王明冬，蓋 孟，賴舜男，王 震

面向球幕投影系統(tǒng)的幾何校正方法

王明冬1，蓋 孟2,3，賴舜男2,3，王 震4

(1. 北京大學(xué)深圳研究生院信息工程學(xué)院，廣東 深圳 518055；2.北京大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，北京 100871；3. 北京大學(xué)北京市虛擬仿真與可視化工程技術(shù)研究中心，北京 100871；4. 沈陽(yáng)理工大學(xué)，遼寧 沈陽(yáng) 110159)

用于飛行模擬的視景仿真系統(tǒng)，經(jīng)常會(huì)以多臺(tái)投影儀同步投影以得到較大范圍的視場(chǎng)角。當(dāng)投影機(jī)斜對(duì)屏幕或者投影屏幕為曲面時(shí)，圖像會(huì)發(fā)生幾何失真。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出了一種專門(mén)面向球幕投影系統(tǒng)的幾何校正方法，并以一個(gè)三通道顯示系統(tǒng)為實(shí)例，詳述了該方法的理論原理以及校正流程。實(shí)例結(jié)果表明，經(jīng)幾何校正后，各投影圖像無(wú)幾何畸變，通道過(guò)渡處幾何內(nèi)容完全一致。該方法是一種純軟件方法，成本小而且操作簡(jiǎn)單，能夠適應(yīng)于不同的投影場(chǎng)景。

球幕；幾何校正；飛行模擬器；多投影；OpenGL

隨著計(jì)算機(jī)顯卡繪制功能的快速發(fā)展，飛行模擬產(chǎn)業(yè)也開(kāi)始蓬勃發(fā)展，視覺(jué)模擬作為飛行模擬器的所有模擬環(huán)節(jié)中最貼近飛行員感官的一環(huán)，也越來(lái)越受到行業(yè)內(nèi)的重視，在整個(gè)系統(tǒng)研發(fā)中所占據(jù)的比重也越來(lái)越大。

為了彌補(bǔ)單個(gè)投影機(jī)視場(chǎng)角不足的限制，一般都會(huì)利用多臺(tái)投影儀進(jìn)行聯(lián)合同步投影[1-2]，將投影圖像進(jìn)行拼接，在邏輯上可形成一個(gè)全景圖。投影屏幕的形狀多以柱面和球面常見(jiàn)，具有光路設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、成本適中、視場(chǎng)角寬闊等優(yōu)點(diǎn)，在戰(zhàn)斗機(jī)、直升機(jī)等飛行模擬器中經(jīng)常用到[3-7]。相對(duì)于柱面、球面在垂直視場(chǎng)方向能夠帶給人更平滑的視覺(jué)過(guò)渡，因此，在垂直視場(chǎng)角較大的情況下，一般都會(huì)選擇球形的投影平面。

一般的投影機(jī)都帶有梯形校正功能，可以校正因?yàn)橥队皺C(jī)斜對(duì)屏幕導(dǎo)致的透視形變。但當(dāng)屏幕是曲面時(shí)，大多數(shù)投影機(jī)都無(wú)法正確處理，此時(shí)就需要使用其他方法對(duì)投影畫(huà)面進(jìn)行幾何校正[8]。

目前，軟件幾何校正方法主要有RASKAR等[9]提出的矩陣映射方法，及多項(xiàng)式函數(shù)校正方法[10]等，其均通過(guò)相機(jī)采集反饋圖像，并在二維平面內(nèi)進(jìn)行矩陣映射或多項(xiàng)式插值計(jì)算實(shí)現(xiàn)幾何校正，使用不夠靈活方便，計(jì)算量相對(duì)較大。

鑒于上述情況，本文以某飛行模擬器視景仿真系統(tǒng)為實(shí)例，提出了一種針對(duì)球形投影幕的軟件幾何校正方法，并詳細(xì)描述了其流程和原理。該方法不需要增加額外的硬件設(shè)備，成本低、粒度小，可以作為視景系統(tǒng)的一個(gè)內(nèi)部子系統(tǒng)進(jìn)行嵌入且不影響繪制效率。同時(shí)，該方法可擴(kuò)展性高，對(duì)于規(guī)則二次曲面，可通過(guò)細(xì)微的改動(dòng)達(dá)到校正的效果。

圖1為實(shí)例系統(tǒng)的整體架構(gòu)，系統(tǒng)包括了一個(gè)主系統(tǒng)和多個(gè)從系統(tǒng)(圖中只展示了2個(gè))。通信子系統(tǒng)負(fù)責(zé)與主控對(duì)接，將主控傳來(lái)的信號(hào)翻譯并發(fā)送給多機(jī)同步子系統(tǒng)，多機(jī)同步子系統(tǒng)負(fù)責(zé)各個(gè)通道之間的繪制同步，在每幀開(kāi)始時(shí)，分發(fā)來(lái)自通信子系統(tǒng)的繪制信號(hào)，結(jié)束時(shí)，發(fā)送圖像刷新指令，所有機(jī)器同時(shí)將圖像送往投影機(jī)進(jìn)行投影[11]。曲面校正子系統(tǒng)負(fù)責(zé)對(duì)繪制子系統(tǒng)生成的圖像進(jìn)行扭曲處理，該扭曲處理使得圖像經(jīng)過(guò)投影儀投射到球面上剛好形成正常透視的圖像。融合子系統(tǒng)負(fù)責(zé)對(duì)各個(gè)投影機(jī)投影的重合部分的亮度進(jìn)行由明到暗的過(guò)渡處理，使整個(gè)視景在融合區(qū)域平滑過(guò)渡。

圖1 視景系統(tǒng)整體架構(gòu)[12]

曲面校正方法的流程如下：

(1) 給投影平面建立參數(shù)化表達(dá)，并以參數(shù)為度量，劃分每臺(tái)投影儀的投影范圍及融合區(qū)域。

(2) 利用交互式程序，對(duì)輸入圖像和球面上投影點(diǎn)的映射關(guān)系進(jìn)行擬合。

(3) 針對(duì)每臺(tái)投影儀的投影范圍，計(jì)算對(duì)應(yīng)視景通道的視錐參數(shù)。

(4) 確定曲面校正子系統(tǒng)中的扭曲處理算法。

1 投影區(qū)域的參數(shù)化表達(dá)

在計(jì)算機(jī)上存儲(chǔ)一個(gè)球面是相當(dāng)困難的，若將球面離散成一些小片也是相當(dāng)復(fù)雜的。因此，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域，一般采用球面經(jīng)緯映射圖像的方法描述一個(gè)球面，也就是將球面上的點(diǎn)按照經(jīng)緯度映射到一個(gè)矩形紋理上，經(jīng)度()映射成矩陣的水平坐標(biāo)，緯度()映射成垂直坐標(biāo)。但是該映射會(huì)產(chǎn)生水平方向的拉伸問(wèn)題，赤道上的比例是正常的，越靠近兩極，拉伸越嚴(yán)重，在極點(diǎn)處一個(gè)點(diǎn)變成了一條線。在大多數(shù)情況下，經(jīng)緯度映射還是相當(dāng)好用的。

事實(shí)上，常見(jiàn)的矩形地圖就是經(jīng)緯度映射圖像。當(dāng)映射整個(gè)球面時(shí)，由于球面的經(jīng)度范圍比緯度范圍多一倍，將得到一個(gè)長(zhǎng)寬比為2∶1的矩陣。圖2展示了球面上的點(diǎn)和在經(jīng)緯映射平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系。

在實(shí)例系統(tǒng)中，投影平面是一個(gè)半徑為3 m，經(jīng)度跨幅約230°，緯度范圍從約–30°~+30°的球帶。由3臺(tái)投影儀排成一行進(jìn)行投影，中間的投影通道為主視景系統(tǒng)，兩側(cè)為從視景系統(tǒng)。飛行員的眼點(diǎn)位置處于球心處。以飛行員眼點(diǎn)位置為原點(diǎn)，右手方向?yàn)檩S正方向，豎直向上為軸正方向建立飛行員觀察坐標(biāo)系eye–。不失一般性，記球心在觀察坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(center,center,center)，顯然，飛行員眼點(diǎn)不可能出現(xiàn)在球外，因此必然有

圖2 經(jīng)緯度映射示意圖

參考觀察坐標(biāo)系，建立球面的經(jīng)緯度坐標(biāo)，球面上點(diǎn)到觀察坐標(biāo)系的變換關(guān)系為

依據(jù)每臺(tái)投影儀的投影范圍上限，將其裁減為經(jīng)緯度坐標(biāo)系下的矩形。裁剪后，3臺(tái)投影儀投影緯度范圍為–30°~30°，從右向左3臺(tái)投影儀投影的經(jīng)度范圍依次為[–115°, –35°]、[–50°, 50°]、[33°, 113°] (投影儀自右向左，投影范圍自左向右)。

2 投影儀投射關(guān)系的擬合

為找到并記錄輸入圖像到投影曲面之間的映射關(guān)系，使用參考文獻(xiàn)[13]的方法，用貝塞爾曲面擬合其逆映射，即為投影曲面到輸入圖像的變換關(guān)系[13]。

×次的二維貝塞爾曲面的表達(dá)形式為[14]

其中，K,j為曲面的控制點(diǎn)；B,m()和B,n()是混合函數(shù)伯恩斯坦多項(xiàng)式，即

將(,)當(dāng)作投影曲面參數(shù)歸一化后的坐標(biāo)，(,)當(dāng)作輸入圖像的坐標(biāo)，式構(gòu)成了從投影曲面向輸入圖像空間的映射。

需尋找到(+1)×(+1)個(gè)控制點(diǎn)，使得由此生成的貝塞爾曲面與投影曲面基本吻合即可。實(shí)踐表明，在大多數(shù)情況下，對(duì)于球面投影拼屏幕，取4×4階貝塞爾曲面就能夠得到較佳的結(jié)果>[13]。利用交互式程序可完成該過(guò)程：

(1) 將球面參數(shù)和歸一化到[0,1]范圍，變?yōu)楹?。隨后對(duì)和分別進(jìn)行和等分，加上端點(diǎn)總共能夠得到(+1)×(+1)個(gè)不重復(fù)的目標(biāo)點(diǎn)(u,v)(0≤≤,0≤≤)。

(2) 利用交互式程序調(diào)整上一步得到的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的(u,v)的位置，使得(u,v)正好投射在參數(shù)(u,v)所對(duì)應(yīng)的球面位置，同時(shí)利用式實(shí)時(shí)反解K,j的值，重構(gòu)整個(gè)曲面；此時(shí)發(fā)現(xiàn)，生成的曲面已經(jīng)與投影幕的參數(shù)曲面足夠吻合。

圖3為實(shí)例系統(tǒng)的中間通道的擬合結(jié)果以及兩邊通道的部分結(jié)果，顏色較深的部分為重合區(qū)域。取4×4階貝塞爾曲面，每臺(tái)投影機(jī)輸出的曲面60等分，第0，15，30，45，60個(gè)等分格處為選中的用來(lái)重構(gòu)曲面的關(guān)鍵點(diǎn)。圖4為中間通道的貝塞爾曲面在輸入圖像空間的呈現(xiàn)。至此，已經(jīng)得到了表示投影曲面到輸入圖像之間變換關(guān)系的貝塞爾曲面，只需簡(jiǎn)單地用(,)作為頂點(diǎn)位置，(,)作為輸出數(shù)據(jù)，創(chuàng)建且光柵化貝塞爾曲面的細(xì)分網(wǎng)格，得到的圖像記錄了從輸入圖像到投影曲面的映射關(guān)系。

圖3 擬合結(jié)果

圖4 中間曲面在圖像空間的展示

3 視錐參數(shù)的計(jì)算

計(jì)算各個(gè)通道的視錐參數(shù)，使視景的繪制子系統(tǒng)利用此視錐參數(shù)以及多機(jī)同步子系統(tǒng)發(fā)送的相關(guān)參數(shù)，計(jì)算觀察矩陣以及透視投影矩陣，進(jìn)行場(chǎng)景的繪制。

若某個(gè)通道的投影范圍為[,]× [,]，要計(jì)算視錐參數(shù)，需要首先確定攝像機(jī)觀察坐標(biāo)系O–。

在OpenGL中，一般用攝像機(jī)位置、上方向以及觀察方向3個(gè)向量來(lái)確定觀察坐標(biāo)系，并依次考慮其設(shè)置。除特殊情況，均應(yīng)該將攝像機(jī)位置與飛行員觀察坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。任何經(jīng)過(guò)攝像機(jī)的直線，在飛行員眼中均可投影成一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于圖像的像素點(diǎn)，在進(jìn)行幾何校正時(shí)，可不考慮該點(diǎn)的深度信息，因?yàn)槠渖疃炔粫?huì)影響人眼中的成像位置。

在實(shí)例系統(tǒng)中，這種緯度范圍離兩極球帶較遠(yuǎn)，可以簡(jiǎn)單地讓上方向和飛行員觀察坐標(biāo)系的軸重合。其好處是做透視投影時(shí)，經(jīng)度線會(huì)投射成一條平行于軸的直線，計(jì)算視錐時(shí)會(huì)較方便。

接下來(lái)需考慮觀察方向的設(shè)置，觀察方向是垂直于上方向的，因此必然是水平的。生活中人們知道，正視一個(gè)物體時(shí)，看的最清晰。因此，想要得到一個(gè)好的透視投影效果，觀察方向應(yīng)該垂直于觀察平面，但是對(duì)于球面，很難定義其垂線方向。一般情況，可將其設(shè)置為一個(gè)變量，定義域?yàn)閺挠^察坐標(biāo)系原點(diǎn)出發(fā)，所有與投影范圍相交射線的方向。用戶通過(guò)調(diào)節(jié)其值，得到最好的投影效果。

實(shí)際上，對(duì)于某些在垂直視場(chǎng)方向要求比較高，甚至投影區(qū)域包含了北極點(diǎn)的情況，幾何校正系統(tǒng)可規(guī)定攝像機(jī)觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)，上向量和觀察向量均作為參數(shù)，交給用戶去調(diào)節(jié)?？紤]到攝像機(jī)觀察坐標(biāo)系原點(diǎn)和飛行員眼點(diǎn)是重合的，而且同是右手空間直角坐標(biāo)系，可用歐拉角中的和作為參數(shù)，用戶可對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié)。攝像機(jī)觀察坐標(biāo)系是通過(guò)飛行員觀察坐標(biāo)系做相應(yīng)的歐拉旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)的。記飛行員觀察坐標(biāo)系到攝像機(jī)觀察坐標(biāo)系的變換矩陣為，則坐標(biāo)變換關(guān)系為

對(duì)于實(shí)例系統(tǒng)，因?yàn)轱w行員眼點(diǎn)處于球心，可簡(jiǎn)單的將飛行員觀察坐標(biāo)系繞沿自身軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(+)/2.0，變?yōu)樵撏ǖ赖男碌挠^察坐標(biāo)系。

從兩方面考慮視錐的設(shè)置：①為了保證投影區(qū)域內(nèi)的顏色均有意義，該通道在球幕上的投影范圍必須都在視錐的裁剪范圍之內(nèi)；②對(duì)于無(wú)效像素點(diǎn)的繪制，會(huì)造成計(jì)算機(jī)資源的浪費(fèi)。理想情況下，該通道的視錐和球幕投影區(qū)域在近裁剪面上的投影應(yīng)該是重合的，但實(shí)際上，經(jīng)緯度參數(shù)下的矩形區(qū)域投射到空間直角坐標(biāo)系，并不會(huì)是一個(gè)矩形，所以二者不可能完全重合。只能選取球幕在近裁面的投射區(qū)域的外接矩形，作為視錐范圍?？梢酝ㄟ^(guò)式和式將球面的經(jīng)緯度坐標(biāo)點(diǎn)變換為攝像機(jī)坐標(biāo)系，將定義域限定為投影范圍，求出對(duì)應(yīng)值域的范圍即得到了視錐范圍。

圖5為正前方半球的經(jīng)緯網(wǎng)在近裁剪平面上的透視投影，可以很清晰地看出，在近平面上，經(jīng)線會(huì)投射成一條平行于軸的直線，緯線中赤道會(huì)投影為一條平行于軸的直線，其余的緯線中心向赤道凹曲。

圖5 經(jīng)緯網(wǎng)的透視投影

在OpenGL中，一般會(huì)用，，，，，6個(gè)參數(shù)來(lái)確定透視投影矩陣。其中，和為近裁剪面和遠(yuǎn)裁剪面與視點(diǎn)的距離，，，，為視錐在近裁剪平面上的投影。由6個(gè)參數(shù)，確定了視錐的6個(gè)裁剪平面，相對(duì)于幾何校正而言，只需要關(guān)注左右下上4個(gè)裁剪平面即可，而期只和，，，與的比值有關(guān)，因此只需要計(jì)算該4個(gè)比值即可?？蓪?個(gè)比值記為，，，，即

根據(jù)和的正負(fù)性，簡(jiǎn)單的分為3種情況：

(1) 當(dāng)0≤<時(shí)

(2) 當(dāng)<0≤時(shí)

(3) 當(dāng)<<0時(shí)

4 扭曲處理算法

對(duì)繪制子系統(tǒng)生成的圖像進(jìn)行扭曲處理，使其經(jīng)過(guò)攝影儀投射到球幕上，顯示出正確的結(jié)果。

如圖6所示，為球幕上的一個(gè)點(diǎn)，投影儀會(huì)將輸入圖像的點(diǎn)投影到處，而在正常情況下，飛行員在點(diǎn)看到的應(yīng)該是近裁剪平面上點(diǎn)的圖像。因此，只需將近裁剪平面上點(diǎn)的像素顏色賦于輸入圖像所在的位置。這樣，經(jīng)投影儀投影后，飛行員即可在點(diǎn)看到正確的結(jié)果。

圖6 扭曲處理示意圖

對(duì)于輸出圖像的每一個(gè)像素，通過(guò)在第2節(jié)擬合的投影儀映射關(guān)系，很容易判斷出該像素是否會(huì)被投射到限定的投影區(qū)域。若否，直接將該點(diǎn)的亮度設(shè)為0，繼續(xù)處理下一個(gè)像素，反之，能夠獲得投影點(diǎn)的歸一化參數(shù)坐標(biāo)值，對(duì)其進(jìn)行歸一化的逆操作，便得到該點(diǎn)在球幕的投影點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)(,)。利用式和式，將其變換到觀察坐標(biāo)系，再通過(guò)第3節(jié)得到的透視投影矩陣以及齊次變換，即可得到應(yīng)該被扭曲到點(diǎn)的像素點(diǎn)的紋理坐標(biāo)。

對(duì)于實(shí)例系統(tǒng)，將視錐參數(shù)，代入式，便可得到

將輸出圖像由投影儀進(jìn)行投影，即可得到正確的圖案。圖7為不做幾何校正前的視景圖像，圖8和圖9為校正后的視景圖像。

圖7和圖8是相同視角下的2張圖，通過(guò)對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)圖7中，2臺(tái)投影儀的過(guò)渡處幾何內(nèi)容未完全匹配；圖8則沒(méi)有這種現(xiàn)象。圖9在整體上對(duì)幾何校正的結(jié)果進(jìn)行了一次展示，可以看出，3個(gè)通道的視景圖像均已解決了幾何畸變的問(wèn)題，在相鄰?fù)ǖ赖倪^(guò)渡處，圖片的幾何內(nèi)容完全重合。

圖8 幾何校正后的視景1

圖9 幾何校正后的視景2

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)面向球形投影幕的飛行模擬器視景仿真系統(tǒng)，提出了一種簡(jiǎn)單、靈活、高效的軟件幾何校正方法。對(duì)比其他的軟件幾何校正方法[8-10]，有以下主要優(yōu)點(diǎn)：

(1) 校正無(wú)需相機(jī)的采集反饋，工作量小。本文所述的幾何校正方法只需一次校正預(yù)處理，無(wú)需相機(jī)的圖像采集反饋就能實(shí)現(xiàn)幾何校正。對(duì)比于矩陣映射以及多項(xiàng)式插值的校正算法，計(jì)算復(fù)雜度可以忽略不計(jì)，實(shí)時(shí)性高。

(2) 校正方法靈活，適用性強(qiáng)。該幾何校正方法不關(guān)注投影儀是否正投，且只需簡(jiǎn)單地改變投影幕參數(shù)化表達(dá)方法，就可以適用于其他的二次規(guī)則曲面，適用性強(qiáng)、易于推廣。

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Geometry Correction Method for Projection onto Spheres

WANG Ming-dong1, GAI Meng2,3, LAI Shun-nan2,3, WANG Zhen4

(1. School of Electronic and Computer Engineering, Peking University Shenzhen Graduate School, Peking University, Shenzhen Guangdong 518055, China; 2. School of Electronics Engineering and Computer Science, Peking University, Beijing 100871, China; 3. Beijing Engineering Technology Research Center of Virtual Simulation and Visualization, Peking University, Beijing 100871, China; 4. Shenyang Ligong University, Shenyang Liaoning 110159, China)

A visual simulation system for flight simulation often uses multiple projectors to simultaneously project a surface to obtain a wider range of viewing angles. When the projector is tilted to the screen or the projection screen is a curved surface, the image is geometrically distorted. Aiming at this problem, this paper proposes a geometric correction method for the dome projection system. Taking a three-channel display system as an example, the present study describes the theoretical principle and correction process of the method in detail. The example results show that after geometric correction, each projection image has no geometric distortion, and the geometrical content of the channel transition is completely consistent. The method is a pure software method, which is small in cost and simple in operation, and can be adapted to different projection scenarios.

sphere; geometry correction; flight simulator; multiple projections; OpenGL

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2019040631

A

2095-302X(2019)04-0631-06

2019-03-26；

定稿日期：2019-04-11

國(guó)家自然基金重點(diǎn)項(xiàng)目(61632003)；國(guó)家自然基金面上項(xiàng)目(61872398)；裝備預(yù)研基金項(xiàng)目(315050501)；國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃課題(2017YFB1002601)

王明冬(1994-)，男，甘肅白銀人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)。E-mail：wmd@pku.edu.cn

賴舜男(1965-)，女，重慶人，工程師，碩士。主要研究方向?yàn)樘摂M仿真。E-mail：snlai@pku.edu.cn