彭楊楊 陰香陵 朱英豪

摘 要：空中加油是一項高風險的操作，本文針對伴隨機出現(xiàn)故障，建立挽救模型，及時增加接應機的數(shù)量。針對接應機出現(xiàn)故障，建立預防模型，提前增加伴隨機的數(shù)量，每次加油均遵守均分原則。

關鍵詞：數(shù)學歸納 遞推法 均分原則

執(zhí)行任務的飛機需要在眾多加油飛機的幫助下成功完成出航、返航的任務。考慮到飛機的任務十分緊迫，所以任務飛機能夠飛行的距離要越遠越好。由于空中加油是一項風險很高的操作，運輸和加油飛機都有可能出現(xiàn)故障。在保證總成功率的情況下，找到相應的最優(yōu)解決方案是十分重要的。

一、空中加油

在太平洋的一個小島上，救援人員需要給居民們運送少量應急藥品并將小島上的一名重傷人員運送到醫(yī)療基地。基地里有機隊和足夠的設備，可供給執(zhí)行任務的飛機進行空中加油。這種飛機最大燃油能力是155公斤，進行簡單修改后的可以用來加油的飛機最大燃油能力提高為170公斤。執(zhí)行任務的飛機在正常負載情況下最遠能飛680海里，它從基地出發(fā)，經(jīng)615海里的行程抵達小島，隨后將需要飛行同樣的路程順利返回基地。

為使任務飛機能夠飛行的最遠，加油飛機不斷給任務飛機加油，助飛機完成任務，將加油飛機簡稱為輔機，執(zhí)行任務的飛機簡稱為主機。根據(jù)每一架輔機給主機加油的方式可以將輔機的類型分為伴隨機和接應機。

二、故障解決策略

考慮到加油過程中輔機可能出現(xiàn)故障，不能按照計劃為主機加油，所以要提前準備故障時的解決方案。在原計劃中，由一架輔機C1在主機出航的過程中給它加油，由兩架輔機A1和A2在主機返航的過程中給它加油。當這三架輔機中任意一架輔機出現(xiàn)故障不能給主機加油時，主機就難以順利完成任務以及返回基地。針對這三架輔機可能出現(xiàn)的故障情況主要分為以下三大類別：（1）伴隨機發(fā)生故障;（2）接應機發(fā)生故障;

2.1伴隨機發(fā)生故障

在這里，假設伴隨或者接應主機的飛機在出發(fā)前都通過了故障檢測，所以所有的輔機只可能在飛行的過程中出現(xiàn)故障。當唯一的一架伴隨機C1發(fā)生故障時，主機無法在出航L/3處加滿油，此時即便從基地派遣加油飛機也無法追上主機。于是主機將在不加油的情況下一直將油用光，所以當主機剩余油量為0時它所在的位置為距小島0.085L處。于是接應機需要比計劃提前起飛，使每一架接應機所到達的位置主機油量都為0。

當?shù)谝患芙討獧C將自己的剩余油量均分給主機后，它們兩個可以共同前進的航程如下[1]：

（L-（0.825L-0.085L））/2=0.13L（1）

當?shù)谝患芙討獧C和主機油量耗盡時，它們距離小島為0.215L，距離基地為0.61L。于是第二架接應機給主機和第一架接應機加油后，它們能夠前進的航程為。當這兩架接應機和主機的油量都耗盡時，它們距離小島為0.345L，距離基地為0.48L。同上可得第k架接應機給其它接應機和主機加油后，共同能夠前進的航程為：

（L-（0.825L-0.085L-0.13（k-1）L））/（k+1）=0.13L（2）

于是可得到的規(guī)律為：每一架接應機給飛機和其它接應機加油后，所有飛機均能前進0.13L。為使主機能夠返回基地，所需要的接應機數(shù)量增加，具體可得：

m×0.13L=0.825L-0.085L（3）

解方程得m約等于5.7，所以可以得到的結論如下：

當伴隨機發(fā)生故障時，主機在出航的過程中無法被加油，從而能夠航行的距離縮減，需要接應機提前起飛。提前起飛的接應機仍在主機油量耗盡的時候與它相遇[2]，所以在返航的過程中，主機共需要6臺接應機在主機依次用完油的時候給主機加油，各加油位置分別為距離小島63.4海里處、160.35海里處、257.3海里處、354.26海里處、451.22海里處、548.17海里處。

2.2接應機發(fā)生故障

針對接應機發(fā)生故障的情況，又可以分為一架接應機故障和兩臺都故障的情況。在這里為了使安全性最高，考慮最壞的情況，即所有的接應機均發(fā)生故障。

在正常情況下，主機經(jīng)一次加油后能夠返航，并飛行到距基地為0.41L的位置，但此時由于接應機中途發(fā)生了故障，已經(jīng)無法及時為主機進行加油。即使基地的相關人員得知該輔機發(fā)生故障后立即派遣接應機前去加油也無法在主機油量消耗完之前給它加油。飛機一旦沒有了燃料將會十分危險，如果接應機無法為主機提供幫助，只有提前準備好足夠的伴隨機，以防接應機出現(xiàn)故障后，主機因油量不足而無法返回基地。

在這里，當只有伴隨機為主機提供幫助時，主機的作戰(zhàn)半徑與輔機最大航程之間的關系為[3]：

r=（1.91n+1.82）L/2（n+1）（4）

當r等于615海里，L=745.8海里時，計算出n約等于5.7，所以可以得到的結論為：當接應機發(fā)生故障后再進行補救是不可能的，只有提前考慮到接應機可能發(fā)生故障這一點后，讓6架伴隨機和主機一起出發(fā)，在出航的過程中依次在6個最佳加油位置給主機加油。這6個最佳加油位置分別為距離基地93.23海里處、186.45海里處、279.68海里處、372.9海里處、466.13海里處、559.35海里處。每架輔機給其它飛機加油時，在保證自己能返回基地的基礎上，把剩余油量按等份分給其它的每一架飛機。

參考文獻

[1] 王功明，王秀琴，吳華瑞， 等.空中加油最優(yōu)分配方案設計[J].計算機工程與設計，2007，28（10）：2422-2425.

[2] 王瑞，王偉，王鵬.無人機空中加油建模與仿真分析[J].計算機測量與控制，2011，19（1）：142-144.

[3] 萬宏，賀俊，程慧燕， 等.空中加油問題當前最好的幾個方案[J].數(shù)學的實踐與認識，2008，38（16）：1-8.

作者簡介：

彭楊楊（1999—），性別：女，名族：漢，籍貫：湖北省襄陽市，學歷：大學本科，學校：華北理工大學，專業(yè)：能源與動力工程。