吉青艷

緒論

柯西中值定理是微分學中重要基本定理之一，是連接導數(shù)與連續(xù)函數(shù)的橋梁，是構成微分學的一個重要內容，用途也十分廣泛，經(jīng)常作為考試的重點內容。因此，研究柯西中值定理的證明以及應用是非常有必要的。

在國外，羅爾由費馬引理推導出來羅爾中值定理，法國數(shù)學家拉格朗日又根據(jù)羅爾中值定理構造函數(shù)證明出了拉格朗日定理。最后柯西根據(jù)拉格朗日插值定理證明得出柯西中值定理，我們可以把拉格朗日中值定理看作是柯西中值定理的特殊形式。羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是微分學重要定理。這些定理都是有關連續(xù)可導函數(shù)與它們導數(shù)之間的關系，利用它們我們可以研究函數(shù)的連續(xù)性、單調性以及函數(shù)凹凸性及零點等問題。

在國內，近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內發(fā)表的文章就有很多篇。例如趙香蘭2004年在《大同職業(yè)技術學院學報》上發(fā)表《巧用微分中值定理》，周本虎2006年在《大學數(shù)學》上發(fā)表《ξ-η等式的證明方法》，荊天2008年在《科學信息》上發(fā)表《柯西中值定理及其應用》，王樹勛和葉正麟2008年在《高等數(shù)學研究》上發(fā)表《柯西中值定理的幾何解釋》，耿信社2011年在《數(shù)學學習與研究》上發(fā)表《柯西中值定理的應用》和《柯西中值定理的幾種證明》等等。

本文通過證明柯西中值定理，試著去研究一個數(shù)學問題，并且研究其應用，有助于我們更好的掌握柯西中值定理的性質，并用它去解決一些數(shù)學問題和推導一些定理。

1.柯西中值定理及其起源與發(fā)展

1637年，法國著名數(shù)學家費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出費馬定理。1691年，法國數(shù)學家羅爾在《方程的解法》一文中給出多項式形式的羅爾定理，1797年，法國數(shù)學家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。而柯西中值定理以拉格朗日定理為理論依據(jù)得已證明，這些定理組成整個微分學的理論基礎;近年來國內外學者嘗試著用多種方法證明柯西中值定理，并且對其應用加以探究。

柯西中值定理：（1）f（x）及g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2）f（x）及g（x）在開區(qū)間（a，b）內可導;（3），;那么在（a，b）內至少有一點ζ，使得：.去掉條件，柯西中值定理可以推廣到一般形式，令f（x）及g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內可導，則至少存在一點使得.

柯西中值定理的幾何意義：將值對應到縱坐標軸，將的值對應到橫坐標軸上，則對任意的值都可以在此坐標軸上表示出來，而與是連續(xù)函數(shù)，若與不同時為零，那么，則坐標軸上的點（，）可連接成一條光滑連續(xù)曲線。連接該曲線兩端點的向量為，而表示該曲線上某點處的切向量，那么該定理可以理解為：光滑曲線上過兩端點的向量平行于曲線上某點處的切向量。不難看出其幾何意義與拉格朗日中值定理的幾何意義極為相像。

2.柯西中值定理的證明

利用區(qū)間套法證明柯西中值定理，在證明此定理前，我們先介紹幾個引理：

引理1 設函數(shù)在上有定義，且在處可導，又為一閉區(qū)間套，且，則有.

引理2 在上連續(xù)，且是單射，則存在，且使.

證明柯西中值定理：反復利用引理2，可得閉區(qū)間套，滿足且.由閉區(qū)間套定理存在，使，再由引理1有：.

3.柯西中值定理的應用

積分第一中值定理：若在上連續(xù)，則至少存在一點，使.

積分第一中值定理推廣：若都在上連續(xù)，且在上不變號，則至少存在一點，使得：.

結論

通過對柯西中值定理證明及應用的探討，我們發(fā)現(xiàn)除了教材華東師范大學《數(shù)學分析》上用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理外，還有多種方法可以證明柯西中值定理。通過對其應用探討，我們發(fā)現(xiàn)它在解決數(shù)學問題上用途很廣泛，并且可以推導一些重要定理。以上對柯西中值定理的研究都是基于實函數(shù)上的，以后還可以研究它在復函數(shù)上的性質以及它在復函數(shù)上有哪些應用。

參考文獻：

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[3]黃德麗.用五種方法證明柯西中值定理[J]，湖州師范學院報，2003年，25卷：27～29

[4]張躍平，葛健芽，沈利紅.柯西中值定理的證明及應用[J]，金華職業(yè)技術學院報，2006年，6卷（3期）：58～60

[5]荊天.柯西中值定理及其應用[J]，高校理科研究91～92

（作者信息：恩施州清江外國語學校）