李紅

青年問禪師：“我覺得我在這個世界上是多余的，沒有人需要我.”

禪師說：“就像你所學的數(shù)學，無論怎樣復雜艱深的函數(shù)，都有適合的圖象對應.你只是還沒找到那個圖象而已.”

青年沉思一番，提筆寫下了狄利克雷函數(shù)的描述.

1，x為有理數(shù)

狄利克雷函數(shù)可以簡單地表示為分段函數(shù)的形式：D（x）=0，x為無理數(shù) 在中學范

圍內(nèi)，我們可以理解的基本性質(zhì)有：

（1）定義域為整個實數(shù)域R;

（2）值域為{0，1）;

（3）函數(shù)為偶函數(shù);

（4）無法畫出函數(shù)圖象，但是它的函數(shù)圖象客觀存在;

（5）以任意正有理數(shù)為其周期，但不存在最小正周期.

一、狄利克雷函數(shù)的簡介

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)是函數(shù)概念發(fā)展過程中的標志性事件之一.狄利克雷（1805-1859）.德國數(shù)學家，他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人，小學生都熟知的抽屜原理就是他在1834年提出的.

函數(shù)的圖象就是函數(shù)的寫真，狄利克雷函數(shù)圖象是客觀存在，但卻無法畫出的.

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)，不僅僅給了我們一個無法畫出函數(shù)圖象的反例，而且極大地推動了函數(shù)概念的發(fā)展，使人們對函數(shù)的認識超越了1718年瑞士數(shù)學家約翰·伯努利提出的函數(shù)解析式定義的階段.在1837年，狄利克雷認識到怎樣去建立兩個量z與v之間的函數(shù)解析式是無關(guān)緊要的，關(guān)鍵在于尋求它們之間的對應法則，從而創(chuàng)立了現(xiàn)代函數(shù)的正式定義：“如果對于z的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù).”這個定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只需有一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的每一個值z，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式.

同樣，周期性是函數(shù)的另一個重要性質(zhì)，具有周期性的函數(shù)，我們更關(guān)心函數(shù)的最小正周期.那么，具有周期性的函數(shù)是不是都有最小正周期呢？答案是否定的.狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)，但是沒有最小正周期，因為不存在最小正有理數(shù).

二、狄利克雷函數(shù)的應用

點評該問題以狄利克雷函數(shù)為背景，將周期性和數(shù)列性質(zhì)進行有機整合，有韻味有變化，看似結(jié)構(gòu)復雜卻并不復雜.

其中，所有真命題的序號是____（填上你認為正確的所有命題的序號）.

解析①若 x為有理數(shù)，則z也為有理數(shù)，所以f（x）=f（-x）=l.

若x為無理數(shù)，則-x也為無理數(shù)，所以f（x）=f（-x）=O，

綜上有f（x） =f（-x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，①正確;

②若x為有理數(shù)，則x+3也為有理數(shù)，則f（x+3）=f（x）=1;若x為無理數(shù)，則x+3也為無理數(shù)，則f（x+3）=f（x）=0，故3為函數(shù)的一個周期，即f （x）是周期函數(shù)，故②正確;

④假設(shè)存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB只能在z軸上或在直線y =l上，且斜邊上的高始終是1.若斜邊AB在z軸上，點C在直線y=l上，故斜邊AB =2，且點A，B的橫坐標是無理數(shù)，則斜邊AB的中點橫坐標也是無理數(shù)，C的橫坐標是無理數(shù)，縱坐標只能為0，不符合題意;若斜邊AB在直線y=1上，點C在z軸上，故斜邊AB =2，且點A，B的橫坐標是有理數(shù)，則斜邊AB的中點橫坐標也是有理數(shù)，C的橫坐標是有理數(shù)，縱坐標只能為1，不符合題意，即不存在符合題意的等腰直角三角形，④錯誤，

故正確答案為①②③.

點評 要解決好這個問題，我們首先要在閱讀上下功夫.其中部分命題的判斷中，結(jié)合狄利克雷函數(shù)性質(zhì)進行了構(gòu)造處理，或許數(shù)形結(jié)合效果會更好，不妨試試看，

文章到此應該結(jié)束了，但我仍然有意猶未盡的感覺，忽然想到了狄利克雷的一則軼聞，

狄利克雷一生只癡迷于數(shù)學事業(yè)，對于個人和家庭都是漫不經(jīng)心的，當他的第一個孩子出生時，向岳父寫的信中只寫上了一個式子：2+1=3.