蘇錚 陳雅琴 楊雅潔

摘要：本文基于牛頓第二定律，對排球、鼓和人進行受力分析，進而分析其運動狀態(tài)，最終通過數(shù)學(xué)建模，得出團隊最佳協(xié)作策略，解決了如何提高同心鼓游戲效率的問題。通過受力分析，運用牛頓第二定律，在理想狀態(tài)下，建立受力分析模型。在受力分析模型下，將第一次排球與鼓面碰撞作為示例，分析其運動狀況，將運動過程分為四個，得到四個運動模型，最終得到了在理想狀態(tài)下，團隊的最佳協(xié)作策略，給出在該策略下的顛球高度。最后在靈敏度測試和優(yōu)化階段理想狀態(tài)下，持續(xù)觀察每一次排球與同心鼓碰撞后排球的顛球高度，將同心鼓的顛球過程抽象化，作其抽象化的運動軌跡圖，更加直觀的觀測排球的最佳顛球高度。

關(guān)鍵詞：碰撞，動量守恒，回歸分析模型

1 引言

本文創(chuàng)新之處在于找出自變量與最佳高度之間的關(guān)系，利用物理學(xué)原理進行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的物理過程抽象化，運用猜想與假設(shè)法以及整體和隔離法。最終得到含有相關(guān)自變量和因變量之間的非線性回歸方程，擬建立了回歸分析模型

1 問題重述與分析

同心鼓是一項團隊協(xié)作能力拓展項目，多根繩均勻固定在鼓身上，每根繩長度相同。每人牽拉一根繩使鼓面保持水平。球從距離鼓面中心上方40cm處豎直落下，由隊員合力將球顛起，并在鼓面上跳動。在顛球過程中，隊員只可抓住繩子末端，不能接觸其它部位。參數(shù)由題目給出，球被顛起的高度應(yīng)該距離鼓面40cm以上，若低于40cm，則項目停止，連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能的多。

問題一：理想狀態(tài)下，每個人都精確控制用力方向、時機、力度，討論團隊的最佳協(xié)作策略，并給出顛球高度。通過對排球、鼓和人進行受力分析，將物理學(xué)模型轉(zhuǎn)化為所求的數(shù)學(xué)模型

問題二：考慮現(xiàn)實情形，鼓面可能會傾斜，要求建立模型描述隊員的發(fā)力時機和力度與某一特定時刻的鼓面傾斜角的關(guān)系，并填寫表1，參數(shù)由題給出。對所求最佳策略下的顛球高度建立的模型進行優(yōu)化，將未考慮的因素作為自變量，改變顛球高度及次數(shù)。考慮隊員的實際情況，可能會導(dǎo)致鼓面傾斜，通過對同心鼓受力分析，研究其物理狀態(tài)，找到與模型一中的聯(lián)系，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。

問題三：考慮現(xiàn)實情況，根據(jù)模型二，試判斷問題一中給出的策略是否需要調(diào)整？如果需要，如何調(diào)整？通過對比模型一和模型二，將未考慮的現(xiàn)實因素進行模型調(diào)優(yōu)，使建立的數(shù)學(xué)模型更貼近現(xiàn)實情況下的要求，提高數(shù)學(xué)模型求解的準(zhǔn)確性。

問題四：當(dāng)鼓面發(fā)生傾斜時，球跳動的方向不再豎直，需要隊員調(diào)整拉繩的策略。假設(shè)條件由題給出，避免排球被彈出，將排球調(diào)整為豎直狀態(tài)彈跳，請給出在可精確控制條件下所有隊員的發(fā)力時機及力度，結(jié)合現(xiàn)實情況，分析實施效果如何。在優(yōu)化模型基礎(chǔ)上，分析排球在第一次碰撞后的運動軌跡及在第二次碰撞前排球和同心鼓的受力情況，再由第二次碰撞時排球的速度方向，求出排球受同心鼓的合力情況和鼓面的傾斜角度，根據(jù)優(yōu)化模型得出隊員在第二次碰撞的最佳發(fā)力時機及力度。

2模型假設(shè)

1）問題一中假設(shè)理想情況就是隊員都可以控制用力方向、時機、力度且均相同;所有矢量向下為正方向;隊員數(shù)為8人，隊員間最小距離為60且不計繩長的影響;排球與同心鼓發(fā)生碰撞后，在理想狀態(tài)下，不改變系統(tǒng)動能

2）問題二中假設(shè)所求的0. 1s時的傾斜角度，0.Is指的是，運動了0. 1s，且規(guī)定發(fā)力時機中的-0.1，指的隊員提前0.1秒施力;假設(shè)8個隊員是等間 距站位;假設(shè)每個隊員之間的角度恒為π/4，整個運動過程是不會改變隊員之間的角度

3模型的建立與求解

3.1問題一的模型建立與求解

3.1.1模型建立與求解

①排球未接觸鼓時，做自由落體運動，據(jù)此建立數(shù)學(xué)模型。G為排球受到的重力，m1為排球的質(zhì)量，a1為排球的加速度，方向為豎直向下，受力分析如下：

根據(jù)牛頓第二定律得知：G=m1a1 （11），重力與質(zhì)量的關(guān)系為：G =mg （1.2），由（1.1）和（1 2）得出在排球做自由落體運動時：ai=g（1.3），由勻加速直線運動規(guī)律得到排球的速度、加速度和時間之間的微分關(guān)系如下：

②同心鼓上升但未與排球碰撞的過程中，做勻減速直線運動。理想狀態(tài)下，受力情況如圖2、3所示：

圖4同心鼓在豎直向上的合力FN作用下向上運動由勻減速直線運動的規(guī)律，得同心鼓的速度、加速度和時間之間的微分關(guān)系如下：

③在排球和同心鼓在發(fā)生碰撞的過程中，根據(jù)物理學(xué)原理建立碰撞過程。由于排球與同心鼓碰撞的過程屬于非完全彈性碰撞，假設(shè)物體發(fā)生彈性形變后的恢復(fù)系數(shù)為e。由動量守恒定律，得到如下公式：排球與同心鼓發(fā)生非完全彈性碰撞的過程中，從能量的角度來看，排球與同心鼓的動能變?yōu)樾巫儎菽?，也有一部分能量轉(zhuǎn)化為克服摩擦力所產(chǎn)生的熱能，因此碰撞過程中，兩物體的動能不守恒，且所組成的系統(tǒng)的動能發(fā)生損耗，假設(shè)系統(tǒng)動能的損耗為△E1，則有：

3.1.2 模型靈敏度分析與檢驗

在理想狀態(tài)下，排球與同心鼓的碰撞是在同一豎直方向上，如圖5所示：

3.2 問題二的模型建立與求解

3.2.1 問題二的模型建立與求解

在問題一的②過程中，排球正在做自由落體運動，需要求，在0. 1s時同心鼓鼓面的傾斜角度。需要判斷在0. 1s時，排球與鼓面是否碰撞，此時va=0，a=g，t=0.1，將這些條件帶入（1.31）、（1.32）得到：x = 4.9cm<40cm，由此得知，此時無碰撞。

在現(xiàn)實情況下，同心鼓鼓面初始狀態(tài)較繩子水平時下降了11cm，此時假設(shè)繩子與同心鼓鼓面的夾角為a，當(dāng)隊員們用力拉繩后，打破了同心鼓的平衡狀態(tài)，使得同心鼓運動。繩與同心鼓鼓面有一個夾角為θ。因現(xiàn)實因素，可能存在同心鼓受力不均不能水平上升，使鼓面出現(xiàn)傾斜，假設(shè)同心鼓傾斜的角度為s。

由受力分析可得，在豎直方向上隊員們對同心鼓的合力與每一名隊員的作用力呈正相關(guān)，使得同心鼓發(fā)生傾斜的作用力為恒力，欲使同心鼓向上做加速運動，夾角θ需大于夾角a，通過分析繩對鼓的作用力，可得出：

θ=α+β

（21）

在排球與同心鼓碰撞過程中，排球與鼓的各部分運動狀態(tài)與問題一中的③、④過程的運動狀態(tài)相同。區(qū)別為同心鼓做向上的加速運動時，加速度發(fā)生變化，設(shè)該加速度為ax，則有：

3.3 問題三的問題求解

3.3.1 問題的求解及改進

答：在問題一中，是理想狀態(tài)下，需要改變第一問中對同心鼓的受力分析方程， 在問題二中考慮現(xiàn)實狀況的影響因素，則將該階段的受力分析調(diào)整如下：

3.4 問題四的模型建立與求解

3.4.1 問題四的模型建立與求解

4. 模型評價、改進與推廣

4.1 模型評價：

優(yōu)點：模型根據(jù)物理學(xué)原理推導(dǎo)，有充分理論依據(jù)，可靠性較高。使用回歸分析預(yù)測模型建立多個自變量與因變量間非線性函數(shù)關(guān)系。將不易觀察的運動過程抽象轉(zhuǎn)化成直觀明了的圖像。缺點：采用物理模型，雖考慮現(xiàn)實因素，但不全面，在求解時對數(shù)據(jù)進行簡化操作，使得結(jié)果與真實值會存在一定的偏差。

4.2 模型改進：

（1）可以采用多組數(shù)據(jù)進行檢驗，進一步優(yōu)化模型的穩(wěn)定性，減輕對自變量的依賴性，讓模型更加牢固

（2）應(yīng)將隊員的性別比例，以及隊員在水平面上可以運動的距離范圍考慮在模型中，提高模型所得數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

4.3 模型推廣：

除使用回歸線性預(yù)測模型以及物理運動模型評價外，還可以嘗試使用模糊算法評價，在對系統(tǒng)模型認識不夠深刻的情況下可以方便我們理解系統(tǒng)的模型，進行分析。

（指導(dǎo)老師： 劉曉光）

參考文獻

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