戴文亭， 王 振， 王宇放， 王 琦

(吉林大學(xué) 交通學(xué)院， 長(zhǎng)春 130022)

城市地鐵在施工過(guò)程中會(huì)對(duì)土層造成一定程度上的擾動(dòng)，從而引起地表沉降，此外，由于城市中建筑密集、地下管線密布、施工條件受限，地表沉降較難控制，因此，滿足一定精度的隧道施工引起的地面變形預(yù)測(cè)方法愈加受到關(guān)注[1]，已有很多學(xué)者就此問(wèn)題進(jìn)行了研究[2-3]，有限元軟件也逐漸開始應(yīng)用到地表沉降預(yù)測(cè)[4]，而灰色系統(tǒng)理論以其數(shù)據(jù)少、預(yù)測(cè)精度高和無(wú)需先驗(yàn)信息的特點(diǎn)逐漸受到人們的關(guān)注[5]，且在各行業(yè)均有應(yīng)用.

本文討論了建立新陳代謝GM(1，1)模型過(guò)程中最佳原始序列的個(gè)數(shù)，并采用多種方式對(duì)原模型進(jìn)行改進(jìn)，結(jié)合改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)值對(duì)改進(jìn)模型的適用范圍進(jìn)行了討論.

1 灰色系統(tǒng)理論

1.1 GM(1，1)模型建立過(guò)程

均值GM(1，1)模型(以下簡(jiǎn)稱GM(1，1)模型)是鄧聚龍教授最先提出的灰色預(yù)測(cè)模型，也是目前影響最大，應(yīng)用最為廣泛的模型，模型建立過(guò)程[10]如下：

1.2 GM(1，1)模型局限性

1) 原始序列越平順則模型預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確[11]，若原始序列上下波動(dòng)較大則模型預(yù)測(cè)精度將會(huì)降低，原始序列越接近指數(shù)函數(shù)的分布則模型預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確，若原始序列與指數(shù)函數(shù)的分布相差越大則模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度越差，因此，在建模過(guò)程中要注意原始數(shù)據(jù)段的選取并需要及時(shí)更新數(shù)據(jù).

2) 原始模型中背景值由均值生成的Z(1)(k)來(lái)代替，而GM(1，1)模型擬合曲線為指數(shù)曲線，因此，在區(qū)間[k，k+1]上曲線的實(shí)際面積要始終小于abcd所未成的梯形面積，如圖1所示.其中，x(1)(t)為由GM(1，1)模型擬合曲線的指數(shù)函數(shù)；x(1)(k)為擬合的指數(shù)函數(shù)在k處的取值.若原始序列增長(zhǎng)速率較慢則兩者相差不多，但當(dāng)原始序列變化急劇時(shí)，兩者面積差ΔS變大，若仍用Z(1)(k)代替則模型偏差較大，而且為滯后誤差.

圖1 背景值構(gòu)造示意圖Fig.1 Schematic establishment of background values

2 改進(jìn)灰色系統(tǒng)理論

隨著灰色系統(tǒng)理論的不斷發(fā)展，研究人員在原始模型的基礎(chǔ)上不斷進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化，對(duì)于GM(1，1)的優(yōu)化改進(jìn)主要有以下幾種方法：改變?cè)夹蛄械钠巾樁?；改變模型背景值；組合模型.組合模型類型較多，例如與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，與時(shí)間序列結(jié)合等，在此不再贅述.

2.1 最佳原始序列個(gè)數(shù)

根據(jù)灰色系統(tǒng)的基本原理，新信息優(yōu)先原理，即新信息對(duì)認(rèn)知的作用大于老信息，在建立模型過(guò)程中一般采用新陳代謝GM(1，1)模型.新陳代謝模型建立時(shí)一般取4～8個(gè)數(shù)據(jù)作為原始序列，在出現(xiàn)新的數(shù)據(jù)后將其放入原始序列中，并將“老”的信息去掉，最后再進(jìn)行下一次預(yù)測(cè)，保證模型中數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)始終不變.從預(yù)測(cè)角度分析，新陳代謝模型是最理想的模型，系統(tǒng)在發(fā)生變化過(guò)程中老的數(shù)據(jù)已經(jīng)無(wú)法反映系統(tǒng)當(dāng)前特征，去掉是完全合理的，而且老數(shù)據(jù)的去除也能減少計(jì)算量.取長(zhǎng)春地鐵二號(hào)線暗挖區(qū)拱頂?shù)乇沓两迭c(diǎn)進(jìn)行分析，沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 地鐵二號(hào)線暗挖區(qū)拱頂?shù)乇沓两礣ab.1 Ground surface settlement of vault of metro line 2 undermining area mm

取1號(hào)、2號(hào)沉降觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行分析，根據(jù)6月1日～6月10日的累計(jì)沉降量對(duì)6月11日～6月14日的累計(jì)沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)，分別取3～8個(gè)點(diǎn)(3個(gè)點(diǎn)，即6月8～10日，4個(gè)點(diǎn)，即6月7～10日，其余依次向前加一天)作為原始序列建立新陳代謝GM(1，1)模型，分別命名為模型3，模型4，，模型8，預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差如表2所示.

表2 各個(gè)GM(1，1)模型對(duì)1號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降量的預(yù)測(cè)Tab.2 Prediction of cumulative settlement of point 1 in each GM (1，1) model

各個(gè)模型預(yù)測(cè)值的平均誤差分別為0.847%、1.500%、2.098%、2.590%、3.112%、4.092%，隨著所取點(diǎn)數(shù)的增加，平均誤差不斷增加，實(shí)際值與預(yù)測(cè)值如圖2所示.由表2和圖2可知，取模型3的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相比無(wú)論是在整體走勢(shì)、預(yù)測(cè)值上均比較接近，且在與另外幾個(gè)新陳代謝GM(1，1)模型相比，其平均誤差最小，但是該模型對(duì)6月14日預(yù)測(cè)的誤差較大且變化趨勢(shì)與實(shí)際相反，這主要是因?yàn)閷?shí)際的累計(jì)沉降量曲線在該處變化不平順.表3為各個(gè)GM(1，1)模型對(duì)2號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降量的預(yù)測(cè).

與1號(hào)點(diǎn)類似，各個(gè)模型預(yù)測(cè)值的平均誤差分別為1.445%、1.755%、1.953%、2.210%、2.170%、2.729%，隨著所取點(diǎn)數(shù)的增加，平均誤差不斷增加，實(shí)際值與預(yù)測(cè)值如圖3所示.

圖2 1號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.2 Measured and predicted values of cumulative settlement of point 1

表3 各個(gè)GM(1，1)模型對(duì)2號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降量的預(yù)測(cè)Tab.3 Prediction of cumulative settlement of point 2 in each GM (1，1)model

圖3 2號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.3 Measured and predicted values of cumulative settlement of point 2

由表3和圖3可知，取3點(diǎn)建立的新陳代謝GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相比，6月11日～6月13日走勢(shì)相反，而且對(duì)6月13日的預(yù)測(cè)偏差較大，這主要是因?yàn)閷?shí)際累計(jì)沉降量變化不平順且趨勢(shì)不斷變化.采用同樣的方法對(duì)5號(hào)點(diǎn)、6號(hào)點(diǎn)進(jìn)行處理，實(shí)際值與預(yù)測(cè)值如圖4、5所示.

圖4 5號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.4 Measured and predicted values of cumulative settlement of point 5

對(duì)比分析模型3對(duì)5號(hào)點(diǎn)、6號(hào)點(diǎn)的預(yù)測(cè)可知，當(dāng)原始序列變化平順時(shí)除了模型8之外各個(gè)模型預(yù)測(cè)值雖然有優(yōu)有劣，但是相差不大，當(dāng)原始序列較為曲折時(shí)，各個(gè)模型的預(yù)測(cè)值相差變大.通過(guò)對(duì)比分析各個(gè)新陳代謝模型對(duì)以上4個(gè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)可以發(fā)現(xiàn)，相對(duì)其他模型，模型3平均誤差相對(duì)較小，且對(duì)數(shù)據(jù)變化特別敏銳，但是當(dāng)在某次出現(xiàn)極值時(shí)，對(duì)下一次預(yù)測(cè)模型的趨勢(shì)和精度均會(huì)出現(xiàn)誤差，尤其是連續(xù)出現(xiàn)極值時(shí)誤差與預(yù)測(cè)趨勢(shì)偏差更大，如模型對(duì)2號(hào)點(diǎn)和6號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降量的預(yù)測(cè)，當(dāng)不出現(xiàn)極值時(shí)模型3對(duì)原始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)一般會(huì)偏大.

圖5 6號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.5 Measured and predicted values of cumulative settlement of point 6

灰色系統(tǒng)理論在處理小容量樣本、貧信息、不確定系統(tǒng)方面有較強(qiáng)優(yōu)勢(shì)，原始序列較少時(shí)更能體現(xiàn)出灰色系統(tǒng)理論的優(yōu)勢(shì)，使用“新陳代謝”模型使預(yù)測(cè)模型更具有時(shí)效性，因此，在數(shù)據(jù)較少情況下平均誤差相對(duì)較小.

2.2 原模型的優(yōu)化

根據(jù)GM(1，1)模型的局限性，對(duì)模型的改進(jìn)主要有兩種方式：一種是改變?cè)夹蛄械钠巾樁?，使序列變得平順從而減小預(yù)測(cè)；另一種是改變建立模型時(shí)的背景值Z(1)(k)，從而提高預(yù)測(cè)精度.

根據(jù)上述思路對(duì)新陳代謝GM(1，1)模型進(jìn)行改進(jìn)，取原始序列的緩沖算子作為原始序列，然后構(gòu)建新的模型，對(duì)累計(jì)沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)，改變背景值的構(gòu)造方法，使模型更加接近實(shí)際走勢(shì).

模型1當(dāng)模型變化趨勢(shì)不變時(shí)，預(yù)測(cè)值總比實(shí)際值大，取弱化緩沖算子比較合理，取平均弱化緩沖算子(AWBO)對(duì)原始序列進(jìn)行處理，再根據(jù)前文方法建立新陳代謝GM(1，1)模型.AWBO的定義如下：

式中：N為原始序列長(zhǎng)度；Ri=x(1)(i)/x(1)(i-1)，i=2，3，，N.

模型3將上述兩個(gè)模型進(jìn)行整合，先按照模型1的方法得出緩沖算子序列并作為新的原始序列，再采用模型2中的方法構(gòu)造背景值.

使用模型1～3分別對(duì)1號(hào)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，預(yù)測(cè)結(jié)果與誤差如表4所示.

表4 各個(gè)模型對(duì)1號(hào)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值及誤差Tab.4 Predicted values and errors of point 1 in each model

表4中4種模型的平均相對(duì)誤差分別為0.847%、0.616%、0.931%、0.641%，模型1的平均相對(duì)誤差最小，其次是模型3，而模型2的誤差比原模型的誤差大.實(shí)際值與預(yù)測(cè)值如圖6所示.表5為各個(gè)模型對(duì)2號(hào)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值及誤差.

表5中4種模型的平均相對(duì)誤差分別為1.445%、1.196%、1.544%、1.183%，模型3的平均相對(duì)誤差最小，其次是模型1，而模型2的誤差比原模型的誤差要大.實(shí)際值與預(yù)測(cè)值如圖7所示.

通過(guò)分析各個(gè)模型對(duì)1號(hào)點(diǎn)、2號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降量的預(yù)測(cè)可知，背景值的改變并不能改變模型對(duì)地鐵開挖時(shí)產(chǎn)生累計(jì)沉降量預(yù)測(cè)的精度，且相比對(duì)緩沖算子的影響，預(yù)測(cè)值的改變量要小得多.

圖6 模型優(yōu)化后1號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.6 Measured and predicted values of cumulative settlement of point 1 after model optimization

表5 各個(gè)模型對(duì)2號(hào)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值及誤差Tab.5 Predicted values and errors of point 2 in each model

圖7 模型優(yōu)化后2號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.7 Measured and predicted values of cumulative settlement of point 2 after model optimization

圖8、9為5號(hào)點(diǎn)、6號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降實(shí)際值與預(yù)測(cè)值.對(duì)比分析各個(gè)模型對(duì)5號(hào)點(diǎn)和6號(hào)點(diǎn)的預(yù)測(cè)可知，當(dāng)原始序列變化平順時(shí)，各個(gè)模型的預(yù)測(cè)值相差不大，緩沖算子對(duì)提高測(cè)量精度作用不明顯，甚至?xí)诡A(yù)測(cè)出現(xiàn)更大偏差.但當(dāng)模型較為曲折時(shí)，模型1和模型3對(duì)預(yù)測(cè)精度的提高相當(dāng)明顯.通過(guò)以上分析可知，緩沖算子改進(jìn)模型對(duì)不平順原始序列的預(yù)測(cè)精度要高于原預(yù)測(cè)模型的精度，但對(duì)平順原始序列的改進(jìn)效果則不太明顯.

圖8 模型優(yōu)化后5號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.8 Measured and predicted values of cumulative settlement of point 5 after model optimization

3 結(jié) 論

本文使用灰色系統(tǒng)理論對(duì)地鐵暗挖區(qū)拱頂?shù)乇沓两盗窟M(jìn)行預(yù)測(cè)，并提出如下改進(jìn)方法：

1) 對(duì)模型取用原始序列中數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)進(jìn)行了研究，對(duì)比取用3～8個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)的預(yù)測(cè)精度，得出了最優(yōu)取用個(gè)數(shù).

2) 結(jié)合灰色模型本身局限性對(duì)新陳代謝GM(1，1)模型進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)對(duì)比分析可知，背景值優(yōu)化對(duì)模型預(yù)測(cè)值影響較??；緩沖算子優(yōu)化在原始序列變化較大、變化不平順時(shí)優(yōu)化較好，但如果原始序列變化平順則其優(yōu)化效果不好.

圖9 模型優(yōu)化后6號(hào)點(diǎn)累計(jì)沉降實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.9 Measured and predicted values of cumulative settlement of point 6 after model optimization