雷占祥，穆龍新，趙輝，劉劍，陳和平，賈芬淑，周占宗

（1.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.長江大學石油工程學院，武漢 430100）

0 引言

通常，油井產(chǎn)量的調(diào)整主要基于油井生產(chǎn)規(guī)律，利用數(shù)值模擬方法，制定一系列配產(chǎn)方案，再通過經(jīng)濟評價確定最終優(yōu)化方案。但這種方法工作量大、周期長，且不能確保優(yōu)化結(jié)果就是最優(yōu)方案。近年來，國內(nèi)外學者相繼研究了基于最優(yōu)化方法的油藏生產(chǎn)優(yōu)化技術(shù)，如：非線性規(guī)劃法[1-2]、伴隨梯度法以及同時擾動隨機逼近算法（SPSA）[3-4]等，取得了一定的應用效果。但這些方法大多傾向于僅從數(shù)學的角度求取經(jīng)濟效益最大值，而對油藏實際生產(chǎn)規(guī)律考慮較少，導致部分優(yōu)化結(jié)果與油藏實際生產(chǎn)不相符[5-6]。為此，本文將油藏生產(chǎn)規(guī)律作為基礎(chǔ)約束條件，建立最優(yōu)控制數(shù)學模型，采用改進的SPSA算法對模型進行求解，并編制產(chǎn)液結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化軟件。將模型應用于強天然水驅(qū)油藏開發(fā)后期的產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化調(diào)整中，以評估模型的實際應用效果。

1 產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

1.1 數(shù)學模型的建立

隨著油田綜合含水的不斷上升，生產(chǎn)成本逐漸升高，經(jīng)濟效益日益降低，需要及時開展生產(chǎn)優(yōu)化調(diào)整，即在最低的生產(chǎn)成本下得到最大的原油產(chǎn)量，實現(xiàn)油田控水穩(wěn)油目標[7-9]。產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化控制方法是通過優(yōu)化油田單井產(chǎn)液量來實現(xiàn)開發(fā)效益最大化，一般采用凈現(xiàn)值（NPV）來評估油田開發(fā)的經(jīng)濟效益。凈現(xiàn)值法的優(yōu)點是考慮了項目在整個計算期內(nèi)的經(jīng)濟狀況，以金額表示項目的收益情況，非常直觀。

對于強天然水驅(qū)油藏來說，開發(fā)后期的生產(chǎn)成本主要受操作成本、污水處理成本等因素影響。因此，考慮操作成本和污水處理成本，建立經(jīng)濟凈現(xiàn)值的優(yōu)化目標函數(shù)：

對于實際油藏，受儲集層物性的限制，油井產(chǎn)液量的變化不能超過實際供給上限。同時，受地面集輸能力和污水處理能力的限制，油藏產(chǎn)水量最大值不能超過集輸能力和處理能力。因此，在進行優(yōu)化設計時，需要增加模型的約束條件。邊界約束是常見的約束形式，上邊界需要考慮儲集層供給能力和地面設施處理能力，下邊界通常設為零，即關(guān)井。因此，產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學模型的約束條件可表達為：

1.2 數(shù)學模型的改進

國內(nèi)外學者基于上述數(shù)學模型，通過求解最優(yōu)值，得到控制參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果。但由于上述數(shù)學模型沒有考慮產(chǎn)量遞減、水驅(qū)等油田生產(chǎn)規(guī)律，導致優(yōu)化得到的產(chǎn)油量、含水率等變化規(guī)律與生產(chǎn)實際不符。為此，本文將油田生產(chǎn)規(guī)律作為基礎(chǔ)約束條件，改進產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學模型，建立以油田生產(chǎn)規(guī)律為約束的最優(yōu)控制數(shù)學模型。

處于開發(fā)后期的強天然水驅(qū)油藏產(chǎn)油量變化和水驅(qū)特征都比較穩(wěn)定，在開發(fā)方式不變的情況下，可以用目前的生產(chǎn)規(guī)律來預測后期的生產(chǎn)動態(tài)。本文采用Arps指數(shù)遞減曲線和甲型水驅(qū)特征曲線來約束產(chǎn)油量和產(chǎn)水量的變化。其中，甲型水驅(qū)曲線表達式為：

將（3）式變形為：

對（4）式兩邊同時取自然對數(shù)，得到：

其中a=a0ln10b=b0ln10

按調(diào)整間隔進行分段后，利用（5）式求取i時刻的產(chǎn)水量為：

考慮到油田產(chǎn)液量變化，將當前產(chǎn)油量分為兩個組成部分，即前一時刻自然遞減對應的產(chǎn)油量和液量變化對應的產(chǎn)油量。由于開發(fā)后期的強天然水驅(qū)油藏產(chǎn)油量遞減比較穩(wěn)定，假定液量變化部分的遞減規(guī)律與自然遞減部分相同。產(chǎn)量遞減公式可以寫為：

將（6）式和（7）式代入（1）式得到改進的目標函數(shù)：

由（8）式可知，產(chǎn)液結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題變?yōu)樵诩s束條件下求取凈現(xiàn)值的最大值，以及相應產(chǎn)液量最優(yōu)的問題。對于該類最優(yōu)化問題，常采用同時擾動隨機逼近算法（SPSA）進行求解。

1.3 數(shù)學模型的求解

SPSA算法通過對控制變量進行同步擾動獲得搜索方向，計算簡便，每個迭代步只需對目標函數(shù)進行計算，不需要求解真實梯度，因此有效控制了計算復雜度。

假設控制變量維數(shù)為Nu，考慮進行N次擾動，則SPSA平均近似梯度[10-12]為：

其中

借鑒標準SPSA梯度對（9）式進行改進得到：

（10）式中，L為N維上三角方陣，當L為單位陣時，為標準SPSA算法。根據(jù)SPSA收斂性分析得到：

由（11）式可見，依然具有上山性。但是，L上三角方陣對近似梯度的精度有影響，需要進行調(diào)整，使近似梯度更接近真實梯度。由于梯度為向量，近似梯度與真實梯度越接近，則兩者的夾角越小，對應的余弦值越大，余弦值計算公式為：

（12）式中的真實梯度是未知的。但是，每一個迭代步的真實梯度是確定的。因此，可以選擇下式作為L的優(yōu)化函數(shù)，使每個迭代步的計算梯度與真實梯度的夾角最?。?/p>

首先計算優(yōu)化控制目標函數(shù)的近似梯度，然后根據(jù)約束條件，利用投影梯度法對近似梯度進行處理，進而更新迭代注采控制變量，得到最優(yōu)控制變量：

2 產(chǎn)液結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化軟件

由于產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型較為復雜，用數(shù)學方法求解析解非常困難，并且采用同時擾動隨機逼近算法進行求解時，需要進行大量的隨機擾動，計算量很大。所以，根據(jù)優(yōu)化模型和求解算法的特征，設計了產(chǎn)液結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化軟件，大大提高了計算效率。

在軟件設計時，嚴格遵循產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的求解過程，先根據(jù)油田的實際資料，確定模型所需的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，如油田產(chǎn)油量、產(chǎn)水量、原油價格、污水處理成本等；然后，利用甲型水驅(qū)特征曲線和遞減方程，擬合出模型的參數(shù)a、b、d等；再利用SPSA算法對產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型進行求解，最終確定出產(chǎn)液結(jié)構(gòu)的優(yōu)化調(diào)整參數(shù)。

用SPSA算法求解產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的主要計算過程為（見圖1）：①根據(jù)實際情況設定原油價格、產(chǎn)油量、遞減率等模型基本參數(shù)；②初始設定每個時間點的液量變化為零，計算經(jīng)濟凈現(xiàn)值J（Li）；③給定每個時間點的液量變化最大值（擾動步長），并用隨機函數(shù)生成擾動方向，計算擾動生成的經(jīng)濟凈現(xiàn)值J（Li±ΔLi）；④判斷J（Li±ΔLi）與J（Li）的關(guān)系，若J（Li±ΔLi）大于J（Li），則將液量變化設定為Li=Li±ΔLi并重復②、③、④步，若J（Li±ΔLi）小于等于J（Li），則進一步判斷循環(huán)次數(shù)是否超過設定次數(shù)；⑤若超過設定循環(huán)次數(shù)，則結(jié)束優(yōu)化，若未超過設定循環(huán)次數(shù)，則重復③、④、⑤步。

圖1 產(chǎn)液結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化流程圖

3 應用實例

D油田位于南美洲厄瓜多爾熱帶雨林，其主力油藏M1為潮控河口灣沉積，孔隙度為20%～32%（平均值為25%），滲透率為（1 000～8 000）×10-3μm2（平均值為4 000×10-3μm2），具有很強的邊底水，地飽壓差為18.2～19.4 MPa，屬于中高孔、中高滲、強邊底水、低幅度、構(gòu)造-巖性砂巖油藏。于1978年3月投產(chǎn)，邊底水驅(qū)動為主，點狀注水為輔，井網(wǎng)不規(guī)則，經(jīng)過40年的開發(fā)，綜合含水達到96.5%，目前處于開發(fā)后期。受儲集層地質(zhì)條件和資源國相關(guān)法規(guī)的限制，措施挖潛的難度大、作業(yè)成本高、經(jīng)濟效益有限。為實現(xiàn)油田開發(fā)后期效益最大化的目標，應用最優(yōu)控制理論，建立并求解產(chǎn)液結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化數(shù)學模型，實現(xiàn)了油田各單井的產(chǎn)液結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化。

利用該區(qū)的產(chǎn)油量和產(chǎn)水量數(shù)據(jù)進行產(chǎn)量遞減曲線和水驅(qū)特征曲線擬合。由于產(chǎn)量遞減規(guī)律和水驅(qū)特征都較為穩(wěn)定，擬合后相關(guān)系數(shù)都在0.99以上（見圖2、圖3）。

根據(jù)擬合結(jié)果，求得模型相關(guān)的基本參數(shù)a，b，d分別為-1.129 1，4.294 9，0.115 0。同時，根據(jù)油藏實際情況，設定原油價格為305.5美元/m3，原油操作成本為91.7美元/ m3，污水處理成本為1.8美元/m3。對D油田的管線集輸能力和污水處理能力進行邊界約束后，用改進的產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型進行開發(fā)指標的優(yōu)化和預測。

圖2 D油藏產(chǎn)量遞減曲線

圖3 D油藏水驅(qū)特征曲線

圖4 自動優(yōu)化過程中經(jīng)濟凈現(xiàn)值變化曲線

圖5 優(yōu)化前后年產(chǎn)油量變化曲線

圖6 優(yōu)化前后年產(chǎn)液量變化曲線

圖7 優(yōu)化前后年含水率變化曲線

通過不斷自動尋優(yōu)，方案的經(jīng)濟凈現(xiàn)值從4.15×108美元逐漸逼近至最佳經(jīng)濟凈現(xiàn)值5.98×108美元，自動優(yōu)化過程中經(jīng)濟凈現(xiàn)值變化曲線見圖4。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果（見圖5—圖7），提液期間年產(chǎn)油量增加，而保持液量生產(chǎn)期間年產(chǎn)油量遞減明顯，且遞減率與D油藏實際遞減率相同。預測期內(nèi)的含水率平穩(wěn)上升。對比優(yōu)化前后的數(shù)據(jù)可知，優(yōu)化后產(chǎn)液量明顯提高，產(chǎn)油量也明顯增加，含水率變化基本一致。產(chǎn)生這種結(jié)果的原因主要是兩個方面：①油藏處于開發(fā)后期，可能以水驅(qū)沖刷的驅(qū)油模式為主，使含水率受液量變化影響較??；②油田污水以回注為主，成本較低，經(jīng)濟效益對產(chǎn)水量的增加不敏感。

4 優(yōu)化方法對比

由于數(shù)值模擬方法廣泛應用在國內(nèi)外油田開發(fā)調(diào)整方案的制定過程中，具有權(quán)威性和普遍適用性。所以，將本文方法與數(shù)值模擬方法進行了對比分析（見表1）。

表1 數(shù)值模擬與產(chǎn)液結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化對比

數(shù)值模擬方法的計算過程較為復雜，需要建立地質(zhì)模型，準備數(shù)值模擬模型，進行歷史擬合；根據(jù)產(chǎn)液量可能的變化范圍，設計大量產(chǎn)液量調(diào)整方案，再進行預測對比。往往需要經(jīng)過多輪優(yōu)選，才能確定最終的優(yōu)化調(diào)整參數(shù)。計算效率低、周期長、受數(shù)值模擬人員經(jīng)驗影響大，只能在設定的方案之間進行對比，還不能自動尋優(yōu)。

本文方法的計算過程比較簡潔，不需要建立復雜的地質(zhì)模型，也無需進行反復的歷史擬合；設定初值后，能夠自動尋優(yōu)，計算過程中不受人為因素影響。計算效率高、周期短。

5 結(jié)論

傳統(tǒng)的優(yōu)化控制模型僅考慮模型的數(shù)學極大值，而未充分考慮油田生產(chǎn)規(guī)律。針對此問題，將強天然水驅(qū)油藏開發(fā)后期的生產(chǎn)規(guī)律作為基礎(chǔ)約束條件，建立了生產(chǎn)規(guī)律約束下的最優(yōu)控制數(shù)學模型，避免了模型預測結(jié)果與生產(chǎn)規(guī)律不一致的問題。

利用SPSA算法對模型進行求解，編制產(chǎn)液結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化軟件，并應用在南美洲厄瓜多爾D油藏的開發(fā)生產(chǎn)實踐中，實現(xiàn)了油田開發(fā)后期產(chǎn)液結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化。

對比產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型與數(shù)值模擬方法的優(yōu)化過程，認為產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型計算效率高、周期短、能夠自動尋優(yōu)，可滿足油田開發(fā)后期產(chǎn)液結(jié)構(gòu)的自動優(yōu)化，也為同類油藏的開發(fā)調(diào)整提供參考。

符號注釋：

a0，b0——甲型水驅(qū)特征曲線擬合常數(shù)；ck——擾動步長；Cmi——在i時刻的操作成本，美元/m3；Cwi——在i時刻的污水處理成本，美元/m3；d——產(chǎn)量遞減率，f；fw,i-1——油田在i-1時刻的含水率，f；F（L）——近似梯度的優(yōu)化函數(shù)；g——真實梯度；——近似梯度；Ic——基準收益率，f；J——經(jīng)濟凈現(xiàn)值，美元；l——迭代序號；Li——油田在i時刻的產(chǎn)液量，m3/a；N——擾動次數(shù)；Np——累計產(chǎn)油量，m3；Np,i-1——油田在i-1時刻的累計產(chǎn)油量，m3；Nu——控制變量維數(shù)；Poi——在i時刻的原油價格，美元/m3；Qoi——油田在i時刻的產(chǎn)油量，m3/a；Qwi——油田在i時刻的產(chǎn)水量，m3/a；t——總時間，a；u——控制變量；ui——油田在i時刻控制變量；udi——控制變量的下約束邊界；uui——控制變量的上約束邊界；Wp——累計產(chǎn)水量，m3；θ——近似梯度與真實梯度夾角，（°）；ΔLi——油田在i時刻的產(chǎn)液量增量，m3/a；Δti——i時刻對應的時間間隔，a；Δupg——控制變量u的擾動間隔，p=1，2，…，Nu，q=1，2，…，N3；α——控制變量第l次迭代擾動系數(shù)。