岔曹春 段愛華 門秀萍 張子振

摘要：目的：本文以反病毒軟件清理病毒需要的時間周期為分岔參數(shù)，研究了一類時滯SVIR計算機病毒傳播模型的穩(wěn)定性與Hopf分岔。方法：首先通過討論特征根分布，得到模型局部漸近穩(wěn)定性和產生Hopf分岔的充分條件，進而利用中心流形定理和規(guī)范型理論確定了Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性。結論：理論研究和matlab仿真表明，當時滯τ∈[0，τ0）時，模型處于局部漸近穩(wěn)定狀態(tài)，當時滯τ>τ0時，模型失去穩(wěn)定性，產生Hopf分岔。

關鍵詞：計算機病毒;SVIR模型;Hopf分岔;中心流形定理;規(guī)范型理論

中圖分類號：O175 文獻標志碼：A 文章編號：1008-4657（2019）05-0014-07

0 引言

根據(jù)第44次《中國互聯(lián)網(wǎng)絡發(fā)展狀況統(tǒng)計報告》，截止2019年6月，我國網(wǎng)民規(guī)模達8.54億，較2018年底增長2 598萬，互聯(lián)網(wǎng)普及率達61.2%，較2018年提升1.6個百分點[1]?；ヂ?lián)網(wǎng)在給社會生產生活方式帶來巨大變革、推動社會發(fā)展的同時，也使得網(wǎng)絡安全成為國家和個人重點關注的問題。而計算機病毒是網(wǎng)絡安全的最大威脅[2-3]。根據(jù)國家計算機病毒應急處理中心發(fā)布的 《計算機病毒疫情分析報告》，2019年6月，共發(fā)現(xiàn)新增病毒2 929萬個，比5月上升48.9%，感染計算機21 704萬臺次，比5月上升4.7%[4]。計算機病毒的可復制性和破壞性使得其一旦爆發(fā)，便會給社會和個人帶來難以估計的損失[5]。為了降低計算機病毒的危害，人們采取了各種各樣的措施，最典型的就是安裝殺毒軟件。然而，沒有什么軟件可以清除所有病毒，而且，往往是病毒先出現(xiàn)，反病毒軟件等措施后查殺病毒。

因此，為了更好地抑制網(wǎng)絡病毒的傳播，很多學者根據(jù)計算機病毒與生物病毒傳播的相似性，利用研究生物病毒的數(shù)學模型來分析計算機病毒的傳播規(guī)律[6-11]。尹禮壽等[9]考慮到免疫策略對病毒潛伏期計算機的影響，研究了一類離散時間的易感染-潛伏-已感染-恢復（Susceptible-Exposed -Infected-Recovered ，SEIR）計算機病毒模型。王剛等[10]根據(jù)網(wǎng)絡中計算機節(jié)點動態(tài)增減的情況，研究了易感染-已感染-恢復（Susceptible-Infected-Recovered ，SIR）模型中各節(jié)點間轉換率對病毒傳播的影響。R.K.Upadhyay等[11]研究了一類非線性感染率的易感染-免疫-潛伏-已感染（Susceptible- Vaccinated -Exposed –Infected ，SVEI）計算機病毒傳播模型的穩(wěn)定性情況，得到了模型穩(wěn)定性受基本再生數(shù)影響的結論。

Yerra Shankar Rao 等[12]研究了一類具有免疫策略的易感染-免疫-已感染-恢復（Susceptible-Vaccinated-Infected-Recovered ，SVIR）計算機病毒模型，該模型假定新接入網(wǎng)絡中的計算機中有一定比例已經感染病毒，同時網(wǎng)絡內部的免疫措施能夠對計算機病毒起到一定清除作用。本文在Yerra Shankar Rao 等[12]的研究基礎之上，考慮殺毒軟件等免疫措施在清理病毒的過程中存在時間延遲的實際情況，研究了一類具有時滯的SVIR計算機病毒模型的傳播規(guī)律。本文建立的時滯SVIR模型如下所示：

4 結論

由于計算機病毒的可復制性、潛伏性和高破壞性等性質，對網(wǎng)絡安全存在嚴重威脅，而現(xiàn)有反病毒措施因清理計算機病毒需要一定時間周期而存在時間延遲的情況使得查殺病毒的效率難以進一步提升。因此，本文基于Yerra Shankar Rao 等[12]的研究工作，考慮到殺毒軟件等反病毒措施清理病毒需要一定的時間周期，進一步研究了具有時滯的SVIR計算機病毒傳播模型的穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性及性質，以期望了解計算機病毒傳播規(guī)律，為反病毒措施的改進提供理論指導，從而幫助實現(xiàn)更快地查殺病毒，降低計算機病毒可能造成的損失。本文通過討論特征根的分布，分析了該時滯SVIR模型在不同情況下的病毒傳播情況，并根據(jù)中心流形定理和規(guī)范型理論確定了病毒傳播失去穩(wěn)定時產生的Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性。通過研究和仿真可以知道，當τ∈[0，τ0）時，模型處于局部漸近穩(wěn)定狀態(tài)，此時便于控制網(wǎng)絡病毒的傳播，降低網(wǎng)絡病毒危害。當τ>τ0時，模型失去穩(wěn)定性，產生了Hopf分岔，此時計算機病毒的傳播過程難以控制。因此，應當采取適當措施盡量延緩Hopf分岔的產生，使計算機病毒傳播在可控范圍之內。

參考文獻：

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[責任編輯：鄭筆耕]