李厚梅　向淑文

【摘要】本文主要研究Cauchy中值問題解的穩(wěn)定性，其研究具有重要的理論意義，借助有限理性模型研究非線性問題解的穩(wěn)定性方法，首先給出Cauchy中值問題的具體有限理性模型，其次通過驗(yàn)證其假設(shè)條件和利用已有的結(jié)論，最后得到絕大多數(shù)的Cauchy中值問題的解是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定和魯棒的.

【關(guān)鍵詞】Cauchy中值問題;有限理性;穩(wěn)定性;魯棒性

【基金項(xiàng)目】貴州省科學(xué)技術(shù)基金（黔科合J字[2014]2058號）.

一、引 言

Cauchy中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學(xué)的基本定理之一，它是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，也是洛必達(dá)法則的理論基礎(chǔ).它有著廣泛的應(yīng)用，例如，解決了微積分學(xué)中與中值定理有關(guān)的證明問題，通過研究已有柯西中值定理的高階微分形式，結(jié)合差分的相關(guān)知識，解決一類復(fù)雜不等式的證明，利用中值定理求極限，類似地，推廣的Cauchy中值定理可以應(yīng)用函數(shù)構(gòu)建法來解決一些方程根的存在性及一些不等式問題等.

Cauchy中值問題表述如下：

（P）求x*∈（a，b），使得f′（x*）g′（x*）=f（b）-f（a）g（b）-g（a），

其中函數(shù)f（x）和g（x）均在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)且在（a，b）上可導(dǎo)，對任意x∈（a，b），g′（x）≠0.稱x*為Cauchy中值問題（P）的解.

大量文獻(xiàn)對Cauchy中值定理進(jìn)行了多層面的研究，得到了一些有用的結(jié)果[1-2].陳新一[1]研究并得到了關(guān)于Cauchy中值定理的逆問題;杜爭光[2]推廣了Cauchy中值定理且得到了該定理的一個廣義積分形式，還對該定理的中間點(diǎn)x*的漸近性進(jìn)行了討論;何基好[3]對微分學(xué)中的拉格朗日中值問題解開展了關(guān)于穩(wěn)定性方面的研究.

2001年，Anderlini和Canning[4]建立了抽象模型M，這是一類帶有抽象理性函數(shù)的參數(shù)化的“一般博弈”模型，隨后，俞建等人[5]重新研究了此模型，不但擴(kuò)大了模型的應(yīng)用范圍，而且還得到了一些新的較為深刻的結(jié)果[6-9].具體地，文獻(xiàn)[5]將假設(shè)條件進(jìn)一步弱化：Λ是緊度量空間將其減弱為完備度量空間，理性函數(shù)R由原來的在（λ，x）上連續(xù)減弱為下半連續(xù)，集值映射f由連續(xù)減弱為上半連續(xù).同時，文獻(xiàn)[5]給出了模型M在λ∈Λ對ε-平衡魯棒和M在 λ∈Λ是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的新定義并且證明了對絕大多數(shù)的λ∈Λ（Baire分類的意義上），M是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，對ε-平衡也都是魯棒的.

受上述研究的啟發(fā)，本文主要在有限理性框架下研究柯西中值問題解的穩(wěn)定性.結(jié)構(gòu)如下：第二部分是本文需要的一些預(yù)備知識，且給出有限理性下的穩(wěn)定性結(jié)論;第三部分先定義了度量，后構(gòu)造了理性函數(shù)，結(jié)合有限理性的框架知識給出柯西中值問題解的穩(wěn)定性結(jié)果;第四部分是本文的結(jié)論.

二、預(yù)備知識

在本文中，設(shè)（X，d）為度量空間，記K（X）為X的所有非空緊子集的全體，其上的拓?fù)溆蒟上的d誘導(dǎo)的Hausdorff度量生成.首先，回顧AC-有限理性模型M.具體地，M={Λ，X，F(xiàn)，R}，其中Λ為參數(shù)空間或問題空間，每個λ∈Λ表示一個博弈問題;X是策略或行為空間，每個x∈X表示一個策略;F：Λ×X→2X是可行集值映射，F(xiàn)誘導(dǎo)出一行為映射f：Λ→2X，其中λ∈Λ，f（λ）={x∈X：x∈F（λ，x）}，該行為映射f的圖像為Graph（f）={（λ，x）∈Λ×X：x∈f（λ）}，R：Graph（f）→R+為理性函數(shù)，特別地，R（λ，x）=0對應(yīng)于完全理性.λ∈Λ，ε≥0，E（λ，ε）={x∈f（λ）：R（λ，x）≤ε}定義為問題λ的ε-平衡點(diǎn)集，E（λ）=E（λ，0）={x∈f（λ）：R（λ，x）=0}則為λ的平衡點(diǎn)集.

文獻(xiàn)[10]主要假定（Λ，ρ）是完備度量空間，（X，d）是緊度量空間，f：Λ→K（X）是上半連續(xù)的，且λ∈Λ，f（λ）∈K（X）R;Graph（f）→R+是下半連續(xù)的，而λ∈Λ，E（λ）≠.這樣，λ∈Λ，ε≥0，E（λ，ε）={x∈f（λ）：R（λ，X）≤ε}必是X中的閉集，從而是緊集.

下面是關(guān)于AC-有限理性模型M對ε-平衡的魯棒性和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的定義.

定義1[4] 如果δ>0，存在ε>0，使λ∈Λ，當(dāng)ε<ε時，有

h（E（λ，ε），E（λ））<δ，

稱M對ε-平衡點(diǎn)集是魯棒的，其中h是X上的Hausdorff距離.

定義2[4] 如果平衡映射E：Λ→K（X）是連續(xù)的，稱M是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的.

現(xiàn)將文獻(xiàn)[11]中的主要結(jié)果用定理A的形式給出.

定理A 設(shè)（Λ，ρ）是完備度量空間，（X，d）是緊度量空間，f在Λ上是usco的，即

f：Λ→K（X）是上半連續(xù)的，λ∈Λ，f（λ）是非空緊集，

R：Graph（f）→R+是下半連續(xù)的且λ∈Λ，E（λ）≠，則

（1）平衡映射E在Λ是usco的;

（2）存在Λ中的一個稠密剩余集Q，使得λ∈Q，M在λ是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的;

（3）如果M在λ∈Λ是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，則M在λ∈Λ對ε-平衡必是魯棒的，從而λ∈Q，M在λ對ε-平衡必是魯棒的;

（4）λ∈Q，λn→λ，εn→0，有h（E（λn，εn），E（λ））→0;

（5）如果λ∈Λ，而E（λ）是單點(diǎn)集，則M在λ∈Λ是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，在λ∈Λ對ε-平衡必是魯棒的.

三、主要結(jié)果

構(gòu)造Cauchy中值問題空間如下：

設(shè)X=[a，b]R=（-∞，+∞）是非空有界閉區(qū)間，Λ1={λ=（h，g，[c，d]）}h′g′：X→R在X上連續(xù)，h（x），g（x）是X上的連續(xù)函數(shù)，x∈（a，b），g′（x）≠0，maxx∈X|h（x）|<+∞，maxx∈X|g（x）|<+∞，[c，d]是X中的非空有界閉子區(qū)間，存在x∈（c，d），使得h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c）.λ1=（h1，g1，[c1，d1]），λ2=（h2，g2，[c2，d2]）∈Λ1，定義

ρ1（λ1，λ2）=maxx∈X‖h1（x）-h2（x）‖+maxx∈X‖g1（x）-g2（x）‖+maxx∈Xh1′（x）g1′（x）-h2′（x）g2′（x）+h（[c1，d1]，[c2，d2]），其中h是X上的Hausdorff距離，很顯然，ρ1是Λ1上的一個度量，則容易證明（Λ1，ρ1）是度量空間.

引理3.1 （Λ1，ρ1）是完備度量空間.

證 設(shè){λn=（gn，hn，[cn，dn]）}是Λ1中的任意一個Cauchy序列，即ε>0，存在正整數(shù)N（ε），使n，m≥N（ε）時，有

ρ1（λn，λm）=maxx∈X‖hn（x）-hm（x）‖+maxx∈X‖gn（x）-gm（x）‖+maxx∈Xhn′（x）gn′（x）-hm′（x）gm′（x）+h（[cn，dn]，[cm，dm]）<ε，易知，x∈X，存在h′g′：X→R，且h′g′連續(xù)，使得 limm→∞hm′（x）gm′（x）=h′（x）g′（x），存在h（x），使 limm→∞hm（x）=h（x），存在g（x），使 limm→∞gm（x）=g（x），函數(shù)h（x），g（x）連續(xù)，x∈X， maxx∈X|h（x）|<+∞，maxx∈x|g（x）|<+∞，存在[c，d]X，使[cm，dm]→[c，d]（m→∞），[c，d]是X中非空有界子區(qū)間，且n≥N（ε），有

maxx∈X‖hn（x）-h（x）‖+maxx∈X‖gn（x）-g（x）‖+

maxx∈Xhn′（x）gn′（x）-h′（x）g′（x）+h（[cn，dn]，[c，d）]）≤ε.

因?yàn)棣薾=（hn，gn，[cn，dn]）∈Λ1，存在xn∈[cn，dn]，使[c，d]X，有

hn′（xn）gn′（xn）=hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）.

因?yàn)閇c，d]X是非空有界閉子區(qū)間，由文獻(xiàn)[12]知，[c，d]是緊集，不妨假設(shè)xn→x∈[c，d]，

因?yàn)閔n′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）≤

hn′（xn）gn′（xn）-h′（xn）g′（xn）+h′（xn）g′（xn）-h′（x）g′（x）.

而h′g′：X→R是連續(xù)的，得hn′（xn）gn′（xn）→h′（x）g′（x）.

易證hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）→h（d）-h（c）g（d）-g（c）（n→∞），

從而h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c）.

因此，λ=（h，g，[c，d]）∈Λ1，（Λ1，ρ1）必是完備的.

λ=（h，g[c，d]）∈Λ1，它就給定了一個Cauchy中值問題，所有Cauchy中值問題的解的集合為E（λ），由Λ1的定義，E（λ）≠.

現(xiàn)在考慮模型M1={Λ1，X，F(xiàn)，R}，λ=（h，g[c，d]）∈Λ1，x∈X，定義：

f（λ）=F（λ，x）=[c，d]，

R（λ，x）=h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c），

E（λ）=x∈[c，d]：h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c）.

引理3.2 （1）f：Λ1→2X是連續(xù)的，且對任意的λ∈Λ1，f（λ）是緊的;

（2）λ∈Λ1，x∈f（λ），R（λ，x）≥0;

（3）λ∈Λ1，E（λ）≠，x∈E（λ）當(dāng)且僅當(dāng)R（λ，x）=0.

證 （1）顯然成立.

（2）x∈f（λ），

R（λ，x）=h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）≥0.

（3）事實(shí)上，若R（λ，x）=0，

也即h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）=0，

從而有h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）=0，

即h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c），所以x∈E（λ）.

反過來，若x∈E（λ），則有h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c），就有h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）=0，即R（λ，x）=0.

引理3.3 R（λ，x）在（λ，x）是連續(xù)的.

證 {xn}[cn，dn]，{λn=（hn，gn，[cn，dn]）}Λ1，n=1，2，…，設(shè)λn=（hn，gn，[cn.dn]）→λ=（h，g，[c，d]）∈Λ1和xn→x∈[c，d]（n→∞），cn≠dn，c≠d，則需要證當(dāng)n→∞時，有

R（λn，xn）→R（λ，x）.

|R（λn，xn）-R（λ，x）|

=hn′（xn）gn′（xn）-hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）-

h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）

≤hn′（xn）gn′（xn）-hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）-h′（x）g′（x）+h（d）-h（c）g（d）-g（c）

≤hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）+

h（d）-h（c）g（d）-g（c）-

hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）.

其中hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）≤hn′（xn）gn′（xn）-h′（xn）g′（xn）+h′（xn）g′（xn）-h′（x）g′（x）≤ρ（λn，λ）+h′（xn）g′（xn）-h′（x）g′（x）.

由于ρ（λn，λ）→0，xn→x且h′g′在X上連續(xù)，n→∞，

所以有h′（xn）g′（xn）→h′（x）g′（x），

從而hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）→0.（1）

由h（[cn，dn]，[c，d]）→0，得cn→c，dn→d（n→∞）.令dn=d+en，cn=c+kn，則en→0，kn→0（n→∞），因此，

[h（d）-h（c）]-[hn（dn）-hn（cn）]

=[h（d）-h（c）]-[hn（d+en）-hn（c+kn）]

=hn（c+kn）-hn（c）-[hn（d+en）-hn（d）]+

hn（c）-hn（d）+h（d）-h（c）

=hn（c+kn）-hn（c）c+kn-c·kn-hn（d+en）-hn（d）d+en-d·en-

[hn（d）-hn（c）]+h（d）-h（c）

=hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en+hn（c）-h（c）+h（d）-hn（d）.

從而

‖h（d）-h（c）-[hn（dn）-hn（cn）]‖

=‖hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en+[hn（c）-h（c）]+

[h（d）-hn（d）]‖

≤‖hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en‖+maxx∈X‖hn（x）-

h（x）‖+maxx∈X‖hn（x）-h（x）‖

≤‖hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en‖+2ρ（λn，λ）

→0（n→∞），

故 limn→∞[hn（dn）-hn（cn）]=h（d）-h（c）.

同理 limn→∞[gn（dn）-gn（cn）]=g（d）-g（c），

由前可知g（d）≠g（c），

從而1gn（dn）-gn（cn）→1g（d）-g（c）（n→∞）.

所以h（d）-h（c）g（d）-g（c）-hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）→0（n→∞）.（2）

結(jié)合（1）（2），有 limn→∞R（λn，xn）=R（λ，x），因此，R（λ，x）在（λ，x）是連續(xù)的.

由上述引理3.1—3.3可知，定理A的假設(shè)條件全部滿足要求，從而有以下定理.

定理3.1關(guān)于Cauchy中值問題（P）解的穩(wěn)定性，有定理A成立.

（1）平衡映射E在Λ1是usco的;

（2）存在Λ1中的一個稠密剩余集Q，使得λ∈Q，M1在λ是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的;

（3）如果M1在λ∈Λ1是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，則M1在λ∈Λ對ε-平衡必是魯棒的，從而λ∈Q，M1在λ對ε-平衡必是魯棒的;

（4）λ∈Q，λn→λ，εn→0，有h（E（λn，εn），E（λ））→0;

（5）如果λ∈Λ1，而E（λ）是單點(diǎn)集，則M1在λ∈Λ1是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，在λ∈Λ1對ε-平衡必是魯棒的.

證 由引理3.1-3.3，（Λ1，ρ1）是完備度量空間，X是緊度量空間，集值映射f在Λ1是上半連續(xù)的且f（λ）非空，R連續(xù)且λ∈Λ1，E（λ）≠.則定理A成立.

四、結(jié) 論

本文在基于有限理性框架下討論了Cauchy中值問題模型.在Baire分類的意義下，對絕大多數(shù)的參數(shù)值λ∈Λ1，M1在λ是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，對ε-平衡也是魯棒的.即在有限理性下絕大多數(shù)的柯西中值問題的解都是穩(wěn)定的.

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