范宜仁，胡旭飛，鄧少貴，袁習(xí)勇，李海濤

（1.中國石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580；2.深層油氣地質(zhì)與勘探教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266580；3.海洋國家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評價(jià)與探測功能實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266071；4.中國石油大學(xué)CNPC測井重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266580；5.中國石油大學(xué)（北京）克拉瑪依校區(qū)石油學(xué)院，新疆克拉瑪依 834000）

1 問題提出

隨鉆電磁波電阻率測井?dāng)?shù)據(jù)能夠用于流體識(shí)別和流體飽和度計(jì)算等儲(chǔ)集層評價(jià)研究。為了實(shí)現(xiàn)快速反演，實(shí)時(shí)獲取地層的真實(shí)地層參數(shù)，通常需要將復(fù)雜井眼和地層環(huán)境（三維問題）簡化為一系列一維（1D）地層模型[1-5]，這種方法在隨鉆測井中是可行的，原因主要有兩點(diǎn)：①隨鉆測井過程中，井眼及鉆井液侵入影響較小，可以忽略；②測井尺度下，復(fù)雜的井眼軌跡可通過逐步開窗的方式進(jìn)行約束，簡化為一系列形狀單一的井眼軌跡（即一系列1D地層模型）。傳統(tǒng)的1D快速隨鉆電磁波數(shù)值模擬主要基于含垂直對稱軸的橫向各向同性（VTI）地層模型。低能沉積環(huán)境條件下，如深海和深湖中沉積形成的地層，可呈現(xiàn)出標(biāo)準(zhǔn)的VTI介質(zhì)特征（見圖1a），VTI介質(zhì)屬于單軸各向異性介質(zhì)的特例，表現(xiàn)為任意水平方向上，介質(zhì)具有相同電阻率Rh；垂直方向上，介質(zhì)具有不同的電阻率Rv，一般情況下Rh≤Rv。該類介質(zhì)的電磁場計(jì)算研究較為深入，可通過引入赫茲位函數(shù)，將電磁場波動(dòng)方程簡化為兩個(gè)互相不耦合的標(biāo)量波動(dòng)方程，最終得到的電磁場表達(dá)式為含0階和1階Bessel函數(shù)的一重積分[5-7]。

圖1 不同沉積環(huán)境下的地層特征

隨著石油勘探開發(fā)的不斷深入，各種復(fù)雜地層情況下的油氣藏成為研究重點(diǎn)，這使得VTI地層模型應(yīng)用受到一定限制，并非所有的地層都能簡化為VTI模型。高能沉積環(huán)境（河流和沙漠環(huán)境）條件下形成的地層，常見傾斜層理（見圖1b），此時(shí)的地層為含傾斜對稱軸的橫向各向同性（TTI）地層，具體表現(xiàn)為：沿層理方向電阻率相同，垂直層理方向的電阻率不同，如果仍然將其簡化為VTI地層模型，則反演得到的電阻率等參數(shù)就不再可靠，若將其用于定性評價(jià)和定量計(jì)算，則解釋的符合率會(huì)下降。明確TTI介質(zhì)條件下的電磁波類測井響應(yīng)特征，能夠更加全面有效地進(jìn)行測井定性及定量評價(jià)。

基于TTI介質(zhì)的電磁場理論和計(jì)算均較復(fù)雜，目前國內(nèi)在這方面未見相關(guān)文獻(xiàn)，斯倫貝謝Anderson等人[8-9]簡單討論了由傾斜層理引起的地層各向異性的感應(yīng)測井響應(yīng)特征；Wang等人[10-12]給出了傾斜層理引起的地層各向異性的多分量感應(yīng)測井正反演數(shù)值模擬算法，并討論分析了不同的傾斜層理情況下多分量感應(yīng)測井的響應(yīng)特征。Anderson和Wang等人均指出[8-12]，傾斜層理對測井響應(yīng)特征的影響不容忽視，尤其在實(shí)際資料運(yùn)用中，要考慮實(shí)際地層條件，建立合適的地層模型。筆者首先從矢量格林函數(shù)出發(fā)，采用各向異性角和各向異性方位表征含傾斜層理TTI介質(zhì)的各向異性特性，推導(dǎo)出TTI介質(zhì)的電磁場求解方法；然后采用數(shù)值模擬方法，以半空間介質(zhì)為例，分析VTI介質(zhì)和TTI介質(zhì)的電磁波反射和透射特征，指出了傳統(tǒng)的赫茲位函數(shù)方法以及廣義反射系數(shù)等方法的局限性，并驗(yàn)證了算法的可靠性，得到不同井斜、各向異性角和各向異性方位情況下的隨鉆電磁波響應(yīng)特征。

2 TTI地層正演數(shù)值模擬

2.1 基于并矢格林函數(shù)的各向異性介質(zhì)電磁場

無限厚各向異性介質(zhì)中，電場的波動(dòng)方程可以表示為：

VTI介質(zhì)中，各向異性地層的電導(dǎo)率張量可表示為：

TTI介質(zhì)中，可定義各向異性角Ψ和各向異性方位χ表征其各向異性特性（見圖2），則TTI介質(zhì)中電導(dǎo)率張量可表述為：

圖2 單軸各向異性地層電導(dǎo)率張量旋轉(zhuǎn)示意圖

利用傅里葉變換，空間域電場表達(dá)式為：

（4）式可進(jìn)一步改寫為：

其中

行列式|W|是如下關(guān)于kz的一個(gè)4階多項(xiàng)式：

式中a，b，c，d，e為關(guān)于kx，ky的表達(dá)式，進(jìn)一步可表示為：

當(dāng)|W|=0時(shí)，kz存在4個(gè)解，表示兩種類型的波，為Ⅰ型波和Ⅱ型波向上的z方向的波數(shù)，為Ⅰ型波和Ⅱ型波向下的z方向的波數(shù)[13-14]。

將（7）式代入（5）式得：

式中R=r-r′，dk=dkxdkydkz。

利用留數(shù)定理，當(dāng)接收線圈位置z在源位置z′的上方時(shí)，則電場E(R)為：

其中：

當(dāng)接收線圈位置z在源位置z'的下方時(shí)，電場E(R)為：

其中：

N層介質(zhì)中，設(shè)信號(hào)源在第S層，接收線圈在第L層，接收線圈位置電場為：

δLS為Kronecker delta函數(shù)，當(dāng)L=S時(shí)，δLS=1；當(dāng)L≠S時(shí)，δLS=0；Ed（R）為直達(dá)場，Es（R）為散射場（包括反射和透射場）。因此，只要推導(dǎo)出直達(dá)場和散射場，就可以得到各層介質(zhì)中的電場。相應(yīng)的磁場分量可以通過如下表達(dá)式，由電場分量獲?。?/p>

多層TTI介質(zhì)中的電磁場推導(dǎo)可參考Wang等人文獻(xiàn)[10-12]，限于篇幅，本文不再詳述。

2.2 傳統(tǒng)隨鉆電磁波電阻率測井原理

基于上節(jié)推導(dǎo)可得到TTI介質(zhì)中接收線圈處的電磁場，進(jìn)而計(jì)算得到接收線圈的電動(dòng)勢。以傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井的單發(fā)雙收線圈結(jié)構(gòu)為例，設(shè)兩個(gè)接收線圈處的電動(dòng)勢分別為V1和V2，則幅度比EATT和相位差Δφ定義如下：

利用相位差和幅度比的刻度圖版即可將相位差和幅度比轉(zhuǎn)換為幅度比電阻率Rad和相位差電阻率Rps。

3 算法驗(yàn)證及半空間反射和透射分析

首先利用相位差和幅度比電阻率的刻度圖版來驗(yàn)證算法的正確性，圖3為傳統(tǒng)隨鉆電磁波頻率為2 MHz、發(fā)射線圈到儀器記錄點(diǎn)距離為40.64 cm（16英寸）的相位差電阻率和幅度比電阻率刻度圖版，可見基于并矢格林函數(shù)的解析方法得到的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)的利用Hertz位函數(shù)的解析方法得到的計(jì)算結(jié)果完全吻合。其次，采用兩個(gè)5層地層模型進(jìn)行驗(yàn)證（井斜分別為0和30°，層厚均為2.0 m，電阻率參數(shù)見表1），如圖4a和4b所示，可以看到，本文提出的算法在多層介質(zhì)中同樣適用。

為研究不同介質(zhì)界面處的電磁波反射和透射特征，筆者給出半空間的反射和透射系數(shù)。圖5為不同情況下的半空間介質(zhì)模型，表2為對應(yīng)不同半空間介質(zhì)模型下的參數(shù)。σ1u和σ2u表示上層電導(dǎo)率，σ1d和σ2d表示下層電導(dǎo)率。上層地層如為各向同性地層，則σ1u=σ2u；如為各向異性地層，則σ1u≠σ2u，下層地層類似。

各向同性地層和VTI地層中，Ψ=0，χ=0；TTI地層中，Ψ≠0，限于篇幅，設(shè)定χ等于0（當(dāng)χ≠0時(shí)，反射和透射情況相同，此處不再詳述）。圖6為對應(yīng)不同模型界面處的Fresnel反射和透射系數(shù)隨入射角的變化情況。Ri,j和Ti,j分別表示Fresnel反射和透射系數(shù)，i和j為電磁波類型（Ⅰ型或Ⅱ型波）。從圖6a到圖6c可以看到，當(dāng)界面兩側(cè)的介質(zhì)為各向同性或VTI介質(zhì)時(shí)，即Ψ=0，χ=0的情況下，RⅠ,Ⅱ=RⅡ,Ⅰ=TⅠ,Ⅱ=TⅡ,Ⅰ=0，僅存在RⅠ,Ⅰ，RⅡ,Ⅱ，TⅠ,Ⅰ和TⅡ,Ⅱ，說明不存在交叉反射波和透射波，即當(dāng)入射波為Ⅰ型時(shí)，會(huì)產(chǎn)生反射Ⅰ型和透射Ⅰ型波；當(dāng)入射波為Ⅱ型時(shí)，情況類似。因此，界面兩側(cè)為各向同性或VTI介質(zhì)時(shí)，Ⅰ型波和Ⅱ型波在界面處的反射和透射不耦合，可以分別考慮及單獨(dú)計(jì)算Ⅰ型波和Ⅱ型波（也稱為TE波即橫電波和TM波即橫磁波）的電磁場，這就是傳統(tǒng)基于VTI介質(zhì)計(jì)算TE波和TM波電磁場的理論基礎(chǔ)。從圖6d到6f可以看出，當(dāng)界面一側(cè)存在TTI地層時(shí)，各個(gè)交叉分量（RⅠ,Ⅱ，RⅡ,Ⅰ，TⅠ,Ⅱ，TⅡ,Ⅰ）均不再為0，說明經(jīng)過反射和透射后，Ⅰ型波和Ⅱ型波耦合，其電磁場為兩種類型波的耦合場，此時(shí)傳統(tǒng)基于VTI介質(zhì)的電磁場計(jì)算方法已不再適用，可以用本文提出的基于并矢格林函數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算。

圖3 幅度比和相位差刻度圖版驗(yàn)證

表1 兩個(gè)5層地層模型的電阻率參數(shù)

圖4 5層地層模型算法驗(yàn)證（模型1和模型2）

圖5 不同半空間介質(zhì)模型

表2 不同半空間介質(zhì)模型地層參數(shù)

圖6 不同半空間介質(zhì)界面處的Fresnel系數(shù)

4 數(shù)值算例

設(shè)各向異性地層為無限厚，一個(gè)方向的電阻率R1=2.0 ?·m，另一個(gè)方向的電阻率R2=20.0 ?·m，以傳統(tǒng)隨鉆電磁波頻率為2 MHz、發(fā)射線圈到儀器記錄點(diǎn)距離為40.64 cm（16英寸）的相位差為例，分析其受各向異性角和各向異性方位影響。圖7為傳統(tǒng)隨鉆電磁波相位差隨井斜角θ的變化情況，當(dāng)ψ=0時(shí)，相位差隨井斜角θ增大呈單調(diào)遞減趨勢，各向異性方位χ對相位差隨井斜角θ的變化沒有影響；當(dāng)ψ≠0時(shí)，如果χ=0，則存在一個(gè)臨界井斜角θc=90-ψ，即當(dāng)ψ分別為30°、45°和60°時(shí)，θc分別為60°、45°和30°（見圖7a）。當(dāng)井斜角θ≤θc時(shí)，隨著井斜角的增大，相位差遞減；當(dāng)θ＞θc時(shí)，隨著井斜角的增大，相位差增大。如果χ≠0，仍存在臨界井斜角θc，規(guī)律與圖7a所示相同（見圖7b），但θc≠90-ψ。

圖7 相位差隨井斜角θ的變化

圖8為傳統(tǒng)隨鉆電磁波相位差隨各向異性角ψ的變化。首先可以看到，當(dāng)θ=0時(shí)，相位差隨ψ增大呈單調(diào)遞減趨勢，χ對相位差隨ψ的變化沒有影響；當(dāng)θ≠0，若χ=0，則存在一個(gè)臨界各向異性角ψc=90-θ，即當(dāng)θ分別為30°、45°和60°時(shí)，ψc分別為60°、45°和30°（見圖8a），當(dāng)ψ≤ψc時(shí)，隨著各向異性角的增大，相位差遞減；當(dāng)ψ＞ψc時(shí)，隨著各向異性角的增大，相位差增大。如果χ≠0，仍存在臨界各向異性角ψc（見圖8b），變化規(guī)律與圖8a所示相同，但ψc≠90-θ。

圖8 相位差隨各向異性角ψ的變化

值得注意的是，通常認(rèn)為，隨鉆電磁波在界面處產(chǎn)生的“犄角”主要由井斜和電阻率對比度等因素造成（本質(zhì)為界面兩側(cè)的電場不連續(xù)[15]），但實(shí)際上各向異性角和各向異性方位也是影響“犄角”產(chǎn)生的重要因素。圖9a為兩層地層模型及其參數(shù)，上部地層設(shè)為各向同性地層（χ0=0，ψ0=0），下部為單軸各向異性地層。

首先設(shè)下部地層的各向異性方位角χ1=0，考察下部地層不同ψ1和θ情況下，傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井在界面處的響應(yīng)。當(dāng)下部地層為VTI地層，即ψ1=0和χ1=0（見圖9b和圖9c），可見隨著井斜角的增大，下部地層幅度比電阻率Rad和相位差電阻率Rps均增大，且當(dāng)井斜角θ小于60°時(shí)，界面處不會(huì)產(chǎn)生犄角；當(dāng)下部為TTI地層，設(shè)各向異性角ψ1=30°時(shí)（見圖10a和10b），當(dāng)θ分別為30°、45°和60°時(shí)，與圖9b和9c相比，下層的Rad和Rps電阻率幅度發(fā)生明顯變化，此外，Rad在界面處產(chǎn)生明顯“犄角”；當(dāng)θ=60°時(shí)，Rps在界面處產(chǎn)生明顯犄角。因此，與VTI地層相比，相同井斜角情況下，各向異性角的存在可能會(huì)使隨鉆電磁波測井在界面處產(chǎn)生“犄角”。

圖9 兩層介質(zhì)、不同井斜角傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井響應(yīng)（ψ1=0，χ1 =0）

圖10 兩層介質(zhì)、不同井斜角傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井響應(yīng)（ψ1=30°，χ1=0）

基于圖9a的兩層地層模型及參數(shù)，考查下部地層不同各向異性方位角χ1≠0時(shí)傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井響應(yīng)在界面處的響應(yīng)。由圖11中可以看到，Rad和Rps在界面處的“犄角”幅度會(huì)受各向異性方位的變化而變化，因此各向異性方位也是影響“犄角”產(chǎn)生的原因之一。

圖11 不同各向異性方位χ情況下傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井響應(yīng)（θ=30°，ψ1=30°）

圖12為兩個(gè)模擬實(shí)例，均為5層地層，井斜為45°，具體地層參數(shù)見表3。其中圖12a中各層不存在傾斜層理，圖12b中第2和第4層均存在傾斜層理，但其各向異性角和各向異性方位不同。圖13為發(fā)射頻率2.0 MHz、發(fā)射線圈到儀器記錄點(diǎn)距離為40.64 cm（16 in）的傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井響應(yīng)。由圖13可見，盡管兩個(gè)地層模型的電阻率參數(shù)相同，但其各向異性的特性不同，隨鉆電磁波測井幅值及其在界面處的響應(yīng)特征均會(huì)發(fā)生變化，因此，如果將地層始終簡化為VTI地層而不考慮其內(nèi)部層理變化，則無論其測井響應(yīng)還是反演得到的地層真電阻率均不能表征真正的地層電性特征。

圖12 5層地層模型實(shí)例

表3 兩個(gè)5層地層模型的地層參數(shù)

圖13 5層地層模型傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井響應(yīng)特征

5 結(jié)論

為滿足快速電阻率反演需求，傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井正演主要基于VTI地層模型，但實(shí)際地層更加復(fù)雜，VTI地層僅僅是各向異性地層的一個(gè)特例，筆者從并矢格林函數(shù)出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)了一套多層TTI地層的隨鉆電磁波測井正演計(jì)算方法?；跀?shù)值算例對算法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明筆者提出的算法不僅適用于VTI地層，也適用于TTI地層，具有較強(qiáng)的普適性。

通過半空間電磁波反射和透射特征數(shù)值模擬，可以得到當(dāng)界面兩側(cè)為各向同性或者VTI地層時(shí)，兩種類型的電磁波（Ⅰ型波和Ⅱ型波）產(chǎn)生的電磁場不耦合，隨鉆電磁波的正演數(shù)值模擬可采用傳統(tǒng)的赫茲位函數(shù)方法；當(dāng)界面的某側(cè)為TTI地層時(shí)，兩種類型的電磁波（Ⅰ型波和Ⅱ型波）產(chǎn)生的電磁場會(huì)耦合，隨鉆電磁波的正演數(shù)值模擬可采用本文算法。

各向異性角ψ和各向異性方位χ對傳統(tǒng)隨鉆電磁波測井的響應(yīng)不容忽視。TTI地層中，存在臨界井斜角θc和臨界各向異性角ψc，當(dāng)θ≤θc時(shí)，隨著井斜角的增大，相位差遞減；當(dāng)θ＞θc時(shí)，隨著井斜角的增大，相位差增大；當(dāng)ψ≤ψc時(shí)，隨著各向異性角的增大，相位差遞減；當(dāng)ψ＞ψc時(shí)，隨著各向異性角的增大，相位差增大。此外，當(dāng)χ=0時(shí)，θc=90-ψ，ψc=90-θ。

隨鉆電磁波在界面處產(chǎn)生的“犄角”，不僅與井斜、電阻率對比度等因素有關(guān)，而且也受各向異性角和各向異性方位的影響，如含傾斜層理地層中，在低井斜角情況下，也有可能產(chǎn)生“犄角”。

符號(hào)注釋：

E——電場，V/m；Ed（R）——直達(dá)場，V；Es（R）——散射場，V；——電磁場波數(shù)域表達(dá)式；EATT——幅度比，dB；f——頻率，Hz；H——磁場，A/m；i，j——電磁波類型（Ⅰ型波和Ⅱ型波）；k——波數(shù)，無因次；kx——x方向波數(shù)，rad/m；ky——y方向波數(shù)，rad/m；kz——z方向波數(shù)，rad/m；——Ⅰ型波和Ⅱ型波向上的z方向的波數(shù)，rad/m；——Ⅰ型波和Ⅱ型波向下的z方向的波數(shù)，rad/m；M——磁流源，A·m2；M0——磁流源強(qiáng)度，A·m2；r——接收位置（x，y，z），m；r′——源位置（x′，y′，z′），m；Rad——幅度比電阻率，?·m；Rh——水平電阻率，?·m；Ri,j——Fresnel反射系數(shù)；Rps——相位差電阻率，?·m；Rv——垂直電阻率，?·m；——各向異性角旋轉(zhuǎn)矩陣，（°）；——各向異性方位旋轉(zhuǎn)矩陣，（°）；Ti,j——Fresnel透射系數(shù)；V1和V2——兩個(gè)接收線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢，V；|V1|和|V2|——感應(yīng)電動(dòng)勢V1和V2的幅度值，V；μ——自由空間的磁導(dǎo)率，H/m；ω——角頻率,rad/s；σh——水平電導(dǎo)率，S/m；σν——垂直電導(dǎo)率，S/m；Ψ——各向異性角，（°）；χ——各向異性方位，（°）；→cσ——VTI介質(zhì)中的電導(dǎo)率張量，S/m；——TTI介質(zhì)中的電導(dǎo)率張量，S/m；δLS——Kronecker delta函數(shù)，當(dāng)L=S時(shí)，δLS=1，當(dāng)L≠S時(shí)，δLS=0；Δφ——相位差，（°）；φ1，φ2——感應(yīng)電動(dòng)勢V1和V2的相位角，（°）；θ——井斜角，（°）；θc——臨界井斜角，（°）；ψc——臨界各向異性角，（°）；σ1u，σ2u——兩層地層模型中的上部地層兩個(gè)方向的電導(dǎo)率，S/m；σ1d，σ2d——兩層地層模型中的下部地層兩個(gè)方向的電導(dǎo)率，S/m；?——哈密頓算子。