林俊

教學應該有的放矢，但是知易行難！如何使教學更具有針對性、實效性，真正做到因需而教，為困而導？這就要求教師要更多地走進學生內(nèi)心、了解真實學情，準確地知曉學生“現(xiàn)在在哪里”，從而為學生“到哪里”找到方向感，“如何到那里”設定線路圖。問卷調(diào)查是學情調(diào)研的一種方式，它雖然設計技術要求較高，量化統(tǒng)計也費時費力，但是對于教師專業(yè)成長非常有益，值得嘗試。

問卷設計時教師應該考慮不同類型的知識特點。就數(shù)學概念學習而言，概念名稱、概念例證、概念屬性和概念定義是概念分析的要素，是學生學習的主要內(nèi)容，也是問卷設計的重要維度。當然，由于學生認知水平的制約，對這些方面的考察，只能運用一些具體、形象的直觀素材，進而根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的量化分析，探明學生的數(shù)學現(xiàn)實和認知盲區(qū)，為調(diào)整既定的教學目標提供明確方向，為尋求有效的教學策略提供可靠依據(jù)?，F(xiàn)以“兩條直線的位置關系”教學為例，談談一些做法。

一、認識關系，從分類開始切入

【前測題目】

【前測分析】

平面內(nèi)兩條直線是否有一個公共點是區(qū)分相交和平行的依據(jù)，前測設計主要是探測學生對相交概念的認知程度。設計的前測題既有相交的一般情況，也有相交的特殊情況;既有相交的肯定例證，也有相交的否定例證。學生對每種圖形的選擇率如下表：

從表中可以看出，學生對相交的一般情況和特殊情況正確識別率分別高達88.1%，把平行誤認為相交的只有11.9%，可見，絕大多數(shù)學生對相交是熟悉的，說明教學設計從分類開始是有基礎的，是可行的。學生對看似沒有相交而延長后可以相交的一組直線的正確識別率只有4.8%，說明學生對相交還停留在望文生義的淺層理解階段。因而，教學設計時既需要對直線特征進行回憶、喚醒，又需要將看似沒有相交而延長后可以相交的一組直線延遲處理，制造認知沖突，使學生能夠根據(jù)已經(jīng)喚醒的直線特征和業(yè)已建構(gòu)的相交概念去想象和判斷。

【教學片段】

師：（出示一條直線）直線有什么特點？

生：直的，可以無限延長。

師：如果兩條直線（再出示另一條直線，并把它設置成陀螺旋轉(zhuǎn)狀，沿順時針方向一直不停地轉(zhuǎn)動），又能組成哪些圖形？組成的圖形又有什么特點呢？（稍等片刻）今天我們來研究兩條直線的位置關系（板書課題）。你能把它們分成兩類嗎？（出示右圖）為什么這樣分？

生：①④為一類，因為它們相交了;②③為一類，因為它們不相交。

生：①④相交于一點，形成了四個角。

師：像①④這樣，兩條直線有一個公共點，叫作這兩條直線相交，這個公共點叫作它們的交點。像②③這樣，在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行，其中一條直線是另一條直線的平行線。

師：這一組直線屬于哪一類？

生（意見不一致）：相交、平行。

師：明明沒有相交，你為什么說是相交？

生：直線可以延長，延長以后就相交了。（課件演示兩條直線延長后相交于一點）

【教學反思】

上述教學，從分類開始，建立“兩條直線的位置關系”這一上位概念，為下位的派生類屬學習“相交和平行”提供支撐，符合教育心理學中“漸進分化的原則”：“學習者在接觸一陌生的知識領域時，從已知的較一般的整體中分化細節(jié)，要比從已知的細節(jié)中概括整體容易一些。”

通過增加一條直線，將研究對象從一條直線自然引向兩條直線，同時把這一條直線設置成陀螺旋轉(zhuǎn)狀，使之沿順時針方向一直不停地轉(zhuǎn)動，動態(tài)旋轉(zhuǎn)中可以形成相交（含垂直）和平行的位置關系。這種與已知直線的不確定關系，又為學生思考教師提出的開放問題留下了較大的空間，為直觀想象素養(yǎng)的形成制造了契機。

通過對四組直線進行分類，使學生從整體上認識平面內(nèi)兩條直線的主要位置關系是相交和平行，而不是垂直和平行。然后又通過對一組看似沒有相交而延長后可以相交的一組直線的討論，深化了對直線特征的認識，豐富了相交直線的外延。

教學后，學生對相交概念掌握如何呢？下表是后測與前測的情況對比。

判斷一組直線是否相交前后測正確率對比

對已經(jīng)相交的兩條直線（包括一般情況和特殊情況）的識別，從前測的88.1%提高到后測的100%;對看似沒有相交而延長后可以相交的一組直線的識別，從前測的4.8%飆升到95.2%。而把平行誤認為相交的已經(jīng)從前測的11.9%降為0%?？梢?，教學效果十分明顯。

二、認識平行，從距離開始撬動

【前測題目】

【前測分析】

設計的前測題既有平行的標準圖形——橫向的，也有平行的變式圖形——縱向的、傾斜的;既有畫出的兩條直線看起來一樣長的，也有畫出的兩條直線看起來不一樣長的;既有平行的肯定例證，也有平行的否定例證。學生對每個圖形的選擇率如下表：

學生對平行線的識別率比較高，并且對平行的肯定例證識別率遠遠高于否定例證的誤認率。其中，對橫向的、縱向的平行線識別率遠遠高于傾斜的平行線，對畫出的兩條直線看起來一樣長的平行線識別率遠遠高于畫出的兩條直線看起來不一樣長的平行線。實踐證明，學生對平行概念的學習需要越過直觀可以感知的直線“長度”的迷障，進入感悟沒有痕跡、不易察覺的兩條直線間距離（即學生眼中的“寬度”）之境。

【教學片段】

師：為了便于敘述，我們把在同一個平面內(nèi)的兩條直線分別叫作直線a、直線b。直線a與直線b互相平行，既可以說直線a是直線b的平行線，也可以說——

生：直線b是直線a的平行線。

師：“直線a是直線b的平行線，直線b是直線a的平行線”合成一句話就是——

生（眾）：直線a與直線b互相平行。

師：（依次把一組平行線平移、旋轉(zhuǎn)、縮短兩條直線、拉開兩條直線間的距離）這兩條直線還互相平行嗎？

生（眾）：平行。

師：為什么這兩條直線始終互相平行？

生：因為它們延長后不會相交。

師：為什么兩條直線延長后也不會相交？（先出示兩組平行線，讓學生獨立思考，在學生百思不得其解之時，再覆蓋上方格圖）

生（恍然大悟，激動地指左邊）：這兩條平行線左邊、中間、右邊都一樣寬。

師：（邊比畫邊提問）這兩條平行線左邊相距幾格？中間、右邊呢？

生：都是相距兩格。

師：《墨子》中說：“平，同高也?！边@里的“平”指什么？“同高”又是什么意思？

生：“平”指平行，“同高”指高度相等。

師：你們太厲害了，和古人想得一樣?。ò岩粭l平行線向下平移一格）現(xiàn)在呢？

生：相距三格。

師：左邊這一組平行線可以看作是一條直線向下平移兩格、三格得到的。右邊這一組呢？

生：可以看作一條直線向右平移兩格得到的。

師：現(xiàn)在你知道兩條平行線延長后，為什么不會相交了嗎？

生：兩條平行線之間的寬度是一樣的。

生：一條直線平移以后與原來的直線平行。

【教學反思】

后測發(fā)現(xiàn)學生對平行的否定例證誤認率極低，只有1人認錯一個圖形。對平行的標準圖形和變式圖形，教學后測與前測正確識別率對比如下表。

判斷一組直線是否平行前后測正確率對比

后測學生對平行的標準圖形和變式圖形的識別率都非常高，說明學生對平行概念的認知已經(jīng)從外在的直觀表象進入到內(nèi)在的數(shù)學本質(zhì)，達到范·希爾夫婦提出的幾何思維水平2——描述、分析水平。顯然，教學中的變式、追問、辨析功不可沒！如果說教學中對平行線的變式（平移、旋轉(zhuǎn)、縮短、拉開等），只是觸及外在的形式，那么教師的追問“為什么兩條直線延長后也不會相交”則是擊中了概念的本質(zhì)。在學生憤悱之時，教師適時伸出援助之手，設置問題的背景圖（在平行線上覆蓋方格），提供思維的腳手架，為學生思維的放飛創(chuàng)造了條件、提供了可能。這樣，學生對平行的概念既可以理解為兩條直線之間的“寬度”一樣（即平行線之間的距離處處相等），又可以看作一條直線平移后形成的。如此教學，就把兩條直線永不相交的根源講清晰、講透徹、講全面、講深刻了。

三、認識垂直，從位置開始變化

【前測題目】

【前測分析】

與平行類似，設計的垂直前測題既有肯定例證，也有否定例證;既有標準圖形，也有變式圖形。其中，垂直的變式圖形多種多樣：按位置分，有水平放置的，有傾斜放置的;按形狀分，有十字形的，有倒T形的，有L形的。學生對每個圖形的選擇率如下表。

學生對垂直的肯定例證識別率按照十字形、倒T形、L形依次遞減。這對教學設計的啟示是學生對垂直的認知程度不高，遠遠低于對平行的認知。教學中要投入更多的時間，設計豐富的活動，逐步幫助學生理解垂直概念，特別是要通過標準圖形的變式幫助學生把握概念的內(nèi)涵。

【教學片段】

師：（出示下圖）這兩組直線都相交了，有什么不同？

生：右邊的兩條直線相交成直角了。

師：是嗎？怎么驗證？

生（眾）：是的，用三角尺上的直角去比一比。（課件演示）

師：（指右邊一組直線）兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫作垂足。

師：左邊一組直線的交點能稱為垂足嗎？

生：不能，因為這兩條直線不互相垂直。

生：它們沒有相交成直角。

師：直線a與直線b互相垂直，我們可以怎么說？

生（眾）：直線a是直線b的垂線，直線b是直線a的垂線。

師：這兩句話合成一句就是——

生（眾）：直線a與直線b互相垂直。

師：你能把一張正方形的紙折兩次，使兩條折痕互相垂直嗎？

學生活動后展示兩種典型的折法，對絕大多數(shù)人沒有想到的折法（沿對角線折）再集體操作一次。

師：（出示一組垂線，然后分別延長它的一條直線、縮短一條直線成T形，如下圖）這兩條直線還互相垂直嗎？

生（眾）：垂直。

師：（分開兩條直線）現(xiàn)在呢？

生（眾）：垂直。

師：（把兩條L形直線整體平移、旋轉(zhuǎn)）現(xiàn)在呢？

生（眾）：還互相垂直。

師：為什么它們始終互相垂直？

生（眾）：因為它們相交成直角。

師：（旋轉(zhuǎn)一條直線）現(xiàn)在這兩條直線還互相垂直嗎？

生（眾）：不互相垂直了，不成直角了。

【教學反思】

為了幫助學生更好地建構(gòu)垂直的概念，把握垂直的內(nèi)涵，教學時，教師可在對比中凸顯垂直的本質(zhì)屬性，在操作中外化垂直的本質(zhì)屬性，在變式中恒定垂直的本質(zhì)屬性，在辨析中運用垂直的本質(zhì)屬性。這樣做便于學生理解判斷兩條直線是否垂直的依據(jù)在于“兩條直線是否成直角”，而與兩條直線的長短、是否相交、擺放位置等非本質(zhì)屬性無關。對垂直的標準圖形和變式圖形，前測與后測正確識別率對比如下表。

判斷一組直線是否垂直前后測正確率對比

后測較之于前測，學生對垂直的各種肯定例證、變式圖形識別率均大幅度提高。同時，不難發(fā)現(xiàn)，水平放置（橫平豎直）的十字形、倒T形肯定例證識別率略高于傾斜放置的十字形、L形肯定例證識別率，說明位置是學生認識垂直概念的一個重要干擾因素。教學中抓住了這個要素，不斷變化其形態(tài)，效果非常明顯。

四、概念表征，從類型開始鑒別

【前測題目】

【前測分析】

根據(jù)圖形識別是概念再認的過程，根據(jù)要求作圖是概念表征的過程，兩者呈現(xiàn)不同的認知水平。概念再認答案是封閉的、唯一的，概念表征形式是開放的、多樣的。從學生不同形狀、不同類型的表征中，可以透視學生概念掌握的水平、洞察學生思維水平的層次。