王贏贏

[摘? 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性. “探究與發(fā)現(xiàn)”更能完整體現(xiàn)核心素養(yǎng)的價(jià)值. 文章基于核心素養(yǎng)的課堂研究，結(jié)合核心素養(yǎng)的文化理念，以教材中的探究課為載體，具體探究了實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中核心素養(yǎng)培育的主要過(guò)程和方法，明確其實(shí)際價(jià)值.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);探究

在新一輪課程改革中，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng). 張奠宙教授指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括“真、善、美”三個(gè)維度. 所以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最終的表現(xiàn)，就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都排除或忘掉后剩下的東西，即能從數(shù)學(xué)的角度看問(wèn)題，有條理地進(jìn)行理性思維、嚴(yán)密求證、邏輯推理和清晰準(zhǔn)確表達(dá)的意識(shí)與能力.

[?]教材分析

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想起源與發(fā)展及其與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和一般文化聯(lián)系的一門學(xué)科，它反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)與本質(zhì). 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中指出通過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)使學(xué)生“體會(huì)數(shù)學(xué)對(duì)人類文明發(fā)展的作用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神.” 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已把數(shù)學(xué)史作為理解數(shù)學(xué)的一種有效途徑，成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種工具，也是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要載體. 以下以高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1教材中《為什么截口曲線是橢圓》為例闡述核心素養(yǎng)的培育在數(shù)學(xué)史教學(xué)中的一些體現(xiàn)和作用.

[?]學(xué)情分析

學(xué)生在掌握了橢圓的定義和性質(zhì)后，結(jié)合生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容并不陌生.但一句“為什么截口曲線是橢圓”，就足以讓溝通陷入僵局. 所以，從知識(shí)儲(chǔ)備到思考習(xí)慣，孩子們都不太習(xí)慣這樣的探究課的模式. 借班（市重點(diǎn)學(xué)校的重點(diǎn)班）上課，孩子們思維活躍，數(shù)學(xué)基本功良好，善于表達(dá)，但是遺憾的是對(duì)孩子們的個(gè)體情況了解不夠準(zhǔn)確，也有一些不敢放手.

[?]教學(xué)目標(biāo)

1. 通過(guò)生活實(shí)驗(yàn)，了解截口曲線的不同類型;

2. 結(jié)合Dandelin雙球法，理解截口曲線為橢圓的證明過(guò)程;

3.了解圓錐曲線簡(jiǎn)單的發(fā)展史，以及在學(xué)習(xí)和生活中的應(yīng)用.

重點(diǎn)：理解截口曲線為橢圓的證明過(guò)程.

難點(diǎn)：Dandelin雙球證法中的輔助線添法.

（在新的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中，特別強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題與分析、解決問(wèn)題的能力.在基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)中，關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置，更加側(cè)重于學(xué)生的體驗(yàn)和思維流程.所以，實(shí)驗(yàn)是必須的，學(xué)生的發(fā)散思維會(huì)有所體現(xiàn)，圓錐曲線的發(fā)展史和Dandelin雙球法，這也成為關(guān)注的重點(diǎn).）

[?]教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境

眾所周知，哲學(xué)的三大問(wèn)題是：我是誰(shuí)？我從哪里來(lái)？我將要到哪里去？數(shù)學(xué)離不開哲學(xué).根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，借助視頻中橢圓的多種畫法，我們站在橢圓的角度，再來(lái)問(wèn)一次這幾個(gè)問(wèn)題：橢圓是什么？橢圓從哪里來(lái)？橢圓將要到哪里去？本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)教材第42頁(yè)探究與發(fā)現(xiàn)“為什么截口曲線是橢圓”.既然是“探究與發(fā)現(xiàn)”，我就更希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中勇于探究、敢于發(fā)現(xiàn)，并能樂(lè)于分享. 讓我們從一個(gè)小小的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開始今天愉快的探究發(fā)現(xiàn)之旅.

（創(chuàng)設(shè)合適情境是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)的關(guān)注點(diǎn).首先要對(duì)“情境需要”有個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，包括實(shí)際情境、科學(xué)情境、數(shù)學(xué)情境、歷史情境.情境選擇的基本原則是便于理解學(xué)習(xí)內(nèi)容和要完成的任務(wù)，循序漸進(jìn)，進(jìn)而考慮激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情. 這里的創(chuàng)設(shè)情景既激發(fā)好奇心，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)興趣，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的哲學(xué)性，包含了三個(gè)圓錐曲線的相互聯(lián)系.借班上課，在情感溝通的同時(shí)，也對(duì)學(xué)生進(jìn)行了強(qiáng)有力的學(xué)法要求和指導(dǎo).）

（二）情景體驗(yàn)

每個(gè)小組桌面上都有準(zhǔn)備好的實(shí)驗(yàn)器材：蘿卜和小刀、圓柱形容器、圓錐形容器、手電筒和小球以及投影白紙，接下來(lái)我們完成實(shí)驗(yàn)，觀察截口曲線的形狀[1].

要求：各小組由組長(zhǎng)分工，每人做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，全組共同觀察討論截口曲線;小組內(nèi)依次演示、記錄，并討論匯總實(shí)驗(yàn)結(jié)果，完成導(dǎo)學(xué)案上的表格內(nèi)容.

（設(shè)計(jì)意圖：直觀想象，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中所有的爭(zhēng)論和想象，都百聞不如一見(jiàn)，特別是臨界情況. 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，拓寬視野、印證猜想，了解概念的來(lái)龍去脈，更好地理解事物間的相互聯(lián)系，提高和發(fā)展學(xué)生的能力.）

小組展示實(shí)驗(yàn)過(guò)程，匯報(bào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

圓柱的截口曲線：圓、橢圓、直線;

圓錐的截口曲線：兩條直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線.

學(xué)生意見(jiàn)分歧：當(dāng)截面傾斜到一定程度，截面與母線平行時(shí)，截口曲線還能是封閉的曲線嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)過(guò)程中，這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是調(diào)動(dòng)學(xué)生的一個(gè)很好的契機(jī)，也是思維碰撞認(rèn)知沖突的一個(gè)地方.從形式上，課堂氛圍空前高漲;在思維上，交流和表達(dá)能促進(jìn)進(jìn)一步的思考和探索的欲望，思考三個(gè)圓錐曲線間的本質(zhì)聯(lián)系.）

師：同學(xué)們，剛才大家合作探究的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)都很棒！我覺(jué)得有兩點(diǎn)非常值得表?yè)P(yáng)：第一、合作很棒：取長(zhǎng)補(bǔ)短、提高效率;第二、成果很棒：勇于探究敢于發(fā)現(xiàn)，從特殊到一般，得到的結(jié)論都是里程碑的結(jié)論.

其實(shí)，剛才我們這個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，在很早的時(shí)候人們也在執(zhí)著地探求著更為廣泛的一般結(jié)論. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)把橢圓稱為“長(zhǎng)圓”“斜圓”，也能夠說(shuō)明一些特征.而歷史上把這個(gè)實(shí)驗(yàn)做得赫赫有名的是阿波羅尼奧斯.

阿波羅尼奧斯是古希臘與阿基米德、歐幾里得齊名的三大數(shù)學(xué)家這一，同時(shí)他還是天文學(xué)家、哲學(xué)家、思想家.他在前人研究的基礎(chǔ)上，大膽想象，勇于探究敢于發(fā)現(xiàn)，由特殊到一般，不屈不撓地發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)的一般化精神，研究歸納出圓錐的截口曲線的結(jié)論，分別把不同位置的截口曲線稱作：虧曲線、齊曲線和超曲線，后來(lái)被稱之為橢圓、拋物線、雙曲線，并撰寫了數(shù)學(xué)史上登峰造極的巨著《圓錐曲線論》.通過(guò)一個(gè)動(dòng)畫來(lái)了解一下：

動(dòng)畫視頻簡(jiǎn)介：阿波羅尼奧斯之所以偉大，原來(lái)是他做媒，讓平面與圓錐面相愛(ài)了，有了愛(ài)的結(jié)晶：漂亮的女兒——圓，帥氣的兒子——橢圓、雙曲線、拋物線.圓太漂亮，性質(zhì)特殊堪稱完美，后來(lái)出嫁另立門戶;而橢圓、雙曲線、拋物線三兄弟在以后的兩千多年里一直熠熠生輝，至今，他們還是隨父姓，所以本章叫“圓錐曲線與方程”.既然是一奶同胞三兄弟，從遺傳學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，既有遺傳也有變異，所以這三種不同的圓錐曲線既有共性聯(lián)系，又有個(gè)性區(qū)別，我們?cè)诤竺娉２捎妙惐鹊姆椒▽W(xué)習(xí)和使用.

阿波羅尼奧斯的結(jié)論：

設(shè)圓錐軸截面母線與軸的夾角為α，截面和圓錐的軸的夾角為β，當(dāng)截面不過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，

（1）當(dāng)β=α?xí)r，即截面和一條母線平行時(shí)，交線是拋物線;

（2）當(dāng)α<β<時(shí)，即截面不和母線平行，且只和圓錐面的一葉相交時(shí)，交線是橢圓. 特別地，當(dāng)β=，即截面和圓錐面的軸垂直時(shí)，交線是圓.

（3）當(dāng)0≤β<α?xí)r，即截面不與母線平行，且和圓錐面的兩葉都相交時(shí)，交線是雙曲線.

（設(shè)計(jì)意圖：編這個(gè)貼近生活而生動(dòng)活潑的故事，讓孩子們對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)更有興趣、也更容易理解. 生動(dòng)的動(dòng)畫勾勒出三個(gè)圓錐曲線的共性聯(lián)系與區(qū)別特點(diǎn)，更宏觀地展示了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程和相互聯(lián)系.）

根據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們得到的截口曲線是橢圓.可是，我們學(xué)習(xí)的橢圓的定義是什么呢？

師：我把兩個(gè)焦點(diǎn)當(dāng)作橢圓的“眼睛”，其重要性不言而喻.

軌跡定義是1579年蒙蒂提出來(lái)的，當(dāng)然這個(gè)從運(yùn)動(dòng)變化的解析角度定義更加方便定量描述. 從軌跡定義的角度來(lái)看，我們觀察到的橢圓是橢圓嗎？截面定義和軌跡定義有矛盾嗎？需要從定義出發(fā)，從“數(shù)量”角度對(duì)“圖形”的感覺(jué)加以說(shuō)明.

歷史上有很多人嘗試用純幾何的方法證明，而最為精妙的是Dandelin雙球法.我們一起來(lái)探究學(xué)習(xí)大師之作.

（設(shè)計(jì)意圖：看到的是橢圓形狀，但是跟我們所學(xué)的橢圓的定義看起來(lái)又沒(méi)有多大聯(lián)系. 數(shù)學(xué)的結(jié)論必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明. 強(qiáng)烈的思維碰撞，課堂這時(shí)需要留白，雖然并不能完全解決證明的過(guò)程，但不可忽視學(xué)生的思考和猜想.）

（三）探究證明

以剛才實(shí)驗(yàn)中點(diǎn)光源照射小球的投影為例，大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型：點(diǎn)光源射出的光線當(dāng)作圓錐，球與圓錐面和投影面都相切，球的影子事實(shí)就是投影面作為截面截圓錐的截面[2].

問(wèn)：根據(jù)橢圓的定義，證明的思路是什么？

生：由定義

PF1

+

PF2

=2a（2a>

F1F2

），則需要定點(diǎn)（焦點(diǎn)）、定長(zhǎng).

問(wèn)：在橢圓面上，焦點(diǎn)在哪里？也就是橢圓的“眼睛”，能找到嗎？（停頓）……如果找不到也別灰心，歷史上也不曾有幾個(gè)人找到過(guò). 現(xiàn)在有前人的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)橢圓的定義，焦點(diǎn)應(yīng)該在長(zhǎng)軸上，從截口形狀和對(duì)稱的角度考慮，我們猜測(cè)球與截面的切點(diǎn)可能就是焦點(diǎn).

既然是切點(diǎn)，用類比的方法，我們?cè)诮孛嫦路皆俜湃胍粋€(gè)合適大小的球，使球與圓錐面和截面都相切，那么切點(diǎn)就該是橢圓的另一只“眼睛”了！接下來(lái)根據(jù)定義進(jìn)行證明猜想.

上下兩個(gè)圓與截面的兩個(gè)切點(diǎn)，就是猜想的截口曲線橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別記作E，F(xiàn)，在截口曲線上任取一點(diǎn)A，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明AE+AF為定值.

師：在建立模型的過(guò)程中，AE，AF分別與兩個(gè)球是什么位置關(guān)系？

生：AE與上面的球相切，AF與下面的球相切.

師：A是截口曲線上的點(diǎn)，當(dāng)然也是圓錐面上的點(diǎn)，過(guò)A作圓錐的母線，與上下兩個(gè)球是什么關(guān)系呢？

生：母線與上下兩個(gè)圓都相切.

追問(wèn)：為什么一定相切？

生：過(guò)這條母線做圓錐的縱截面，AB，AC分別與上下兩個(gè)截面圓相切，所以與球也相切.

師：現(xiàn)在來(lái)?yè)Q個(gè)角度看，對(duì)于上面的小球而言，AE，AB分別是它的兩條切線，那么長(zhǎng)度關(guān)系是什么？

生：切線長(zhǎng)相等，則AB=AE.

師：同理，觀察下面的切線，能得到什么結(jié)論？

生：AC=AF.

生：所以AE+AF=AB+AC，而AB+AC=BC是定值，這就符合了橢圓的定義.

（設(shè)計(jì)意圖：Dandelin的這個(gè)證明可以稱作是絕唱，其中的數(shù)學(xué)美妙不可言喻. 也因其精妙到常人難以想到，所以學(xué)生的獨(dú)立思考和探究過(guò)程肯定也難以推進(jìn).這部分的證明就只能在老師的一步步啟發(fā)追問(wèn)下逐步完成. 嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明過(guò)程，巧妙構(gòu)造空間圖形，融空間幾何、平面幾何、解析幾何于一體，渾然天成，讓孩子們感受數(shù)學(xué)的圖形美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美.）

這個(gè)精妙的純幾何證明方法是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家Dandelin最早發(fā)現(xiàn)的，但這也都已經(jīng)是阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)截口曲線是橢圓這個(gè)事實(shí)后的2000年了，可謂“路漫漫其修遠(yuǎn)兮”. 在此期間，數(shù)學(xué)家們也經(jīng)歷了各種不懈的努力，但都沒(méi)有找尋到一種簡(jiǎn)捷有效的方法，因?yàn)檫@個(gè)證明過(guò)程實(shí)際上是用立體幾何的方法來(lái)證明平面幾何的結(jié)論，需要人為主動(dòng)地去構(gòu)造行之有效的幾何關(guān)系和等量關(guān)系.

Dandelin雙球法，不僅能證明截口曲線是橢圓，也能證明截口曲線為雙曲線，還可以把截面和Dandelin球的切點(diǎn)圓面相交得到準(zhǔn)線，進(jìn)而證明圓錐曲線的第二定義，后人把這個(gè)證明叫“冰激凌定理”. 從這里我們也能進(jìn)一步看到圓錐曲線的聯(lián)系和統(tǒng)一，同學(xué)們課外可以繼續(xù)深入學(xué)習(xí).

（設(shè)計(jì)意圖：既讓孩子們能加深對(duì)Dandelin雙球法的理解和內(nèi)化，也能進(jìn)一步說(shuō)明Dandelin雙球法的普適性，說(shuō)明圓錐曲線的相互聯(lián)系和統(tǒng)一性. 當(dāng)然，此時(shí)，如果可以，則近乎可以達(dá)到無(wú)字證明的境界，在孩子們心中形成強(qiáng)烈的好奇和震撼.）

（四）實(shí)踐應(yīng)用

剛才同學(xué)們用一個(gè)與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，也得到一條截口曲線為橢圓，我們?cè)趫A柱內(nèi)截面兩側(cè)也放置兩個(gè)與圓柱側(cè)面和截面都相切的Dandelin球，你能仿照上述方法，證明圓柱的截口曲線也是橢圓嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：這里作為一次實(shí)踐應(yīng)用實(shí)際是比較簡(jiǎn)單的，是對(duì)課堂知識(shí)的檢測(cè)，也是孩子們自己的一次雙球?qū)嶒?yàn).）

問(wèn)：在應(yīng)用中你覺(jué)得dandelin雙球法最妙在哪里？

現(xiàn)在，我們可以很有底氣地回答課題引入時(shí)的問(wèn)題“我是誰(shuí)？”“我從哪里來(lái)？”橢圓是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡;橢圓作為圓錐曲線的一種，可以從圓錐中斜截得來(lái).那么第三個(gè)問(wèn)題“橢圓將會(huì)到哪里去呢”？關(guān)于截口曲線，生活中有哪些應(yīng)用呢？

（設(shè)計(jì)意圖：這是一個(gè)開放的問(wèn)題.第一、孩子們根據(jù)本節(jié)課的證明過(guò)程，進(jìn)一步印證生活中的橢圓確實(shí)是橢圓;第二、對(duì)后面將要學(xué)習(xí)的橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)做鋪墊，起到承上啟下的作用.）

（五）課堂小結(jié)

1. 在歷史順序中感悟圓錐曲線的完備統(tǒng)一，談?wù)剠^(qū)別和聯(lián)系;

2. 在探究發(fā)現(xiàn)中領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美，聊聊幾何之形美神也美;

3. 在合作學(xué)習(xí)中體會(huì)收獲和遺憾，交流感悟.

今天我們緣未盡，情未了. 我在橢圓的左焦點(diǎn)，你在橢圓的右焦點(diǎn)，雖空間距離此消彼長(zhǎng)，卻總能默默傾聽彼此的心跳. 這是即將學(xué)習(xí)的橢圓的光學(xué)性質(zhì)的普遍應(yīng)用. 再次謝謝同學(xué)們！

（設(shè)計(jì)意圖：這是對(duì)本節(jié)課知識(shí)的盤點(diǎn)、思路的回顧，也是對(duì)后續(xù)教學(xué)的一點(diǎn)引導(dǎo)和啟發(fā). 當(dāng)然，借班上課，情感的溝通是自始至終的，也是對(duì)課前引入的一點(diǎn)回應(yīng).）

[?]作業(yè)布置

1. 實(shí)踐作業(yè)：以小組為單位，通過(guò)合作實(shí)踐，還能通過(guò)什么方式得到橢圓？

2. 查找Dandelin截口曲線為雙曲線的相關(guān)資料，并嘗試用冰激凌定理解決圓錐曲線的第二定義問(wèn)題.

（設(shè)計(jì)意圖：這節(jié)課是教材的探究與發(fā)現(xiàn)，所以教學(xué)設(shè)計(jì)附帶有相應(yīng)的知識(shí)和資料. 作業(yè)布置第一道題是小組合作實(shí)踐作業(yè)，當(dāng)然這個(gè)操作更進(jìn)一步的要求是證明;第二道題是課堂知識(shí)的應(yīng)用和深化，也是對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一性的再認(rèn)識(shí).實(shí)際操作時(shí)，這個(gè)作業(yè)要給予一周左右的時(shí)間.）

[?]教學(xué)反思

由于是借班上課，對(duì)學(xué)情的了解和把握不是很精準(zhǔn)，所以實(shí)驗(yàn)探究和學(xué)生展示的環(huán)節(jié)花費(fèi)了較多的時(shí)間，最后的應(yīng)用也有些許遺憾，但整個(gè)教學(xué)過(guò)程比較流暢，達(dá)成了既定的學(xué)習(xí)目標(biāo). 恰好是給予了學(xué)生充分的時(shí)間和探究，才能讓學(xué)生活動(dòng)落到實(shí)處，學(xué)生踴躍地展示自己的體驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)，也構(gòu)建了良好的師生關(guān)系和課堂氛圍.

在備課中，我對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作與否和如何操作都曾糾結(jié)了很久. 首先是實(shí)驗(yàn)操作的必要性，一開始我認(rèn)為高中生的認(rèn)知水平對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)想得一定比做得快，但后來(lái)的個(gè)別調(diào)查讓我發(fā)現(xiàn)其實(shí)并不是所有的學(xué)生都會(huì)堅(jiān)信截面的形狀，特別是當(dāng)截面不完整的時(shí)候分歧很大. 這使我堅(jiān)定了實(shí)驗(yàn)操作的必要性.課堂教學(xué)的事實(shí)也發(fā)現(xiàn)，確實(shí)學(xué)生對(duì)不完整的截面形狀連簡(jiǎn)單的想象都不好定論. 其次是實(shí)驗(yàn)的操作方式. 數(shù)學(xué)老師的實(shí)驗(yàn)操作能力確實(shí)不夠豐富，在試講中實(shí)驗(yàn)結(jié)果整理出來(lái)的時(shí)候已是時(shí)間過(guò)半. 后來(lái)嘗試用表格的形式把實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)歸類，終于達(dá)到事半功倍的效果. 這在以后紛繁復(fù)雜的操作活動(dòng)中都可以借鑒.

教學(xué)過(guò)程中對(duì)三個(gè)圓錐曲線的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)是本節(jié)課學(xué)生的直觀感受，雖然我編織了美麗的童話，設(shè)計(jì)了活潑的動(dòng)畫，但師生對(duì)其過(guò)渡和極端情況的發(fā)現(xiàn)和講解還不到位，這也是本節(jié)課的遺憾之處.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 章建躍. 數(shù)學(xué)教學(xué)方法的現(xiàn)代發(fā)展[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（5）：1-3.

[2]? 陳鋒，王芳. 基于旦德林雙球模型的橢圓定義教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（4）：5-8.