朱建明

摘要：“形似神非”問題是指一組外在形式相似或相關(guān)，而內(nèi)在本質(zhì)具有差異的問題。數(shù)學(xué)“形似神非”問題的教學(xué)價(jià)值有：突出概念內(nèi)涵本質(zhì);厘清運(yùn)算規(guī)則要求;感受性質(zhì)內(nèi)在差異;體驗(yàn)探究過程與方法。

關(guān)鍵詞：“形似神非”問題初中數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值遷移變式

“形似神非”問題，是指一組外在形式相似或相關(guān)，而內(nèi)在本質(zhì)具有差異的問題——可以看作一組遷移程度中等的變式問題。數(shù)學(xué)“形似神非”問題因與教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系緊密，與教學(xué)過程深度融合，蘊(yùn)含豐富的教學(xué)價(jià)值，具有整體思考、對(duì)比明顯、層次豐富的特點(diǎn)，可以幫助學(xué)生克服思維定式，完善數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)。下面，結(jié)合一些初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例，談?wù)剶?shù)學(xué)“形似神非”問題的教學(xué)價(jià)值。

一、突出概念內(nèi)涵本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。在初中階段，數(shù)學(xué)概念是教學(xué)的重難點(diǎn)。對(duì)于一些數(shù)學(xué)概念，教師可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的“形似神非”問題，引導(dǎo)學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過辨析思考，透過表面形式，抓住內(nèi)在本質(zhì)，從而準(zhǔn)確理解概念。

例如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《7.3 圖形的平移》一課，得出平移概念后，教師出示如下問題：

如下頁(yè)圖1，現(xiàn)有四組圖形，每組圖形中的第二個(gè)三角形可以通過第一個(gè)三角形平移得到嗎？為什么？

這里，每組圖形中的兩個(gè)三角形的形狀、大小均相同，但第二個(gè)三角形有的通過第一

個(gè)三角形翻折得到，有的通過旋轉(zhuǎn)得到，只有第三組是通過平移得到的。這樣的“形似神非”問題能使學(xué)生不斷地審視平移概念的內(nèi)涵，逐步理解其本質(zhì)屬性。

再如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)《6.1 函數(shù)》第一課時(shí)，得到函數(shù)概念后，教師出示如下問題：

（1）某校八年級(jí)5班有44個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生在班上有一個(gè)座位，那么座位是學(xué)生的函數(shù)嗎？為什么？

（2）如果實(shí)數(shù)x是y的絕對(duì)值，那么y是x的函數(shù)嗎？為什么？

（3）如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，其內(nèi)角和為W，那么W是n的函數(shù)嗎？為什么？

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，反映了變量與變量之間的相互依賴關(guān)系。這里設(shè)置的“形似神非”問題中都有兩個(gè)變量，變量與變量之間都存在某種關(guān)系。但若仔細(xì)對(duì)照函數(shù)概念，便可發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)栴}（1）中，學(xué)生和座位均不是數(shù)值;問題（2）中，對(duì)于正數(shù)x的每一個(gè)值，y都有兩個(gè)值和它對(duì)應(yīng);只有問題（3）中，W是n的函數(shù)。通過對(duì)這些問題的辨別探討，學(xué)生可以逐步加深對(duì)函數(shù)概念的理解。

又如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)《6.3 相似圖形》第一課時(shí)，在思維拓展階段，教師出示如下問題：

（1）依次連接一個(gè)直角三角形各邊的中點(diǎn)，得到的三角形與原三角形相似嗎？

（2）依次連接一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)，得到的四邊形與原矩形相似嗎？

問題（1）中，依次連接一個(gè)直角三角形各邊的中點(diǎn)，得到的三角形與原三角形相似。問題（2）中，矩形可以分割為兩個(gè)全等的直角三角形，那么依次連接一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)，得到的四邊形與原矩形是否相似？答案是否定的。因?yàn)橐来芜B接一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)，得到的四邊形是菱形，它的四條邊只與原矩形的對(duì)角線產(chǎn)生聯(lián)系。因此，從問題（1）到問題（2），不能簡(jiǎn)單地類比。這樣的“形似神非”問題，能夠幫助學(xué)生加深對(duì)相似多邊形概念的理解。

二、厘清運(yùn)算規(guī)則要求

初中數(shù)學(xué)包含許多運(yùn)算的擴(kuò)展，如從數(shù)的運(yùn)算到式的運(yùn)算、從解方程到解不等式等。每學(xué)一種運(yùn)算，都有一套新的運(yùn)算規(guī)則。設(shè)計(jì)“形似神非”問題，能夠幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)和掌握新的運(yùn)算規(guī)則，有效區(qū)別其與原有運(yùn)算規(guī)則的差異，防止負(fù)遷移的產(chǎn)生。

例如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《8.1 同底數(shù)冪的乘法》一課，得出同底數(shù)冪的乘法法則后，教師請(qǐng)學(xué)生辨析下列計(jì)算是否正確：

（1）x·x=x;

（2）a·a=2a;

（3）（-4）×（-4）=16;

（4）（a+b）·（a+b）=（a+b）。

其中的一些計(jì)算錯(cuò)誤在學(xué)生學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法時(shí)十分常見，因?yàn)樗鼧O易與四則運(yùn)算法則混淆。通過對(duì)這組“形似神非”問題的辨析，可以引導(dǎo)學(xué)生在糾錯(cuò)中不斷鞏固同底數(shù)冪的乘法法則，以便熟練掌握法則，有效防止出錯(cuò)。

再如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《12.3 二次根式的加減》第一課時(shí)，得到二次根式的加法法則后，教師請(qǐng)學(xué)生辨析下列計(jì)算是否正確：

（1）√3+√2=√5;

（2）√3-√2=√1;

（3）√8+√2=3√2;

（4）√12+√18=5√5。

二次根式的加減運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中的難點(diǎn)。通過設(shè)計(jì)“形似神非”問題，能將學(xué)生學(xué)習(xí)中的常見錯(cuò)誤及早呈現(xiàn)，幫助學(xué)生有效區(qū)分它與以往學(xué)過的運(yùn)算法則的異同，以便準(zhǔn)確掌握運(yùn)算法則。

三、感受性質(zhì)內(nèi)在差異

數(shù)學(xué)性質(zhì)源于相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，不同的性質(zhì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念之間不同的根本屬性，特別是對(duì)函數(shù)圖像、幾何圖形的性質(zhì)而言。設(shè)計(jì)“形似神非”問題，有助于學(xué)生感受這些性質(zhì)的內(nèi)在差異，更好地理解和掌握這些性質(zhì)。

例如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《11.2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)》第二課時(shí)，得到反比例函數(shù)的性質(zhì)后，教師出示如下問題：

下列說法是否正確？為什么？

（1）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=-6/x與y=2x-3，y均隨著x的增大而增大;

（2）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=6/x與y=-2x+3，y均隨著x的增大而減小。

這組“形似神非”問題，通過對(duì)反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像、性質(zhì)進(jìn)行比較，從而清晰地區(qū)分它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，以此加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖像、性質(zhì)的理解。

再如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《2.4 圓周角》第三課時(shí)，給出圓的內(nèi)接四邊形概念后，教師出示如下問題：

（1）三角形都有外接圓嗎？

（2）下列四邊形有外接圓嗎？如果有，請(qǐng)指出外接圓的圓心;如果沒有，請(qǐng)舉出反例。

①正方形;②矩形;③菱形;④平行四邊形;⑤任意四邊形。

（3）上述有外接圓的四邊形的對(duì)角存在什么關(guān)系？

這組“形似神非”問題，從三角形外接圓問題出發(fā)，繼而研究各種四邊形的外接圓問題。其中，正方形與矩形有外接圓，其他四邊形則不一定有。由此，為學(xué)生學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接四邊形知識(shí)提供了豐富的案例，也為學(xué)生區(qū)分圖形的性質(zhì)提供了直觀的素材。

四、體驗(yàn)探究過程與方法

有些“形似神非”問題是課堂探究的絕佳資源，這些問題能使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究具體而微的過程，同時(shí)感受從合情推理到邏輯推理、從特殊到一般等研究方法，體會(huì)分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法。

例如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第9章《乘法公式與因式分解》的“小結(jié)與思考”時(shí)，在思維拓展階段，教師出示如下問題：

如下頁(yè)圖2，已知A型、B型正方形紙片的邊長(zhǎng)分別是a、b，C型長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬分別是a、b。請(qǐng)用A、B、C型三種紙片各若干張，通過拼長(zhǎng)方形的方法將下列多項(xiàng)式因式分解。

（1）①a+3ab+2b;②a+6ab+5b;③a+9ab+8b。

（2）①a+ab-2b;②2a+ab-b。

這組“形似神非”問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作、探索、解決問題的過程，探究拼圖與因式分解的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行分析，通過合情推理、直覺猜想等思維方式，獲得拼長(zhǎng)方形的規(guī)律性認(rèn)識(shí)，感悟數(shù)量關(guān)系與圖形面積關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。其中，問題（1）的三個(gè)多項(xiàng)式可以通過直接拼長(zhǎng)方形的方法進(jìn)行因式分解，并且由此得出一般性規(guī)律，而問題（2）的兩個(gè)多項(xiàng)式則要通過圖形覆蓋拼出長(zhǎng)方形。這組“形似神非”問題可以豐富學(xué)生解決問題的思路方法。

再如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《2.5 直線與圓的位置關(guān)系》第四課時(shí)，教師出示如下問題：

如圖3，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°。

（1）當(dāng)CD=2 cm，AB=4 cm，BC=4 cm時(shí)，線段BC上是否存在點(diǎn)M，使∠AMD=90°？如果存在，求出線段CM的長(zhǎng);如果不存在，說明理由。

（2）設(shè)CD=p cm，AB=q cm，AD=r cm，那么當(dāng)p、q、r之間滿足什么關(guān)系時(shí)，直線BC上存在點(diǎn)M，使∠AMD=90°？

這組“形似神非”問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的一般方法：從特殊或簡(jiǎn)單的情形著手，將研究方法類比遷移到較為一般或復(fù)雜的問題中去;而對(duì)一般或復(fù)雜問題，又可分多種情況討論。就數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)而言，本例具有很高的教學(xué)價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 倪霞美，喻平.樣例學(xué)習(xí)的心理學(xué)研究及其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（6）.

[2] 張姝華，喻平.問題解決中遷移的心理學(xué)研究及其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（9）.