張婷 賀媛 唐俐

【摘 要】APOS理論是由美國的杜賓斯基致力于幫助學(xué)生更好的理解教學(xué)而建立的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式[1]。二面角是高中空間幾何中極其重要的內(nèi)容，但也是抽象的、多變的、難理解的。本文在傳統(tǒng)教學(xué)基礎(chǔ)上反思創(chuàng)新，將APOS理論與二面角概念巧妙融合，為二面角的教學(xué)提供、可靠、深刻的理論基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】APOS理論;二面角概念;二面角教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G427 ??????【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）16-0016-02

一、APOS教學(xué)設(shè)計(jì)要素

1.活動(dòng)階段設(shè)計(jì)。

這一階段主要是通過一系列“活動(dòng)”讓同學(xué)獲取對(duì)概念的感性認(rèn)識(shí)，活動(dòng)可以是具體的、外顯性的，如操作、實(shí)驗(yàn)、推理等等，外在活動(dòng)一般不可缺少的環(huán)節(jié)為（1）創(chuàng)設(shè)問題情境（2）選擇學(xué)習(xí)活動(dòng)的教學(xué)素材：素材一般來源于生活，這樣更加符合學(xué)生的認(rèn)知水平。（3）確定活動(dòng)的方式：活動(dòng)方式可以多種多樣，比如實(shí)驗(yàn)法，教學(xué)信息技術(shù)等。

內(nèi)在的活動(dòng)可以是學(xué)習(xí)者內(nèi)部火熱理性思維過程，如觀察、思辨、猜想、判斷等。

2.過程階段設(shè)計(jì)。

在活動(dòng)階段之后，需對(duì)操作對(duì)象進(jìn)行比較，反思等思維操作，分為三個(gè)階段：（1）反思階段;（2）組織數(shù)學(xué)語言;（3）形成數(shù)學(xué)概念。

3.對(duì)象活動(dòng)階段。

該階段又可以細(xì)化為三個(gè)小階段：（1）概括概念：通過前兩個(gè)階段的教學(xué)，分析概括出概念。（2）辨析概念：通過一題多變等教學(xué)，改變概念的非本質(zhì)特征，掌握概念特有的回歸本質(zhì)的屬性;（3）列舉正反例：通過正反例的對(duì)比，加深學(xué)習(xí)者對(duì)概念本質(zhì)的掌握[3]。

4.圖式階段設(shè)計(jì)。

本階段是對(duì)概念進(jìn)行更高級(jí)別的加工和整合處理，對(duì)概念的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步加強(qiáng)，本階段抽象概括概念的本質(zhì)屬性。

二、二面角概念片段教學(xué)設(shè)計(jì)

1.核心素養(yǎng)下的教學(xué)目標(biāo)。

知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握二面角的概念，能獨(dú)立作出簡單圖形的二面角。

過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷二面角的生成性過程;掌握由二面角轉(zhuǎn)化為平面角的轉(zhuǎn)化方法;利用類比加深二面角的平面角的定義[4]。

情感與態(tài)度目標(biāo)：采用合作探究方法，促進(jìn)學(xué)生合作探究意識(shí)培養(yǎng)，讓學(xué)生體會(huì)立體幾何美。

重點(diǎn)：二面角的平面角的定義。

難點(diǎn)：二面角的概念以及如何做出已知圖形的二面角。

2.基于APOS理論的二面角教學(xué)片段。

第一階段 活動(dòng)（Action）階段

老師：如圖，同學(xué)們你們看這幾個(gè)圖有什么共同的屬性？

學(xué)生：都有兩個(gè)面. 并且兩個(gè)面之間都有一個(gè)夾角。

老師：不錯(cuò)，你們還能想到那些生活中類似的圖形。

學(xué)生：打開的筆記本，打開的數(shù)學(xué)課本，屋頂上的太陽能……

（學(xué)生積極發(fā)言，老師多媒體展示二面角的更多例子）

活動(dòng)階段設(shè)計(jì)意圖：從生活案例出發(fā)，利用情境教學(xué)，從學(xué)生認(rèn)知的常規(guī)景象出發(fā)，學(xué)生在此過程中慢慢抽象出自己頭腦中的模型，對(duì)二面角有了感性認(rèn)識(shí)，但此時(shí)學(xué)生還未能理解這類圖形的本質(zhì)屬性。

第二階段：過程（Process）階段

老師：觀察這上面給定的圖形的共同特點(diǎn)，剛我們說了圖形有兩個(gè)面，兩個(gè)面有什么關(guān)系？

學(xué)生：兩個(gè)面之間有條公共線，兩個(gè)面之間有夾角。這個(gè)角和我們之前學(xué)過的平面角相似但又不一樣，它不在同一個(gè)平面上。

老師：正方形中兩個(gè)平面之間的公共線叫棱，那么我們這里的圖形兩個(gè)平面之間的公共線叫什么？

學(xué)生：也叫棱，因?yàn)橐彩莾蓚€(gè)面之間的公共線。

老師：不錯(cuò)，太棒了！現(xiàn)在同學(xué)們思考下，類比點(diǎn)分直線，如果平面被一條直線分成兩部分，每部分稱為什么？

學(xué)生：依然是個(gè)平面，叫射平面。

老師：同學(xué)們想法很合理，但是在數(shù)學(xué)上，我們把每個(gè)面叫做半平面。

老師：類比平面角，由兩個(gè)半平面形成的角叫什么？

學(xué)生：半平面角。

老師：數(shù)學(xué)上，我們規(guī)定它叫二面角?？偨Y(jié)下剛才結(jié)論得到二面角有兩個(gè)半平面，有棱。我們下一步是總結(jié)二面角的概念。

老師：類比角的定義給二面角下定義。

學(xué)生：知道了，類比得到二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所形成的圖形叫做二面角，其中這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫二面角的面。

老師根據(jù)學(xué)生歸納進(jìn)行補(bǔ)充說明，準(zhǔn)確給出二面角的定義，為進(jìn)一步讓學(xué)生完整的、系統(tǒng)的、深刻的理解二面角，將角與二面角進(jìn)行對(duì)比。

過程階段設(shè)計(jì)意圖：

在教學(xué)過程中啟發(fā)學(xué)生思辨、討論。引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看待事物，引導(dǎo)學(xué)生以“舊知”類比“新知”，得出二面角的定義，凸現(xiàn)了“降維，化歸”的數(shù)學(xué)思想方法。

第三階段：對(duì)象（Object）階段

老師：觀察圖2幾個(gè)二面角，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：二面角的大小不一樣。

老師：不錯(cuò)，下面思考我們?cè)趺慈デ蠼舛娼堑拇笮。?/p>

學(xué)生：平面角可以用量角器去度量，那么二面角也可以用量角器去度量。

老師：通過上圖3我們發(fā)現(xiàn)，二面角是不能用量角器去度量的，前幾節(jié)我們已經(jīng)學(xué)了空間兩個(gè)重要的角：異面直接所形成的角和直線與平面所形成的角，類比這兩個(gè)角，思考怎樣解決二面角？

學(xué)生：那么應(yīng)該運(yùn)用轉(zhuǎn)化的手段，把空間二面角轉(zhuǎn)化成平面角進(jìn)行求解。

老師：類比平面角的頂點(diǎn)和邊，如何確定二面角的頂點(diǎn)和兩邊？

學(xué)生：頂點(diǎn)放在公共邊上，兩邊分別在兩組二面角的兩個(gè)平面內(nèi)。

老師：請(qǐng)同學(xué)畫出這個(gè)圖4中二面角的平面角。（學(xué)生自主完成）

學(xué)生：發(fā)現(xiàn)這樣可以畫好多角，且每個(gè)角的大小不同，所以二面角是不能用這些角去度量的。

老師：對(duì)，所有我們需要對(duì)條件進(jìn)行限制來縮短二面角的范圍。

學(xué)生：作與棱垂直的線。

觀察發(fā)現(xiàn)，圖5這樣的二面角的平面角是等角的，但也有無數(shù)個(gè)，確定方法為以棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)平面分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所形成的角叫做二面角的平面角。

對(duì)象階段教學(xué)設(shè)計(jì)意圖：

通過思考，討論，類比，將二面角求法轉(zhuǎn)化為平面角，讓學(xué)生充分體會(huì)到了轉(zhuǎn)化的思想，掌握找二面角的方法，滲透學(xué)生分析問題能力的培養(yǎng)。

第四階段：圖式階段

老師：總結(jié)下二面角的平面角的基本特征。

學(xué)生：1.頂點(diǎn)在棱上

2.兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)。

3.兩邊都與二面角的棱垂直。

老師：類比直線與直線夾角范圍一樣，同學(xué)們討論下二面角的取值范圍。

學(xué)生：二面角的范圍0°到180°。

例：正方體A1B1C1D1-ABCD中，畫出二面角面C1-BD-C的平面角。

（學(xué)生自發(fā)討論，但沒有明確的解題思路）

老師：現(xiàn)在公共棱是哪一條？

學(xué)生：棱是BD，所以需要做兩個(gè)半平面C1BD和CBD都關(guān)于棱垂直的垂線?，F(xiàn)在重點(diǎn)是找出棱上那個(gè)點(diǎn)O。以O(shè)為垂足往兩個(gè)半平面上做垂線，則二面角的平面角就是兩條垂線的夾角。

老師：大家發(fā)現(xiàn)C1B和C1D有何關(guān)系？CD和CB有何關(guān)系？

學(xué)生：相等，找BD的中點(diǎn)O，連接CO和C1O，由特殊三角形的性質(zhì)，∠C1OC即為所求二面角的平面角。

老師：很好，自己好好體會(huì)如何在空間幾何圖形中找二面角的方法。

圖式階段設(shè)計(jì)意圖：通過變式訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)二面角的知識(shí)理解，老師通過例1和例2的訓(xùn)練，讓學(xué)生加深鞏固二面角的基本性質(zhì)和基本概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)了整個(gè)APOS理論教學(xué)之后，頭腦中已有對(duì)二面角的圖式，能抓住概念的內(nèi)涵，整個(gè)過程生動(dòng)傳神的讓學(xué)生掌握系統(tǒng)的、理論性，嚴(yán)密的幾何知識(shí)體系。

三、教學(xué)反思

將APOS理論與二面角概念教學(xué)結(jié)合起來，教學(xué)過程中注重概念的生成性和過程性。二面角是學(xué)生接觸的新的概念，通過在“平面幾何”與“立體幾何”之間架起一條思維通道。通過具體事例引入，為學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的歸納、概括過程，使教學(xué)過程與學(xué)生認(rèn)知事物的一般過程相吻合，在教學(xué)過程中給學(xué)生逐步滲透降維、化歸、類比的數(shù)學(xué)思想。

參考文獻(xiàn)

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.