后進(jìn)行速度更新，得到整個(gè)模型空間更新后的速度。

圖2 入射角β不同時(shí)的理論計(jì)算的剩余深度隨剩余曲率的變化曲線

2 速度分析方法

通過(guò)ADCIG同相軸的彎曲情況僅能判斷速度是否正確，為了進(jìn)行速度更新還需獲得準(zhǔn)確的剩余曲率。依據(jù)常規(guī)速度分析方法的思路[20-22]，本文給出一系列剩余曲率值，根據(jù)式(10)計(jì)算剩余深度量并進(jìn)行道集更新，以此制作剩余曲率譜，然后拾取剩余曲率譜極值對(duì)應(yīng)的剩余曲率值，進(jìn)而求取更新后的速度模型。因此，獲得計(jì)算精度高、分辨率高的剩余曲率譜，是拾取準(zhǔn)確剩余曲率值的關(guān)鍵。

2.1 疊加法

疊加法是最常用的一種速度分析方法，將它用于ADCIG來(lái)判斷速度誤差，基本過(guò)程可以描述為：選取一系列剩余曲率值計(jì)算剩余深度量； 然后進(jìn)行深度更新，如果剩余曲率值選取合適，彎曲的ADCIG同相軸被校平，各個(gè)角度的波形一致； 將不同入射角的成像道集疊加后其能量最大，最大能量或最大振幅對(duì)應(yīng)的剩余曲率值就是可用于速度更新的最佳值。疊加能量法速度分析公式可表示為

(12)

式中：U(zi，i)表示深度zi處更新后的ADCIG；Ntr表示數(shù)據(jù)的總道數(shù)；CE為平均振幅能量。進(jìn)行剩余曲率譜掃描，當(dāng)剩余曲率值準(zhǔn)確時(shí)，計(jì)算可獲得準(zhǔn)確的剩余深度量，更新后的ADCIG同相軸是水平的，成像深度不隨入射角變化，疊加之后能量最大； 當(dāng)剩余曲率值不準(zhǔn)確時(shí)，剩余深度量也存在誤差，更新后的同相軸無(wú)法校平，這樣同一深度不同角度的地震道集疊加之后能量將大大削弱。

2.2 相關(guān)法

基于相關(guān)計(jì)算的速度分析方法將能量疊加改為相關(guān)計(jì)算[23]，以此提高剩余曲率譜的計(jì)算精度。Al-Yahya[24]于1989年提出了能量相關(guān)計(jì)算剩余曲率譜的方法，其公式為

(13)

式中CS為相似系數(shù)。當(dāng)掃描的剩余曲率值準(zhǔn)確時(shí)，剩余深度計(jì)算準(zhǔn)確，ADCIG被校平，不同角度之間波形一致，CS=1；否則，道集無(wú)法校平，CS<1。在信噪比較低的情況下，為了提高復(fù)雜道集剩余曲率值的拾取精度，對(duì)式(13)做如下改造

(14)

當(dāng)n取1、2、3時(shí)，相關(guān)剩余曲率譜的分辨率可隨階數(shù)增大而提高，從而更有利于提高剩余曲率值的拾取精度。

2.3 匹配相關(guān)法

由于缺乏子波約束，使用疊加類或相關(guān)類方法計(jì)算的剩余曲率譜分辨率一般較低。假設(shè)地震道集振幅譜和原始數(shù)據(jù)頻譜近似匹配的情況下，可以用信噪比(RS/N)定量描述道集質(zhì)量。假設(shè)地震數(shù)據(jù)中噪聲與有效信號(hào)不相關(guān)，則道集的RS/N估算公式為[25]

(15)

式中λi表示ADCIG協(xié)方差矩陣按降序排列的特征值，一般可以通過(guò)奇異值分解或QR分解等方法求解[26]。對(duì)于上式有如下認(rèn)識(shí)：如果剩余曲率掃描值合適，道集時(shí)窗內(nèi)計(jì)算的信噪比較大；當(dāng)剩余曲率掃描值不合理時(shí)，則計(jì)算得到的信噪比數(shù)值較小。

利用相關(guān)系數(shù)(式(14))和信噪比(式(15))可以構(gòu)造如下相關(guān)函數(shù)

CSG(z,p)=CS×RS/N

(16)

當(dāng)剩余曲率值準(zhǔn)確時(shí)，道集相關(guān)性最好，信噪比最高，該方程將這兩者進(jìn)行了匹配，能進(jìn)一步提高剩余曲率譜的分辨率。另外，如果ADCIG包含多次波或轉(zhuǎn)換波等交互干擾時(shí)，在信噪比估算中，這些干擾均會(huì)被視為噪聲，不會(huì)影響有效信號(hào)的估計(jì)，即在低信噪比情況下，不會(huì)降低有效信號(hào)的分辨率，因此式(16)在低信噪比數(shù)據(jù)中同樣可以獲得較高的分辨率。

3 模型數(shù)據(jù)測(cè)試

通過(guò)模型數(shù)據(jù)對(duì)幾種剩余曲率譜計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)照測(cè)試。對(duì)理論數(shù)據(jù)進(jìn)行偏移成像時(shí)，首先采用準(zhǔn)確的偏移速度，因此可以獲得同相軸平直的ADCIG，進(jìn)行剩余曲率速度分析時(shí)，剩余曲率譜極值處對(duì)應(yīng)的剩余曲率值p=100%。以此數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別采用疊加法、相關(guān)法和匹配相關(guān)法計(jì)算ADCIG對(duì)應(yīng)的剩余曲率譜，對(duì)比不同算法的分辨率，然后對(duì)ADCIG添加不同幅度的隨機(jī)噪聲以測(cè)試方法的抗噪性。最后，采用有誤差的速度進(jìn)行偏移，以此測(cè)試速度分析方法對(duì)速度誤差判斷的準(zhǔn)確性。

3.1 分辨率分析

圖3a為未添加噪聲時(shí)的ADCIG，可以看出主要目的層位的ADCIG同相軸平直，說(shuō)明偏移速度準(zhǔn)確。圖3b～圖3d分別為疊加法、相關(guān)法和匹配相關(guān)法計(jì)算的剩余曲率譜，可見(jiàn)，幾種方法均能較好地反映速度誤差情況，能量團(tuán)峰值基本都在p=100%處，但不同的方法在剩余曲率橫向分辨率和深度分辨率上存在差別。疊加法總體效果最差，僅在淺部具有相對(duì)較高的縱向分辨率，在中深層其能量團(tuán)被拉伸，分辨率明顯降低，特別是在深層，基本沒(méi)有可分辨的能量團(tuán)；相關(guān)法相對(duì)于疊加法其縱、橫向分辨率均得到提高，縱向上可分辨的層位增多，對(duì)于深層也有反映；匹配相關(guān)法獲得了分辨率最高的剩余曲率譜，其橫向分辨率大大提高，主要是因?yàn)橥ㄟ^(guò)信噪比的加權(quán)約束，正確剩余曲率譜時(shí)的相似系數(shù)得到加強(qiáng)，而剩余曲率存在誤差時(shí)的相似系數(shù)相對(duì)弱化了，因此能量團(tuán)收斂、更為集中。

圖3 原始ADCIG及其不同方法計(jì)算的剩余曲率譜

3.2 抗噪性分析

處理方法的抗噪性測(cè)試是檢驗(yàn)其實(shí)用性的有效途徑，對(duì)于實(shí)際資料中經(jīng)常出現(xiàn)的隨機(jī)噪聲，本文通過(guò)一般性的理論模型，研究其對(duì)幾種剩余曲率譜計(jì)算方法的影響。在圖3a所示的ADCIG中加入不同程度的高斯白噪聲，使其信噪比分別為2.0和0.4，即代表高、低信噪比兩種情況下的數(shù)據(jù)。圖4為高信噪比情況下的ADCIG及不同方法計(jì)算的剩余曲率譜，可以看出，由于隨機(jī)噪聲的干擾，各種方法獲得的剩余曲率譜隨深度增加分辨率均有所下降，但總體仍具有較好的效果，從中均可以拾取到較為準(zhǔn)確的剩余曲率值，說(shuō)明這些方法都具有一定的抗噪性。從疊加法、相關(guān)法到匹配相關(guān)法，其分辨率和信噪比逐漸提高。但在隨機(jī)噪聲的影響下，疊加法和相關(guān)法計(jì)算的剩余曲率譜中均受到噪聲干擾，而匹配相關(guān)法幾乎沒(méi)有受到噪聲干擾，仍具有較高的分辨率和信噪比。

圖5為低信噪比時(shí)的ADCIG及其剩余曲率譜。由圖5a可以看出，原始ADCIG中能量較弱的同相軸已經(jīng)完全被噪聲淹沒(méi)，只有中深部反射能量較強(qiáng)的幾個(gè)同相軸可以識(shí)別。用不同方法計(jì)算其剩余曲率譜，其中疊加法受噪聲干擾嚴(yán)重，信噪比也較低，但峰值計(jì)算的能量較強(qiáng)，仍具有一定的分辨率；相關(guān)法剩余曲率譜信噪比相對(duì)得到提高，但由于噪聲能量較強(qiáng)，相關(guān)法也無(wú)法突出最佳剩余曲率值，其剩余曲率譜峰值能量相對(duì)較弱；匹配相關(guān)法取得了較好的效果，由于噪聲對(duì)有效信號(hào)的估計(jì)不產(chǎn)生影響，因此低信噪比時(shí)信噪比估計(jì)尤為有效，通過(guò)信噪比和相似系數(shù)的聯(lián)合，有效增強(qiáng)了最佳剩余曲率值時(shí)的相關(guān)系數(shù)，因此剩余曲率譜的分辨率得到提高。對(duì)于含噪聲ADCIG中無(wú)法識(shí)別的同相軸，匹配相關(guān)計(jì)算仍可對(duì)其進(jìn)行剩余曲率譜掃描，獲得高分辨率的剩余曲率譜，進(jìn)而拾取較為準(zhǔn)確的剩余曲率值。

3.3 速度誤差的判斷精度

偏移速度分析的目的即是通過(guò)成像道集識(shí)別并提取速度誤差，進(jìn)而更新偏移速度場(chǎng)。首先采用偏小的速度進(jìn)行偏移，偏移速度設(shè)計(jì)為真實(shí)速度的0.80～0.90倍，且隨深度線性變化，圖6a為速度偏小時(shí)偏移獲得的ADCIG，可以看到道集同相軸向上彎曲。通過(guò)匹配相關(guān)法計(jì)算獲得的剩余曲率譜如圖6b所示，可見(jiàn)該剩余曲率譜較為準(zhǔn)確地反映了速度誤差。進(jìn)一步采用偏大的速度進(jìn)行偏移，偏移速度設(shè)計(jì)為真實(shí)速度的1.05～1.20倍，且隨深度任意變化。圖6c為速度偏大時(shí)偏移提取的ADCIG，可以看到該道集同相軸向下彎曲，且不同深度同相軸彎曲程度不同，直觀地表明不同深度存在不同的速度誤差。圖6d為匹配相關(guān)法計(jì)算獲得的剩余曲率譜，它更為清晰地反映了不同深度的速度誤差量。

圖4 高信噪比ADCIG及其不同方法計(jì)算的剩余曲率譜

圖5 低信噪比ADCIG及其不同方法計(jì)算的剩余曲率譜

圖6 速度存在誤差時(shí)的ADCIG及匹配相關(guān)算法計(jì)算的剩余曲率譜

上面測(cè)試表明，ADCIG的同相軸彎曲情況僅反映了偏移速度存在偏小或偏大的誤差，而通過(guò)本文剩余曲率譜的計(jì)算，可以拾取較為精確的剩余曲率值，以此進(jìn)行速度更新，使速度向正確的方向收斂。

4 實(shí)際數(shù)據(jù)試算

圖7a為實(shí)際資料通過(guò)角度域偏移獲得的ADCIG，圖7b～圖7d為不同方法計(jì)算的剩余曲率譜?？梢钥闯觯函B加法在中部其能量團(tuán)峰值較分散，分辨率較低；相似法計(jì)算的剩余曲率譜能量收斂，橫向分辨率大大提高，可以進(jìn)行剩余曲率值拾??；匹配相關(guān)法計(jì)算的剩余曲率譜分辨率和信噪比進(jìn)一步提高，可以拾取較為準(zhǔn)確的剩余曲率值。

圖7 實(shí)際數(shù)據(jù)提取的ADCIG及其不同方法計(jì)算的剩余曲率譜

5 結(jié)論

波動(dòng)方程偏移提取的ADCIG正確地反映了地下的構(gòu)造和巖性信息，是目前唯一沒(méi)有假象的道集，它對(duì)速度誤差較為敏感，非常適用于偏移速度分析。本文從ADCIG的運(yùn)動(dòng)學(xué)屬性出發(fā)，推導(dǎo)了傾斜地層情況下的ADCIG剩余深度方程，在相關(guān)法基礎(chǔ)上發(fā)展了匹配相關(guān)法進(jìn)行剩余曲率掃描以計(jì)算剩余曲率譜，從而可以準(zhǔn)確、直觀地進(jìn)行初始模型速度誤差的判斷和更新，提高偏移速度建模的準(zhǔn)確性。本文的匹配相關(guān)速度分析方法具有較好的抗噪性，在低信噪比數(shù)據(jù)中仍可提取到弱反射信號(hào)，因此具有更高的分辨率。由理論模型和實(shí)際資料的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，相關(guān)法和匹配相關(guān)法可以獲得較為近似的結(jié)果，但匹配相關(guān)法具有更高的分辨率，特別是在橫向上，其對(duì)剩余曲率的分辨率更高。但是匹配相關(guān)法一般要通過(guò)奇異值分解或QR分解來(lái)計(jì)算ADCIG協(xié)方差矩陣的特征值，因此計(jì)算量一般較大。