(1.南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 211167； 2.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 湖南 長沙 410083；3.廈門理工學(xué)院 機(jī)械與汽車工程學(xué)院， 福建 廈門 361024)

引言

齒輪泵具有體積小、重量輕、轉(zhuǎn)速范圍大、自吸性能好等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于機(jī)床、冶金、礦山、航天等機(jī)械產(chǎn)品的液壓系統(tǒng)中。齒輪泵輸出流量脈動(dòng)大的缺陷(流量脈動(dòng)高達(dá)15%～27%)限制了齒輪泵的使用范圍[1-3]。目前，降低齒輪泵流量脈動(dòng)的方法主要有[4]：采用級聯(lián)齒輪泵，通過二級并聯(lián)齒輪泵的輸出流量進(jìn)行疊加，可使齒輪泵的總體輸出流量脈動(dòng)下降，三級以上的并聯(lián)齒輪泵可使流量脈動(dòng)下降的更多，但制造和裝配的難度更大；采用平衡式復(fù)合齒輪泵，由于平衡式復(fù)合齒輪泵內(nèi)部各齒輪的相位相錯(cuò)， 使得其流量脈動(dòng)有所下降；采用非對稱漸開線齒輪泵，采用非對稱漸開線齒形齒輪泵，其瞬時(shí)流量的脈動(dòng)頻率增高，振幅自然有所下降。另外，還有通過增設(shè)濾波器、采用雙模數(shù)齒輪、采用新型結(jié)構(gòu)等降低齒輪泵的流量脈動(dòng)，但效果均不明顯[1,5]。綜上所述，有些降低齒輪泵流量脈動(dòng)的方法效果不明顯，而有些方法雖然降低了齒輪泵的流量脈動(dòng)，但是其結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，使得齒輪泵的加工成本增加。

利用主動(dòng)設(shè)計(jì)方法，可以在設(shè)計(jì)階段對齒面?zhèn)鲃?dòng)性能進(jìn)行直接、有效的控制，以此獲得齒廓曲線方程或基本產(chǎn)形齒條方程。近年來，基于功能需求或預(yù)定嚙合性能或給定運(yùn)動(dòng)規(guī)律的齒廓主動(dòng)設(shè)計(jì)已經(jīng)成為齒輪領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。YE等[6]以傳動(dòng)性能指標(biāo)最優(yōu)為設(shè)計(jì)條件，建立了基本產(chǎn)形齒條的齒廓方程，并以線接觸斜齒輪為例，研究了設(shè)計(jì)參數(shù)對共軛齒廓曲率半徑、齒面潤滑油膜最小厚度的影響。LIN等[7]引入嚙合角函數(shù)的概念，建立了描述平面齒輪共軛齒廓幾何特征的通用數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了圓形及非圓齒輪齒廓。田興等[8]采用少齒數(shù)的非對稱漸開線直齒輪主動(dòng)設(shè)計(jì)方法，計(jì)算了不同齒數(shù)齒輪副的參數(shù)以及齒輪副嚙合所能達(dá)到的最大重合度。王建等[9]提出了一種基于壓力角函數(shù)的高重合度齒輪的主動(dòng)設(shè)計(jì)方法。陳廣艷等[10]根據(jù)齒面印痕的偏移，識別相應(yīng)的當(dāng)量錯(cuò)位，并將其反饋到齒面設(shè)計(jì)中，提出了弧齒錐齒輪的主動(dòng)設(shè)計(jì)方法。

本研究將主動(dòng)設(shè)計(jì)引入到齒輪泵設(shè)計(jì)領(lǐng)域，以齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，建立了基于流量脈動(dòng)系數(shù)的齒廓齒廓的數(shù)學(xué)模型，給出了齒廓約束限制條件，通過預(yù)設(shè)定齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)對齒輪齒廓進(jìn)行直接、有效的控制。

1 基于流量脈動(dòng)系數(shù)的齒廓主動(dòng)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

1.1 基于極距和壓力角函數(shù)的齒輪齒廓的數(shù)學(xué)描述

如圖1所示，坐標(biāo)系∑1(x1,o1,y1)與主動(dòng)齒輪相固連，坐標(biāo)系∑2(O2,x2,y2)與從動(dòng)齒輪相固聯(lián)，∑0(O0,x0,y0)為固定坐標(biāo)系，定義極距λ表示齒輪嚙合點(diǎn)P1到節(jié)點(diǎn)P的距離，α為壓力角函數(shù)，其可表示為轉(zhuǎn)角φ的一次函數(shù)，即：

(1)

其中，C0和C1分別為壓力角函數(shù)的系數(shù)，C0的取值范圍為0

圖1 基于極距和壓力角函數(shù)的齒輪嚙合坐標(biāo)系

若采用λd表示當(dāng)嚙合點(diǎn)位于主動(dòng)齒輪的齒根圓和節(jié)圓之間時(shí)的極距，采用λa表示當(dāng)嚙合點(diǎn)位于主動(dòng)齒輪的齒頂圓和節(jié)圓之間時(shí)的極距，由文獻(xiàn)[9]可知，下式成立:

(2)

主從動(dòng)齒輪的齒廓方程可表示為[9]:

(3)

(4)

其中，u表示齒輪傳動(dòng)比，r1表示主動(dòng)齒輪的節(jié)圓半徑，E和F可表示為：

E=sin(C0+C1φ)-sinC0

F=sin(C0-C1φ)-sinC0

當(dāng)φ取正值時(shí)，式(3)和式(4)分別代表從動(dòng)齒輪齒根和主動(dòng)齒輪齒頂部分的方程，反之，當(dāng)φ取負(fù)值時(shí)，式(3)和式(4)分別代表從動(dòng)齒輪齒頂和主動(dòng)齒輪齒根部分的方程。

1.2 齒輪泵流量脈動(dòng)系數(shù)的數(shù)學(xué)模型

流量脈動(dòng)系數(shù)的值越大，表示出口處流量脈動(dòng)越嚴(yán)重，反之越平緩。流量脈動(dòng)系數(shù)δ可表示為：

(5)

式中， (Qsh)max， (Qsh)min分別表示瞬時(shí)流量的最大值以及最小值。

圖2為齒輪泵的工作原理圖，由文獻(xiàn)[11]可知，主從動(dòng)齒輪包圍壓油腔的齒面所掃過的容積dV1和dV2可分別表示為：

(6)

(7)

其中，re1，rc1分別表示主動(dòng)齒輪的齒頂圓半徑和嚙合半徑，re2和rc2分別表示從動(dòng)齒輪的齒頂圓半徑和嚙合半徑，B為齒輪齒寬。

在dt時(shí)間內(nèi)，齒輪泵排出油液的體積為主從動(dòng)齒輪掃過的容積之和，即dV1=dV1+dV2，則瞬時(shí)流量可表示為：

(8)

根據(jù)齒輪泵中主從動(dòng)齒輪的齒數(shù)、模數(shù)和壓力角分別相等，式(8)可進(jìn)一步簡化為：

(9)

其中，r表示兩齒輪的節(jié)圓半徑，λ表示極距，是φ的函數(shù)。

圖2 齒輪泵工作示意圖

由式(9)可知，齒輪泵的瞬時(shí)流量隨著極距λ或轉(zhuǎn)角φ呈拋物線規(guī)律變化。當(dāng)嚙合點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)重合時(shí)，即當(dāng)λ=0時(shí)，瞬時(shí)流量最大，其最大值可表示：

(10)

圖3為齒輪嚙合示意圖，其中B點(diǎn)和E點(diǎn)分別表示嚙合起始點(diǎn)和脫離嚙合點(diǎn)，兩齒輪在B點(diǎn)進(jìn)入嚙合并開始排油，到C點(diǎn)時(shí)排油結(jié)束，而在C點(diǎn)和E點(diǎn)之間的過程，第1對輪齒不參與排油，此為1個(gè)周期，以后各對輪齒都重復(fù)上述周期。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，外嚙合齒輪泵瞬時(shí)流量的最小值發(fā)生在齒輪剛進(jìn)入嚙合開始排油的時(shí)刻，由式(3)和式(9)可知，其最小值可表示為：

(11)

其中，φB為B點(diǎn)所對應(yīng)的φ角值。

圖3 齒輪嚙合示意圖

將式(10)、式(11)帶入式(5)可得，齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)可表示為：

1.3 基于流量脈動(dòng)系數(shù)的齒廓數(shù)學(xué)描述

將式(12)進(jìn)一步變換并代入式(3)和式(4)，齒廓方程可表示為：

φ≥0

φ≤0

(13)

φ≥0

φ≤0

(14)

1.4 齒廓約束限制條件

齒廓的形成與壓力角函數(shù)系數(shù)的C1和C0的取值有很大關(guān)系，若C1和C0的取值不當(dāng)則齒廓會出現(xiàn)尖點(diǎn)或交叉，因此必須限制C1和C0的取值，以避免發(fā)生齒頂變尖和齒廓交叉。

圖4為一個(gè)輪齒齒頂部分(分度圓和齒頂圓之間)的兩側(cè)齒廓，虛線為輪齒中心線，由圖4可知，當(dāng)齒廓k0與中心線相交時(shí)，齒頂圓上的齒寬為0，即齒頂變尖。此時(shí)的流量脈動(dòng)系數(shù)即為最小值δmin。

圖4 齒廓曲線示意圖

由圖4可知，齒頂圓的直角坐標(biāo)方程為：

(15)

聯(lián)立式(3)和式(15)，可得C1和C0的關(guān)系式為：

Ecos[C0+(1+C1)φ]=C1(cosφ+sinφ) (16)

其中，φ為齒輪轉(zhuǎn)角，其值為φ=90/z。

根據(jù)式(16)，對C1賦值，可求出C0的值。將C0和C1分別帶入式(12)，可得δmin為：

(17)

因此，要避免齒頂變尖，預(yù)先給定的流量脈動(dòng)系數(shù)的限制條件為δ>δmin，即:

(18)

齒輪1上點(diǎn)的曲率為:

(19)

由式(19)可知，當(dāng)曲率為正時(shí)，齒廓為凸齒廓，因此齒廓出現(xiàn)尖點(diǎn)的條件為曲率半徑為0，即:

(20)

即通過式(18)和式(20)即可確定壓力角函數(shù)系數(shù)C0和C1的取值范圍。同理可知，式(18)和式(20)對齒輪2同樣成立。

2 設(shè)計(jì)實(shí)例

圖5 流量脈動(dòng)系數(shù)曲線

C0π/6π/7π/8π/9C1[0.01,0.7)[0.08,1.3)[0.1,1.6)[0.2,2)

根據(jù)圖5，選擇C0=π/6，π/7，π/8的曲線，預(yù)先給定齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)分別為δ=10%，11%，12%，則對應(yīng)的C1的值分別為0.18，0.4，1.09，將其帶入式(13)和式(14)，可分別得到主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪齒廓的方程。圖6為繪制的3種流量脈動(dòng)系數(shù)下的齒輪齒廓曲線，為了便于比較，圖6還給出了相同參數(shù)(除壓力角不同外，其壓力角為α=20°)的漸開線齒輪的齒廓曲線。

由圖6可知：在分度圓和齒頂圓之間，隨著流量脈動(dòng)系數(shù)的增大，齒輪的輪齒寬度逐漸增大，且均小于漸開線齒輪輪齒的齒寬；在分度圓和齒根圓之間，隨著流量脈動(dòng)系數(shù)的增大，齒輪的輪齒寬度逐漸減小，且均大于漸開線齒輪輪齒的齒寬，有利于提高齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度。

圖6 齒廓曲線對比

3 齒輪泵結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及特性分析

3.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本研究設(shè)計(jì)的齒輪泵屬于低壓齒輪泵，故齒輪泵采用三片式結(jié)構(gòu)?；诹髁棵}動(dòng)系數(shù)的齒輪泵的參數(shù)為：C0=π/6，C1=0.18，流量脈動(dòng)系數(shù)δ=10%。如圖7所示的整體結(jié)構(gòu)圖，主要由泵體、齒輪、前端蓋、軸承、骨架油封等零部件組成，齒輪與軸之間采用平鍵連接。泵體、前、后端蓋材料為QT500-7球墨鑄鐵，齒輪材料為40Cr，軸材料為45鋼，軸承為SF-1無油潤滑軸承或滾針軸承。圖8和圖9分別為加工出的齒輪和裝配好的齒輪泵。

1.前蓋 2.定位銷 3.密封圈 4.從動(dòng)輪 5.滑動(dòng)軸承 6.從動(dòng)軸 7、8.平鍵 9.主動(dòng)軸 10.滾動(dòng)軸承 11.主動(dòng)輪 12.殼體 13.后蓋 圖7 齒輪泵整體結(jié)構(gòu)圖

圖8 加工出的齒輪

設(shè)計(jì)參數(shù)取值功率P/kW0.21額定轉(zhuǎn)速n/r·min-11450額定壓力F/MPa2.5傳動(dòng)比u1.0額定流量Q/L·min-14總效率η80%使用壽命/h5000齒寬B/mm8

圖9 裝配好的齒輪泵

3.2 特性分析

1) 瞬時(shí)流量

齒輪泵的瞬時(shí)流量可以從微觀的角度反映出齒輪泵的吸油排油過程。將齒輪泵的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(11)和式(12)可得，齒輪泵瞬時(shí)流量的最大值和最小值分別為4.373 L/min和3.936 L/min。為了便于比較，本研究同樣計(jì)算出了相同參數(shù)的漸開線齒輪泵的最大和最小瞬時(shí)流量，分別為4.373 L/min和3.964 L/min。與漸開線齒輪泵相比，所設(shè)計(jì)的齒輪泵的最小瞬時(shí)流量增加了6.6%，最大瞬時(shí)流量和漸開線齒輪泵相同，上述結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)齒輪泵的瞬時(shí)流量波動(dòng)幅度、嚙合沖擊和運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)性均優(yōu)于漸開線齒輪泵。

2) 幾何排量

齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)1周，吸油和排油各1次，齒輪泵的排量可表示為：

q=zVn

(21)

其中，Vn表示1對輪齒在1次嚙合過程中所排出液體的體積，可利用下式求得：

(22)

利用數(shù)值計(jì)算方法，可得齒輪泵的排量為：

(23)

將齒輪參數(shù)分別帶入式(23)，可得所設(shè)計(jì)出齒輪泵的排量為2.759 mL/r。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，可計(jì)算出相同參數(shù)的漸開線齒輪泵的排量為2.733 mL/r。與漸開線齒輪泵相比，所設(shè)計(jì)齒輪泵的排量增加了0.9%。

3) 平均流量

平均流量表示排油量的平均值，可以從宏觀的角度反映齒輪泵的吸排油過程，可表示為：

Qm=q·n

(24)

利用上式計(jì)算可得所設(shè)計(jì)齒輪泵和漸開線齒輪泵的平均流量分別為4 L/min和3.963 L/min。通過對比可知，所設(shè)計(jì)出的齒輪泵的平均流量比漸開線齒輪泵增加了0.9%。

4) 流量脈動(dòng)系數(shù)

將齒輪泵瞬時(shí)流量的最大值和最小值分別代入式(5)，可計(jì)算得到所設(shè)計(jì)齒輪泵和漸開線齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)分別為10%和15.5%。為了便于和理論結(jié)果進(jìn)行比較，利用MATLAB軟件，對齒輪泵的最大和最小瞬時(shí)流量、流量脈動(dòng)系數(shù)在(0, 8 ms)內(nèi)進(jìn)行了仿真，如圖10所示。表3同時(shí)給出了其具體數(shù)值。為了進(jìn)行比較，本研究利用如圖11所示的齒輪泵試驗(yàn)臺在額定轉(zhuǎn)速和額定壓力下進(jìn)行了測試，測試時(shí)間5 min，測試結(jié)果如表3所示。

a.本研究設(shè)計(jì)的齒輪泵 b.漸開線齒輪泵圖10 仿真曲線

齒輪泵最大瞬時(shí)流量Qmax/L·min-1最小瞬時(shí)流量Qmin/L·min-1平均流量Q/L·min-1流量脈動(dòng)系數(shù)δQ/%本研究設(shè)計(jì)的齒輪泵仿真值4.3733.9034.13810.5實(shí)驗(yàn)值4.2543.8394.0499.75漸開線齒輪泵仿真值4.3733.7084.04115.2實(shí)驗(yàn)值4.1563.6373.88912.5

圖11 齒輪泵測試試驗(yàn)臺

由表3可知：

(1) 從仿真結(jié)果來看，兩齒輪泵最大瞬時(shí)流量相同，本研究所設(shè)計(jì)齒輪泵的最小瞬時(shí)流量比相同參數(shù)的漸開線齒輪泵增大了5.3%，平均流量增大了2.4%，流量脈動(dòng)系數(shù)減小了29.6%；

(2) 從試驗(yàn)結(jié)果來看，本研究所設(shè)計(jì)的齒輪泵的最大瞬時(shí)流量、最小瞬時(shí)流量比漸開線齒輪泵分別增加了2.3%和5.3%，流量脈動(dòng)系數(shù)減少了22%；

(3) 本研究所設(shè)計(jì)的齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)的初始給定值為10%，仿真得出的數(shù)值為10.5%，試驗(yàn)測得的值為9.75%，均在誤差允許的范圍內(nèi)，說明了本研究設(shè)計(jì)方法的正確性。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)的降低齒輪泵流量脈動(dòng)的方法是以結(jié)構(gòu)復(fù)雜為代價(jià)的，齒輪泵的結(jié)構(gòu)和工藝在各類液壓泵中結(jié)構(gòu)最簡單的優(yōu)點(diǎn)近乎喪失。本研究從齒輪齒廓的設(shè)計(jì)入手，推導(dǎo)了采用極距和壓力角函數(shù)描述的齒廓方程，以齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，建立了基于流量脈動(dòng)系數(shù)的齒廓主動(dòng)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。其優(yōu)點(diǎn)是將齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)作為一個(gè)給定值，即在設(shè)計(jì)的同時(shí)，就已經(jīng)知道了流量脈動(dòng)系數(shù)的大小。研究成果可為緩解齒輪泵的流量脈動(dòng)提供理論依據(jù)和技術(shù)支持，并為齒輪泵的設(shè)計(jì)提供一個(gè)新的思路和更為廣闊的研究空間。