項 鑫

(河南省煤田地質(zhì)局物探測量隊，鄭州 450009)

0 引言

當前，利用多種導航技術(shù)集成來改善導航設(shè)備的性能已成為導航定位發(fā)展的一個重要方向。GPS具有精度高、全天候觀測等特點，INS無需接收和發(fā)送信號，穩(wěn)定性較好，二者組合形成的導航系統(tǒng)已得到廣泛研究及應(yīng)用。Kalman濾波是多源數(shù)據(jù)融合的常用方法，已廣泛應(yīng)用于動態(tài)導航定位領(lǐng)域。Kalman濾波的性能取決于系統(tǒng)模型及噪聲特性假設(shè)的精確程度。當模型存在較大誤差時，Kalman濾波結(jié)果常常會發(fā)散[1]。為抑制Kalman濾波器的發(fā)散，文獻[2]中給出了一種基于衰減記憶思想的最優(yōu)漸消濾波算法。但該算法采用一個漸消因子對多維系統(tǒng)狀態(tài)進行自適應(yīng)調(diào)整，難以確切描述系統(tǒng)狀態(tài)的變化，難以保證整個濾波器的絕對最優(yōu)。在單個漸消因子濾波的基礎(chǔ)上，研究人員又提出了次優(yōu)漸消濾波[3]、多因子漸消濾波[4]等方法。理論上，漸消濾波具有控制狀態(tài)模型誤差影響的能力，但上述漸消濾波方法對異常觀測值的魯棒性不高，而異常觀測值將有可能導致濾波結(jié)果的發(fā)散。無窮范數(shù)濾波能夠使估計誤差的能量經(jīng)過量測誤差和初始誤差歸一化之后達到最小[5,6]，并且能夠處理系統(tǒng)模型和噪聲的不確定干擾問題，已應(yīng)用于GPS/INS組合導航系統(tǒng)中[7-9]。但無窮范數(shù)濾波算法無法抵抗粗差的影響，遇到粗差往往導致濾波結(jié)果的發(fā)散[10]。作為抵抗異常值影響的一種實用方法[11,12]，抗差估計著力于估值的實際抗差性和可靠性。因此，可引入抗差估計方法來抵抗異常值的影響?；诖?，本文提出了一種新的多重漸消抗差濾波算法，利用實際環(huán)境下的GPS/INS組合導航設(shè)備進行了數(shù)據(jù)采集，用提出的濾波算法進行解算，并與其他多種濾波算法進行了對比分析，驗證了所提濾波算法的有效性。

1 漸消濾波與H濾波

1.1 漸消濾波

對于動態(tài)模型狀態(tài)方程和觀測方程

(1)

其中，xk為k歷元的狀態(tài)向量，Φk/k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,Hk為觀測矩陣,zk為觀測向量，wk和vk分別為系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲，其漸消濾波解為

(2)

Sk為漸消因子且Sk≥1，Pk-1為k-1歷元狀態(tài)向量的協(xié)方差矩陣，Rk和Qk分別為觀測噪聲和狀態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣。顯然，在漸消濾波中，先驗狀態(tài)估計的協(xié)方差矩陣被放大了Sk倍，這將有效降低過去信息的影響力。與標準Kalman濾波相比，漸消濾波很好地控制了上一歷元的狀態(tài)誤差影響。

漸消濾波的關(guān)鍵是選擇合適的漸消因子。由于單個漸消因子很難保證濾波的最優(yōu)性，故提出了一種多重漸消因子[3]，即：

Sk=diag(s1,s2,…,sm,1,…,1,…,1),

(4)

(i=1,2,…,m),

(5)

1.2 無窮范數(shù)濾波

對于非線性系統(tǒng)

(6)

其中，f(·)和h(·)分別為非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和非線性觀測矩陣，xk為待估計的狀態(tài)向量，定義代價函數(shù)為[13]

(7)

(8)

其中，Pk是xk的協(xié)方差矩陣,Lk在本文中為單位矩陣。在非線性無窮范數(shù)濾波中，Pk/k的迭代公式為:

(9)

值得注意的是，γ的值與濾波的抗差性能密切相關(guān)，γ減小則濾波器的抗差性能提高。然而，γ太小則可能導致濾波的發(fā)散。因此，一個合適的γ值通常根據(jù)實際經(jīng)驗來設(shè)定。

2 一種新的抗差漸消濾波算法

為提高濾波器的靈活性及濾波性能，提出了一種多重漸消因子[3]，但這種濾波方法的抗差性仍可進一步改善。因此，本文提出了一種改進的抗差漸消濾波算法來進一步改善漸消濾波的抗差性能。在多重漸消濾波中，漸消因子為Sk=diag(s1,…,sm,1,…,1)，其中m為xk中可觀測元素的總數(shù)。在此將Pk/k-1表示為Pk/k-1=SkΦk,k-1Pk-1ΦTk,k-1Sk+Qk以保證其對稱性。

針對濾波中的異常觀測值，引入抗差估計方法以改善濾波器的抗差性能。預測狀態(tài)向量中的各分量一般是相關(guān)的，因此引入雙因子λij構(gòu)造的等價協(xié)方差矩陣，即

(11)

(12)

(13)

由此，可以構(gòu)造出一種新的抗差多重漸消無窮范數(shù)濾波算法。

3 GPS/INS組合導航系統(tǒng)

在GPS/INS組合導航系統(tǒng)中，松散組合方式計算簡便、易于實現(xiàn)，得到了廣泛應(yīng)用。在GPS/INS松散組合導航系統(tǒng)中，設(shè)計了一個15維度的狀態(tài)向量，即

(14)

向量中的各元素分別為位置、速度、姿態(tài)的偏差值以及陀螺儀和加速度計的噪聲值。

在GPS/INS松散組合導航系統(tǒng)中，狀態(tài)方程的離散化形式為[1]：

Xk=Φk,k-1Xk-1+Wk,

(15)

其中，Xk為狀態(tài)向量，Wk為動力模型誤差向量，Φk,k-1為離散后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，以GPS與INS系統(tǒng)的位置與速度輸出作為外部量測：

Zρ(t)=ρGPS-ρINS

(16)

其中，rGPS和vGPS為GPS的輸出信息，rINS和vINS為INS的輸出信息。量測方程為：

(17)

4 實驗與分析

本文的實驗數(shù)據(jù)由車載GPS/INS組合導航系統(tǒng)采集得到，實驗利用兩臺天寶GPS接收機和一臺低成本的慣性測量設(shè)備。GPS坐標數(shù)據(jù)由雙差偽距計算得到，以雙差載波相位結(jié)算結(jié)果作為參考解。為進一步檢驗各種算法的穩(wěn)定性及抗差性，設(shè)計了兩組方案以驗證新算法的穩(wěn)定性及抗差性能，每組方案均采用四種濾波算法進行解算，在無窮范數(shù)濾波中，γ均設(shè)為2。這四種方案分別為：

方案一：Kalman濾波；

方案二：無窮范數(shù)濾波；

方案三：多重漸消無窮范數(shù)濾波；

方案四：抗差多重漸消濾波。

每個方案均用自行設(shè)計的組合導航數(shù)據(jù)處理程序進行了解算，在這個算例中，人為地在GPS觀測值中的部分歷元加入了粗差。得到各方案的解算結(jié)果如圖1到圖4所示。

圖1 方案一的位置誤差

圖2 方案二的位置誤差

圖3 方案三的位置誤差

圖4 方案四的位置誤差

該實驗中，由于初始觀測值中包含粗差，故各方案的解算結(jié)果主要受粗差影響。從圖1、2可以明顯看出，方案一和方案二算法的抗差性能較差。而圖3、4則表明方案三算法及方案四算法均表現(xiàn)出了較好的抗差性。此外，本文提出的改進的多重漸消濾波算法誤差振幅最小，具有更高的解算精度。各方案的RMSE值如表1所示：

表1 各方案的RMSE值

由于受到粗差的強烈影響，方案一和方案二算法的解算結(jié)果較差，各方向的RMSE值均較大。而方案三及方案四算法的RMSE值則變化較小，這說明二者均能較好地抵抗粗差的影響。由于動態(tài)模型誤差及不確定誤差的影響均被控制在一定的范圍內(nèi)，本文提出的改進方法解算效果優(yōu)于其他幾種方案。

5 結(jié)論

本文提出的多重漸消濾波算法，結(jié)合了多重漸消濾波與無窮范數(shù)濾波的優(yōu)點。利用真實環(huán)境下采集的IMU/GPS組合導航數(shù)據(jù)對改進的濾波算法性能進行驗證，得出如下結(jié)論。

①異常觀測值能夠?qū)alman濾波與無窮范數(shù)濾波的解算結(jié)果產(chǎn)生較大干擾， 而多重漸消濾波則對異常值有一定的抵抗性；

②本文提出的多重漸消濾波算法能夠應(yīng)用于松散組合的IMU/GPS組合導航系統(tǒng)中，在有無粗差的情況下均表現(xiàn)出了較好的穩(wěn)定性及抗差性。