張宇 趙轉(zhuǎn)哲 趙帥帥 劉永明 何康

摘要：針對(duì)RV減速器對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果精度不高且需要手工圓整的問(wèn)題，提出一種基于離散混合蛙跳算法的單目標(biāo)優(yōu)化求解方法.首先，以體積最小為目標(biāo)建立了RV減速器整機(jī)的非線性約束優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型;其次，介紹了離散混合蛙跳算法基本原理;通過(guò)罰函數(shù)法將上述數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型后，應(yīng)用離散混合蛙跳算法對(duì)RV減速器整機(jī)實(shí)例進(jìn)行優(yōu)化求解;最后與傳統(tǒng)算法、粒子群算法及遺傳算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，離散混合蛙跳算法的求解結(jié)果有著求解精度更高，收斂速度更快、避免對(duì)結(jié)果進(jìn)行手工圓整等優(yōu)點(diǎn).

關(guān)鍵詞：RV減速器;結(jié)構(gòu)優(yōu)化;離散混合蛙跳算法;罰函數(shù)法

中圖分類號(hào)：TH122? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）04-0099-05

1 引言

RV減速器作為機(jī)器人驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的核心部件，有著傳動(dòng)效率高、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)效率高、回程誤差小等優(yōu)點(diǎn)，已在工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域廣泛應(yīng)用.但由于國(guó)內(nèi)RV減速器發(fā)展起步時(shí)間較晚、設(shè)計(jì)理論與生產(chǎn)工藝尚未成熟、制作成本高等不足，使得大多機(jī)器人相關(guān)企業(yè)不得不向外國(guó)進(jìn)口引入性能優(yōu)良的RV減速器.這就意味著國(guó)內(nèi)對(duì)RV減速器的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化與改良顯得尤為重要.因此，國(guó)內(nèi)有很多學(xué)者對(duì)此展開研究：蘇德瑜[1]等以整機(jī)效率最高及體積最小作為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)，分別進(jìn)行基于遺傳算法與NSGA-II算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化求解;張景鈺[2]等基于遺傳算法的RV減速器體積和效率多目標(biāo)優(yōu)化;張飛翔[3]等基于傳統(tǒng)等距-移距組合修形方法，以提升RV減速器承載能力為修形目標(biāo)，建立擺線輪修形量搜尋數(shù)學(xué)模型，并用格點(diǎn)法進(jìn)行求解.以上學(xué)者研究都對(duì)RV減速器參數(shù)的改進(jìn)做出了突出的貢獻(xiàn).由此筆者嘗試使用新的群智能算法，目的是在上述學(xué)者研究成果的基礎(chǔ)上對(duì)RV減速器參數(shù)進(jìn)一步改良，使減速器整機(jī)性能更佳.

混合蛙跳算法（Shuffled Frog Leaping Algorithm，SFLA），作為一種新型的啟發(fā)式仿生物學(xué)群智能優(yōu)化算法，有著概念簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)以及頗為優(yōu)秀的計(jì)算求解能力和全局搜索能力.現(xiàn)已被廣泛運(yùn)用于水資源分配、橋墩維修、車間作業(yè)流程安排等工程實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.

本文提出一種基于離散的混合蛙跳算法實(shí)現(xiàn)對(duì)RV減速器進(jìn)行體積單目標(biāo)優(yōu)化的新方法.旨在滿足整機(jī)剛度、強(qiáng)度、傳動(dòng)效率等的前提下對(duì)RV減速器結(jié)構(gòu)做出進(jìn)一步的改良，使其在空間要求更為苛刻的場(chǎng)合也能靈活應(yīng)用.

2 RV減速器結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

2.1 RV減速器結(jié)構(gòu)原理[4]

如圖1所示，RV減速器是一個(gè)封閉差動(dòng)輪系，在結(jié)構(gòu)上分為兩部分.其中，差動(dòng)輪系部分由輸入軸及中心輪、行星輪以及行星架構(gòu)成;封閉部分是一個(gè)擺線針輪行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)由曲柄軸、擺線輪、針齒以及針齒殼構(gòu)成.如果針齒殼固定，則行星架視為輸出構(gòu)件;若行星架固定，則針齒殼作為輸出構(gòu)件.本文選擇針齒殼為輸出構(gòu)件.

2.2 RV減速器的數(shù)學(xué)建模[4]

RV減速器的體積主要由一級(jí)漸開線齒輪傳動(dòng)部件以及二級(jí)擺線針齒傳動(dòng)部件尺寸大小決定，為了減輕二級(jí)傳動(dòng)中擺線輪與曲柄軸之間的作用力，要求一級(jí)齒輪傳動(dòng)中心距略大于二級(jí)傳動(dòng)針輪中心圓直徑的四分之一，而齒輪傳動(dòng)所占體積可近似與齒輪中心距呈線性正相關(guān)，因此不妨以一級(jí)齒輪傳動(dòng)中心距作為本設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)（記為f（x）），以中心距最小為最優(yōu)解建立數(shù)學(xué)模型.

由于RV減速器輸入輸出要求及總傳動(dòng)比已知，因此上式中涉及到的獨(dú)立變量為設(shè)計(jì)變量：

（2）為了充分利用二級(jí)傳動(dòng)部分?jǐn)[線針輪傳遞扭矩大、承載能力大、載荷平穩(wěn)的優(yōu)點(diǎn)，需要使圓柱齒輪減速部分的傳動(dòng)比i1不應(yīng)太?。?/p>

（3）為了滿足齒根彎曲疲勞強(qiáng)度，使小齒輪齒數(shù)滿足以下公式：

式中m取標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)第一系列，K為載荷因數(shù);YFa為齒形系數(shù);YSa為應(yīng)力校正系數(shù);Φd為齒寬系數(shù);[σF]為許用彎曲疲勞應(yīng)力;T1為中心齒輪傳遞轉(zhuǎn)矩，計(jì)算公式為：

（4）一級(jí)行星圓柱齒輪傳動(dòng)需要滿足齒面接觸疲勞強(qiáng)度：

（5）對(duì)于相鄰的兩個(gè)行星輪來(lái)說(shuō)，應(yīng)保證它們的中心距大于自身齒頂圓直徑，齒頂才不會(huì)干涉（記行星輪個(gè)數(shù)為np），即存在鄰接條件：

（6）為了保證結(jié)構(gòu)的均衡，漸開線行星傳動(dòng)部分的最大直徑應(yīng)接近擺線針輪傳動(dòng)部分的最大直徑，其約束條件為：

式中？濁為總傳動(dòng)效率，實(shí)際工況下應(yīng)保證RV減速器總傳動(dòng)效率不低于85%.

（7）曲軸軸承越接近于擺線輪中心位置，受力越大，而其距離與一級(jí)傳動(dòng)齒輪中心距正相關(guān).因此，為改善軸承受力，約束問(wèn)題即為：在中心距足夠大的前提下，要避免一級(jí)行星傳動(dòng)部分與二級(jí)擺線針輪傳動(dòng)部分的結(jié)構(gòu)失衡.得中心距約束條件為：

將上述約束條件記為gi（X），i為約束條件個(gè)數(shù)（i=1～9）.故得數(shù)學(xué)模型：

3 離散混合蛙跳算法簡(jiǎn)介

3.1 混合蛙跳算法簡(jiǎn)介

該算法模擬生物界青蛙群體尋找食物的過(guò)程：設(shè)想有一個(gè)青蛙種群，每只青蛙攜帶自己的解因子，其表現(xiàn)為自身位置與食物的接近程度.它們都在尋找食物，且食物僅有一塊，位置固定.青蛙分為大小一致的不同族群，為了使各族群中更加遠(yuǎn)離食物的青蛙獲得靠近食物的機(jī)會(huì)，在各個(gè)族群中分出一個(gè)子族群，子族群內(nèi)部每只青蛙通過(guò)與自身位置附近的具有優(yōu)良解因子的青蛙個(gè)體進(jìn)行局部的信息交流，學(xué)習(xí)和獲取社會(huì)經(jīng)驗(yàn)并向更加接近食物的位置完成一次跳躍.當(dāng)各個(gè)族群完成若干次進(jìn)化后，重新隨機(jī)分組實(shí)現(xiàn)全局搜索的目的，并重復(fù)上述更新過(guò)程，規(guī)定迭代若干次后或精度達(dá)到要求后終止算法，獲得與目標(biāo)接近的最優(yōu)解.本例中以達(dá)到全局迭代次數(shù)為終止條件.混合蛙跳算法基本步驟如下[6]：

（1）求解的基本參數(shù)定義：族群個(gè)數(shù)記為m;每個(gè)族群包含青蛙個(gè)體數(shù)記為p;全體種群包含青蛙個(gè)體數(shù)記為U=mp;每個(gè)族群青蛙局部信息交換次數(shù)記為L(zhǎng)max;全局迭代次數(shù)記為Gmax;子族群個(gè)體數(shù)記為q，最大跳躍距離記為最大步長(zhǎng)Smax等.

（2）初始化種群：通過(guò)變量在定義域范圍的限制，使用rand函數(shù)隨機(jī)生成p個(gè)青蛙個(gè)體組成種群，對(duì)其按適應(yīng)度大小進(jìn)行排序，并尋找到全局最優(yōu)青蛙Ug.

（3）進(jìn)化開始：全體種群按照間隔抽樣的規(guī)則進(jìn)行族群分配，每個(gè)族群創(chuàng)建一個(gè)子族群，記錄最差青蛙Uw，子族群最優(yōu)青蛙Ub，并對(duì)Uw進(jìn)行Lmax次局部搜索進(jìn)化，Uw’表示最差青蛙獲得更新后的解.計(jì)算Uw’，若適應(yīng)度值優(yōu)于Uw，則取代Uw;若不如Uw，則用Ug取代Ub，重復(fù)（3），若結(jié)果仍舊無(wú)改進(jìn)，則隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)青蛙代替Uw.

（4）各個(gè)族群打亂合并后，新族群按上步的選擇規(guī)則重新建立，并更新全局最優(yōu)青蛙;檢查是否達(dá)到規(guī)定全局迭代次數(shù)，若是，則算法結(jié)束，記錄此時(shí)全局最優(yōu)解和對(duì)應(yīng)適應(yīng)度函數(shù)的值，反之，則回到（3）執(zhí)行.

3.2 混合蛙跳算法的離散化

對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中需要在多維離散變量中尋求一組適應(yīng)度值最小的解，就需要對(duì)傳統(tǒng)混合蛙跳算法做出以下改進(jìn)：

（1）相對(duì)于傳統(tǒng)的連續(xù)型混合蛙跳算法，離散蛙跳算法在初始化種群時(shí)采用對(duì)多維離散變量逐個(gè)編號(hào)，并采用隨機(jī)抽號(hào)的方式生成一組離散變量作為一個(gè)解，重復(fù)利用便生成含有F個(gè)解向量的青蛙種群.

（2）在算法執(zhí)行局部搜索更新策略之前，需要把青蛙轉(zhuǎn)換成（1）中確定的編號(hào)：全局最優(yōu)青蛙Ug對(duì)應(yīng)編號(hào)Ugs;局部最差青蛙Uw對(duì)應(yīng)Uws;局部最優(yōu)青蛙Ub對(duì)應(yīng)Ubs;并把編號(hào)帶入更新策略，更新局部最差青蛙Ubs，更新完成后對(duì)應(yīng)編號(hào)重新轉(zhuǎn)化為編號(hào)對(duì)應(yīng)的實(shí)際變量值;

（3）在局部更新策略中添加產(chǎn)生離散值的取整函數(shù)round，使得最差青蛙得到更新后的值依舊能在所給離散變量?jī)?nèi)找到相同的值.局部更新策略：

Ss表示離散解最差青蛙的更新步長(zhǎng);r1，r2代表rand函數(shù)（0～1）之間隨機(jī)取值的大小.Uws’為最差青蛙更新后的含有變量編號(hào)的矢量;先把Uws’轉(zhuǎn)化到對(duì)應(yīng)的實(shí)際變量值，再對(duì)其進(jìn)行其他操作.其他算法步驟思想與原混合蛙跳算法類似.

4 基于離散混合蛙跳算法的尋優(yōu)實(shí)例

4.1 RV減速器設(shè)計(jì)參數(shù)[4]

減速器選用RV-450E系列，基本參數(shù)：傳動(dòng)比i=81;輸出轉(zhuǎn)速n=5r/min;輸入功率P=4.28kW.由于其對(duì)于精度要求高，通常選用硬度高，耐磨性好的20Cr經(jīng)過(guò)滲碳淬火處理作為一級(jí)傳動(dòng)齒輪材料.查閱機(jī)械手冊(cè)及相關(guān)文獻(xiàn)，數(shù)據(jù)經(jīng)插值擬合得到：載荷因數(shù)K=1.10;齒形系數(shù)YFa=2.91;應(yīng)力校正系數(shù)YSa=1.53;齒寬系數(shù)Φd=0.3;總傳動(dòng)效率η=0.88;許用彎曲疲勞應(yīng)力[σF]=640MPa;許用接觸疲勞應(yīng)力[σH]=1800MPa;材料彈性影響系數(shù)ZE=189.9MPa1/2;行星輪個(gè)數(shù)為np=3;齒頂高系數(shù)ha*=1.

4.2 群智能算法的適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)造

一般而言，群智能算法的適應(yīng)度函數(shù)與傳統(tǒng)算法目標(biāo)函數(shù)相同，但在具體實(shí)例中，群智能算法要求適應(yīng)度函數(shù)不加約束，這就引出了如何使約束條件由非線性不等式約束轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的問(wèn)題.針對(duì)此類問(wèn)題，提出構(gòu)造懲罰函數(shù)的思想.

從第2節(jié)數(shù)學(xué)模型構(gòu)造可以看出，RV減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)是非線性不等式約束下的非線性目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化.基于懲罰函數(shù)法，在目標(biāo)函數(shù)內(nèi)引入懲罰項(xiàng)的方式使得非線性不等式約束轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題，由于本例中存在非線性不等式約束，故選用外點(diǎn)罰函數(shù)法構(gòu)造以下適應(yīng)度函數(shù)：

M為罰函數(shù)因子，g（X）為不等式約束，h（X）為等式約束.根據(jù)罰函數(shù)法原理，當(dāng)M值取足夠大時(shí)，F(xiàn)（X，M）的最優(yōu)解（最小值）近似接近f（X）.由于約束條件內(nèi)無(wú)等式約束，故懲罰函數(shù)可以寫為：

通過(guò)上式將本次優(yōu)化中的對(duì)復(fù)雜的約束優(yōu)化轉(zhuǎn)化為求對(duì)簡(jiǎn)單的無(wú)約束問(wèn)題的優(yōu)化，F(xiàn)（X，M）在混合蛙跳算法中對(duì)應(yīng)蛙群適應(yīng)度函數(shù).

4.3 群智能算法基本參數(shù)設(shè)置

為與PSO與GA算法結(jié)果形成對(duì)比，設(shè)置三種群智能算法終止條件皆為達(dá)到全局迭代次數(shù)時(shí)停止;使各算法局部更新次數(shù)Lmax和全局迭代次數(shù)Gmax保持一致;求解問(wèn)題維數(shù)D與隨機(jī)生成的群體個(gè)體數(shù)F相同.參考文獻(xiàn)[6]得Lmax=40;Gmax=200;D=3;U=400;由于變量x1，x2上界約束未給定，在保證算法的精度與效率、方便計(jì)算的條件下，使上下界間隔盡量拉開，用MATLAB語(yǔ)言表示為：x1=[17：1：71]，x2=[27：1：101];x3取第一系列標(biāo)準(zhǔn)齒輪模數(shù)[0.2，0.25，…20]，以下不再贅述.

4.3.1 離散混合蛙跳算法（D-SFLA）參數(shù)設(shè)置

本例RV減速器體積優(yōu)化問(wèn)題中設(shè)置族群數(shù)m=20;每個(gè)族群青蛙數(shù)p=20;子族群含青蛙個(gè)數(shù)q=15;最大步長(zhǎng)Smax為步長(zhǎng)系數(shù)Lst乘以設(shè)計(jì)變量X上下界之差，本例步長(zhǎng)系數(shù)Lst取0.5.

4.3.2 粒子群算法（PSO）參數(shù)設(shè)置

PSO算法受鳥群覓食這種自然界生物行為的啟發(fā)而誕生，其對(duì)應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題的潛在解可理解為D維搜索空間上的一個(gè)點(diǎn)，每只鳥以自己所在點(diǎn)x決定自己的適應(yīng)度函數(shù)值，以自身速度v作為下次位置更新的依據(jù).算法基本步驟可簡(jiǎn)略的描述為：首先一定規(guī)模的鳥群在解空間內(nèi)隨機(jī)進(jìn)行分布，各個(gè)方向（維）初速度在[-1，1]范圍內(nèi)隨機(jī)生成，各向初速度矢量和記為v0;然后每只鳥學(xué)習(xí)自身歷史經(jīng)驗(yàn)，以及鳥群社會(huì)經(jīng)驗(yàn)更新自身的位置與速度，漸漸向最優(yōu)位置靠攏;在迭代結(jié)束后，鳥群緊密的聚集在最優(yōu)點(diǎn)附近，此時(shí)提取最優(yōu)解，尋優(yōu)結(jié)束.粒子群算法的速度與位置迭代模型[8]：

式（4-1）表示算法速度更新策略，等式右邊由個(gè)體慣性因素、對(duì)自身歷史的學(xué)習(xí)因素、對(duì)社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)因素三部分組成;上標(biāo)字母k表示更新代數(shù)，1≤k≤Gmax=200;w為慣性權(quán)重，c1，c2為學(xué)習(xí)因子;依據(jù)經(jīng)驗(yàn)取w=0.9，c1=c2=2;pbest表示自身歷史極值點(diǎn);gbest表示全部群體所達(dá)到的極值點(diǎn);等式（4-2）表示位置算法的更新策略.由于解空間的范圍限制，設(shè)定各方向速度邊界值vmax=1，vmin=-1;使更新過(guò)程中大于邊界值的速度替換為vmax，小于邊界值的速度替換為vmin.

4.3.3 遺傳算法（GA）參數(shù)設(shè)置

本例采用MATLAB自帶的遺傳算法工具箱[9]進(jìn)行尋優(yōu).調(diào)用gaoptimset與ga函數(shù)，由4.2所述設(shè)置種群規(guī)模，迭代次數(shù)與終止迭代代數(shù).用MATLAB語(yǔ)言可表示為：

options=gaoptimset（'PopulationSize'，400，

'Generations'，200，'StallGenLimit'，200'PlotFcns'，{@gaplotbestf，@gaplotbestindiv}）;[x_best，fval]=ga

（fitnessfcn，nvars，[]，[]，[]，[]，[17;27;0.2]，[71;101;20]，[]，options）;

4.4 優(yōu)化結(jié)果

在迭代參數(shù)與4.3節(jié)一致的條件下，基于離散混合蛙跳算法（D-SFLA）、粒子群（PSO）算法與遺傳算法（GA）分別對(duì)RV減速器體積優(yōu)化數(shù)學(xué)模型獨(dú)立求解20次，分別對(duì)PSO和GA算法優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行手工圓整，并在優(yōu)化結(jié)果中加入?yún)⒖嘉墨I(xiàn)[4]中利用MATLAB中fmincon函數(shù)圓整后得到的最優(yōu)解，目的是使上述各算法間相互形成對(duì)比，結(jié)果見表1.

從表1中數(shù)據(jù)可以看出基于群智能算法的最優(yōu)結(jié)果適應(yīng)度值比f(wàn)mincon函數(shù)得出的最優(yōu)解降低大約12.5%，使用群智能算法優(yōu)化效果顯著提升.對(duì)三種群智能算法統(tǒng)計(jì)最優(yōu)解、最差解、平均值、方差.看出離散混合蛙跳算法得出結(jié)果最優(yōu);其最差解的適應(yīng)度值甚至接近PSO與GA算法的最好解;平均值，方差也最小.這顯示出離散混合蛙跳算法不僅求解精度最高，結(jié)果穩(wěn)定，還不易陷入局部最優(yōu).另外，由于PSO與GA算法都需要對(duì)結(jié)果手工圓整，這就體現(xiàn)出離散混合蛙跳算法使尋優(yōu)結(jié)果上更有說(shuō)服力，更有科學(xué)性.

衡量算法收斂速度的快慢常用算法的迭代曲線圖表示.利用離散混合蛙跳算法20次求解數(shù)據(jù)繪制迭代曲線如圖2.

由圖2可看出三條迭代曲線中無(wú)論是最好值還是最差值都在算法迭代早期（不超過(guò)10代）就可以趨于穩(wěn)定，可見離散混合蛙跳算法在對(duì)RV減速器體積最小尋優(yōu)實(shí)例中有著求解速度快，收斂迅速的優(yōu)點(diǎn).

5 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)RV減速器體積最小單目標(biāo)尋優(yōu)過(guò)程中應(yīng)用離散混合蛙跳算法，求解結(jié)果不僅明顯優(yōu)于傳統(tǒng)非線性約束尋優(yōu)函數(shù)fmincon，而且相比其他群智能算法得出的結(jié)果精度更高、收斂速度更快、全局尋優(yōu)能力更強(qiáng)、且其結(jié)果生成后即可使用，無(wú)須手工圓整.上述優(yōu)點(diǎn)表明離散混合蛙跳算法可以作為解決離散變量?jī)?yōu)化問(wèn)題的新方法.

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